2.4.1-2.4.2 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§4　导数的四则运算法则 4．1　导数的加法与减法法则 4．2　导数的乘法与除法法则 知识层面 1.理解并掌握导数的四则运算法则．　2.能利用导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数. 素养层面 通过利用导数的四则运算法则求导函数，培养数学运算素养. 知识点一　导数的加法与减法法则 问题1.已知f(x)＝x，g(x)＝. 则f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－. 问题2.你能利用导数的定义求出y＝Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数吗？ 提示：因为Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，所以＝1－， 所以Q′(x)＝ ＝ ＝1－.同理，H′(x)＝1＋. 问题3.上述问题中，Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ 提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和．H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差． 两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． [微提醒]　导数的加法与减法法则可以进行推广： ′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x)． 学生用书↓第67页 例1　 求下列函数的导数： (1)y＝x4＋x3＋cos x－ln 5；　(2)y＝ln x－sin x； (3)y＝5x＋log2x－3；　(4)y＝x7＋tan x； (5)y＝(＋1). 解：(1)y′＝(x4＋x3＋cos x－ln 5)′＝(x4)′＋(x3)′＋(cos x)′－(ln 5)′＝4x3＋3x2－sin x. (2)y′＝(ln x－sin x)′＝(ln x)′－(sin x)′＝－cos x. (3)y′＝(5x＋log2x－3)′＝(5x)′＋(log2x)′－3′＝5xln 5＋. (4)y′＝(x7＋tan x)′＝(x7)′＋(tan x)′＝7x6＋. (5)因为y＝(＋1)(－1)＝－＋，所以y′＝－x－－x－＝－. 应用加法、减法法则求导时的注意点 1．判断函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，若不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式． 2．熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提． 对点练1.求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋； (2)y＝lg x－2cos 2. 解：(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋′＝5x4－3x2－. (2)y＝lg x－－1＝lg x－cos x－1， 则y′＝(lg x)′－(cos x)′－1′＝＋sin x. 知识点二　导数的乘法与除法法则 已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2. 问题4.[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？ 提示：不成立．因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，而f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3. 问题5.能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数？如何表示？ 提示：能．因为f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，[f(x)·g(x)]′＝5x4，所以[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 问题6.对于其他函数还满足上述关系吗？ 提示：满足． 一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， ′＝，g(x)≠0. 特别地：′＝kf′(x)(k∈R)． [微提醒]　(1)注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和.的导数的分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方． (2)[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠. 学生用书↓第68页 例2　求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x； (2)y＝； (3)y＝(2x2－1)(3x＋1)． 解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′＝2x＋x′ln x＋x(ln x)′ ＝2x＋ln x＋x·＝2x＋ln x＋1. (2)y′＝′＝＝. (3)法一：y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 法二：因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－1′＝18x2＋4x－3. 利用导数运算法则的策略 1．分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． 2．如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． 3．利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． [占领思想高点]　利用导数运算法则求导数时体现转化与化归思想． 对点练2.求下列函数的导数： (1)y＝xnex；；(2)y＝；(3)y＝. 解：(1)y′＝′ex＋xn(ex)′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex. (2)y′＝′ ＝ ＝. (3)y′＝′ ＝＝ ＝＝. 