1.5 数学归纳法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

*§5　数学归纳法 知识层面 1.了解数学归纳法的原理．　2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 素养层面 通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升逻辑推理素养. 知识点一　数学归纳法 问题1.我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．那么，在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 提示：使所有骨牌都能倒下的条件有两个： (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． [微提醒]　(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 例1　 (1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　 ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 (2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则n＝k＋1时，在n＝k时的左端应加上__________________． 答案：(1)C　(2)(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析：(1)当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C. (2)n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，所以在n＝k时的左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 数学归纳法的三个关键点 1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. 2．递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． 3．利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 对点练1. 对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即 ＜k＋1， 则当n＝k＋1时，＝＜ ＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　 ) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案：D 解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．故选D. 学生用书↓第39页 应用一　利用数学归纳法证明等式 例2　证明：＋＋…＋＝(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立． [变式探究] (变条件)本例等式若改为＋＋…＋＝，试用数学归纳法证明． 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有＋＋…＋＝， 那么当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立． 用数学归纳法证明等式的方法 对点练2.用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， 1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋－ ＝＋＋…＋＋＋， ＝＋＋…＋. 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)知等式对任意正整数n都成立． 应用二　利用数学归纳法证明不等式成立 例3　证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)． 证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝＝，故左边>右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即＋＋…＋>， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋>＋，* 法一：(分析法)下面证＋＋－≥0， 只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0， 只需证9k＋5≥0，显然成立． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 法二：(放缩法)＋＋＋－>＋＝， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立． 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 学生用书↓第40页 对点练3. 用数学归纳法证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2， 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2＋＝<＝＝2. 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立． 应用三　归纳－猜想－证明 例4　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝. (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明． 解：(1)a2＝＝， a1＝，则a2＝，同理求得a3＝. (2)由a1＝，a2＝，a3＝，…， 猜想an＝. 证明：①当n＝1时，a1＝，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立， 即ak＝， 那么当n＝k＋1时，由题设an＝， 得ak＝，ak＋1＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)·＝. Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－， 因此，k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝ ＝. 所以当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知，命题对任何n∈N＋都成立． “归纳－猜想－证明”的解题步骤 对点练4.(开放题)请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)；②an＋1＝nan－2n2＋3n＋1(n∈N，n≥1)． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝1，_______________. (1)求a2，a3，a4； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)选择条件①，因为Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)， 所以当n＝2 时，S1＋a2＝4，即a2＝3， 当n＝3 时，S2＋a3＝9，所以a1＋a2＋a3＝9，即a3＝5， 当n＝4 时，S3＋a4＝16，即a4＝7， 故a2，a3，a4分别为3，5，7. 