导数的运算法则与几何意义的综合运用 例3　已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a.由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16. (2)因为切线与直线l：y＝－＋3垂直， 所以切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 由(1)可知f(x)＝x3＋x－16，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1. 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18， 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0. 1．此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． 2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 3．分清“在某点”和“过某点”导数的不同． 对点练3.已知f(x)＝a ln x－，求： (1)当a＝1时，求f′(x)； (2)当f′(2)＝1时，求a的值； (3)f(x)在(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行，求a的值． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x－，f′(x)＝＋. (2)由题知f′(x)＝＋，因为f′(2)＝1， 所以f′(2)＝＋＝1，解得a＝， 所以a＝. (3)由(2)知f′(x)＝＋， 因为f(x)在(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行， 所以f′(1)＝a＋1＝2，解得a＝1.此时f(1)＝－1， 切线方程为y＋1＝2 (x－1)，即y＝2x－3满足与直线2x－y＝0平行，所以a＝1. 知识 1.导数的加法与减法法则.2.导数的乘法与除法法则.3.导数的运算法则与几何意义的综合运用 方法 公式法、待定系数法 易错误区 公式记忆混乱 学生用书↓第69页 1．函数y＝x3－3x2－5x＋6的导数为(　　 ) A．y′＝3x2－6x＋1 B．y′＝3x2－6x－5 C．y′＝x2－3x＋1 D．y′＝x2－3x－5 答案：B 解析：根据导数的运算法则可知，y′＝3x2－6x－5.故选B. 2．已知一质点的运动方程为s＝ln t＋3t(其中s的单位为m，t的单位为s)，则第1 s末的瞬时速度为(　　 ) A．1 m/s B．2 m/s C．m/s D．4 m/s 答案：D 解析： 由题意得s′＝＋3，故质点在第1秒末的瞬时速度为＋3＝4 m/s.故选D. 3．(多选题)下列求导运算正确的是(　　 ) A．′＝1＋ B．′＝ C．[(2 024x＋5)2]′＝2(2 024x＋5)2 D．(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x 答案：BD 解析：对于A，′＝1－，故A不正确；对于B，′＝＝，故B正确；对于C，[(2 024x＋5)2]′＝(2 0242x2＋20 240x＋25)′＝2·2 0242x＋20 240，故C不正确；对于D，(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确．故选BD. 4．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案：C 解析：设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以y＝在x＝1处的导数为，而k＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. 课时测评21　导数的加法与减法法则　导数的乘法与除法法则 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．(2024·四川成都高二期中)函数f(x)＝x－sin x的导函数为(　　 ) A．f′(x)＝x－cos x B．f′(x)＝1－cos x C．f′(x)＝x＋cos x D．f′(x)＝1＋cos x 答案：B 解析：f′(x)＝1－cos x．故选B. 2．已知函数f(x)＝xcos x－sin x，则f′的值为(　　 ) A． B．－ C．－1 D．－π 答案：B 解析：因为f(x)＝x cos x－sin x，所以f′(x)＝cos x＋x－cos x＝－xsin x，所以f′＝－sin ＝－.故选B. 3．设f(x)＝，且f′(2)＝8，则常数a的值为(　　 ) A．0 B．－2 C．1 D．2 答案：B 解析：由f(x)＝4x2＋4ax＋a2，得f′(x)＝8x＋4a，依题意得，f′(2)＝16＋4a＝8，解得a＝－2，所以常数a的值为－2.故选B. 4．2023年3月5日，于西班牙博伊陶尔进行的滑雪登山世锦赛落下帷幕，19岁中国小将玉珍拉姆获得女子U20组短距离项目冠军．在一次练习中，玉珍拉姆在运动过程中的重心相对于水平面的高度h(单位：m)与开始时间t(单位：s)存在函数关系h＝－t2－3t＋5 000，则此次练习中，玉珍拉姆在t＝7 s时的瞬时速度为(　　) A．35 m/s B．17 m/s C．－17 m/s D．－35 m/s 答案：C 解析：因为h＝－t2－3t＋5 000，所以h′＝－2t－3，所以h′＝－17，即玉珍拉姆在t＝7 s时的瞬时速度为－17 m/s.故选C. 5．若f(x)＝ex＋f′(0)x，则函数f(x)的函数关系式为(　　 ) A．f(x)＝ex－x B．f(x)＝ex＋x C．f(x)＝ex－2x D．f(x)＝ex＋2x 答案：B 解析：由f(x)＝ex＋f′(0)x，得f′(x)＝ex＋f′(0)，即f′(0)＝e0＋f′(0)，解得f′(0)＝2，则f(x)＝ex＋×2x＝ex＋x，所以函数f(x)的函数关系式为f(x)＝ex＋x.故选B. 6．(多选题)若曲线f(x)＝xsin x－1在x＝π处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则下列结论正确的是(　　 ) A．f′(x)＝sin x－xcos x B．f′(x)＝sin x＋xcos x C．f′(π)＝－π D．a＝－ 答案：BCD 解析：选项A，已知曲线f(x)＝xsin x－1，所以f′(x)＝sin x＋xcos x，故A错误，B正确；选项C，因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′(π)＝sin π＋πcos π＝0－π＝－π，故C正确；选项D，直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，而f′(π)＝－π，由已知，曲线f(x)＝xsin x－1在x＝π处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，所以－·(－π)＝－1，所以a＝－，故D正确．故选BCD. 7．(开放题)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＝sin x，则函数f(x)的解析式可能是________，也可能是________． 答案：f(x)＝－cos x(答案不唯一)　f(x)＝－cos x＋1(答案不唯一) 解析：由于(cos x)′＝－sin x，所以f(x)可能是f(x)＝－cos x或f(x)＝－cos x＋1.(注：其他满足题意的解析式均可．) 8．已知函数f(x)＝3－，则函数f(x)在点(0，3)处的切线的方程为__________． 答案：x＋y－3＝0 解析：由f(x)＝3－，得f′(x)＝.将x＝0代入，得k＝f′(0)＝＝－1，故切线方程为y－3＝－1·(x－0)，即x＋y－3＝0. 9．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________． 答案： 解析：由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，因为h′(x)＝，所以h′(5)＝＝＝. 10．(10分)已知二次函数f(x)＝ax2＋ax－2b，其图象过点，且f′(1)＝－3. (1)求a，b的值；(4分) (2)设函数g(x)＝xln x，求曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程．(6分) 解：(1)因为f(x)＝ax2＋ax－2b， 则f′(x)＝2ax＋a， 所以解得 (2)因为g(x)＝xln x的定义域为，且g′(x)＝ln x＋1， 所以g′(1)＝1，g(1)＝0，故切点坐标为， 所以函数g(x)在x＝1处的切线方程为x－y－1＝0. (11－13每小题5分，共15分) 11．(新定义)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在区间(a，b)内的导函数为f′(x)，f′(x)在区间(a，b)内的导函数为f″(x)，在区间(a，b)内f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在区间(a，b)内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是(　　 ) A．f(x)＝x＋2sin x B．f(x)＝x－ex C．f(x)＝x－ln x D．f(x)＝ 答案：B 解析：对于A，f′(x)＝1＋2cos x，则f″(x)＝－2sin x，显然定义域内f″(x)有正有负，故A不是“凸函数”；对于B，f′(x)＝1－ex，则f″(x)＝－ex<0，故B是“凸函数”；对于C，f′(x)＝1－，则f″(x)＝>0，故C不是“凸函数”；对于D，f′(x)＝，则f″(x)＝，显然定义域内f″(x)有正有负，故D不是“凸函数”．故选B. 12．(多选题)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的是(　　 ) A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1 C．f(x)＝x2＋ D．g′(1)＝ 答案：AD 解析：对于A，由题知，点(1，f(1))在x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；对于B，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝，故B错误；对于C，f(x)＝x2＋，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝，也满足f(1)＝1，f′(1)＝，故C错误；对于D，由题得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝，故D正确．故选AD. 13．若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：设f(x)＝(x＋a)ex，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得切线斜率kOA＝f′(x0)＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 14．(10分)(新定义)已知函数f(x)的定义域为D，导函数为f′(x)，若∀x∈D，均有f(x)<f′(x)，则称函数f(x)为D上的“梦想函数”． (1)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，试判断f(x)是否为其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；(4分) (2)若函数g(x)＝ax＋a－1，x∈(0，π)为其定义域上的“梦想函数”，求实数a的取值范围．(6分) 解：(1)函数f(x)＝sin x＋cos x不是其定义域上的“梦想函数”．理由如下： f(x)＝sin x＋cos x的定义域为R， f′(x)＝cos x－sin x， 存在x＝，使得f>f′， 故f(x)＝sin x＋cos x不是其定义域上的“梦想函数”． (2)g(x)＝ax＋a－1，所以g′(x)＝a. 若函数g(x)＝ax＋a－1在x∈(0，π)上为“梦想函数”， 则ax＋a－1<a在x∈(0，π)上恒成立， 即a<在x∈(0，π)上恒成立． 因为y＝在x∈(0，π)上的值域为， 所以a≤， 所以实数a的取值范围为. 15．(5分)(知识交汇)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________． 答案：4 096 解析：因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212＝4 096. 16．(15分)已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．(9分) 解：(1)由题意得， f′(x)＝ ＝＝， 因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以解得 则f(x)＝. (2)由(1)可得，f′(x)＝， 所以直线l的斜率k＝f′(x0)＝＝4， 令t＝，则t∈(0，1]， 所以k＝4(2t2－t)＝8－， 则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4， 所以直线l的斜率k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$