选择条件②，an＋1＝nan－2n2＋3n＋1(n∈N，n≥1)， 所以当n＝1 时，a2＝a1－2×12＋3×1＋1＝3, 当n＝2 时，a3＝2a2－2×22＋3×2＋1＝5， 当n＝3 时，a4＝3a3－2×32＋3×3＋1＝7， 故a2，a3，a4分别为3，5，7. (2)猜想an＝2n－1，证明如下： 选择条件①，因为Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)， n＝1时，由题知，a1＝1，猜想成立， 假设n＝k(k∈N，k≥2)时，ak＝2k－1， 则Sk－1＋ak＝k2，所以Sk＋ak＋1＝(k＋1)2， 两式相减得：Sk＋ak＋1－Sk－1－ak＝(k＋1)2－k2， 即ak＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1， 所以当n＝k＋1时，an＝2n－1成立， 综上所述，对任意n∈N＋，有an＝2n－1. 选择条件②，an＋1＝nan－2n2＋3n＋1(n∈N，n≥1)， n＝1时，由题知，a1＝1，猜想成立， 假设n＝k(k∈N，k≥2)时，ak＝2k－1， 则ak＋1＝kak－2k2＋3k＋1＝k(2k－1)－2k2＋3k＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1， 所以当n＝k＋1时，an＝2n－1成立， 综上所述，对任意n∈N＋，有an＝2n－1. 知识 1.数学归纳法的概念.2.用数学归纳法证明等式.3.用数学归纳法证明不等式.4.“归纳－猜想－证明”问题 方法 数学归纳法 易错误区 一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错 1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　 ) A．2 B．3 C．5 D．6 答案：C 解析：令n0分别取2，3，5，6，依次验证即得．故选C. 2．证明1＋＋＋＋…＋>(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是(　　 ) A．1 B．k－1 C．k D．2k 答案：D 解析：当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．故选D. 3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是________________． 答案：(2k＋1)＋(2k＋2) 解析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)． 4．观察下列不等式：1>，1＋＋>1，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为____________________(n∈N＋)． 答案：1＋＋＋…＋> 解析：因为3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，所以可猜测1＋＋＋…＋>(n∈N＋)． 课时测评12　数学归纳法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　 ) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 答案：D 解析：当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D. 2．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　 ) A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k) 答案：B 解析：若要使交点最多，则增加的一条直线和原来的k条直线都相交，有k个交点，故交点个数最多为f(k)＋k.故选B. 3．已知f (n)＝＋＋＋…＋，则(　　 ) A．f (n)中共有n项，当n＝2时，f (2)＝＋ B．f (n)中共有n＋1项，当n＝2时，f (2)＝＋＋ C．f (n)中共有n2－n项，当n＝2时，f (2)＝＋ D．f (n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f (2)＝＋＋ 答案：D 解析：观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，所以项数为n2－n＋1.故选D. 4．用数学归纳法证明“2n>n＋2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　 ) A．2 B．3 C．5 D．6 答案：B 解析：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；要验证n＝1时，左边＝21＝2，右边＝1＋2＝3，2n>n＋2不成立，n＝2时，左边＝22＝4，右边＝2＋2＝4，2n>n＋2不成立，n＝3时，左边＝23＝8，右边＝3＋2＝5，2n>n＋2成立，n＝4时，左边＝24＝16，右边＝4＋2＝6，2n>n＋2成立，因为n≥3时，2n>n＋2恒成立．故选B. 5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　 ) A． B．　 C． D． 答案：B 解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推测an＝.故选B. 6．(多选题)如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．则下列结论正确的是(　　 ) A．若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正整数都成立 B．若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有正偶数都成立 C．若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正奇数都成立 D．若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有自然数都成立 答案：BC 解析：由题意可知，若p(n)对n＝1成立，则p(n)对n＝1，3，5，7…所有正奇数都成立；若p(n)对n＝2成立，则p(n)对n＝2，4，6，8…所有正偶数都成立．故选BC. 7．记凸k边形的内角和为f (k)，则凸k＋1边形的内角和f (k＋1)＝f (k)＋________． 答案：π 解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k＋1)＝f (k)＋π. 8．用数学归纳法证明“设f (n)＝1＋＋＋…＋，则2＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n－1)＝nf(n)(n∈N＋，n≥2)”时，第一步要证的式子是________________． 答案：2＋f (1)＝2f (2) 解析：因为n≥2，所以n0＝2，观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f (1)＝2f (2)． 9．已知f (n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)．用数学归纳法证明f>，请补全证明过程： (1)当n＝1时，f (21)＝1＋>； (2)假设n＝k时命题成立，即f (2k)>，则当n＝k＋1时，f (2k＋1)＝f(2k)＋________>，即当n＝k＋1时，命题成立．综上所述，对任意n∈N＋，都有f (2n)>成立． 答案：＋＋…＋ 解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，所以f(2n)＝1＋＋＋…＋＋…＋，所以当n＝k时，f(2k)＝1＋＋＋…＋＋…＋>，当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋…＋＋＋＋…＋＝f(2k)＋＋＋…＋>. 10．(10分)设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；(4分) (2)用数学归纳法证明你的结论．(6分) 解：(1)因为a1＝1，an＋1＝f(an)， 所以a2＝f(a1)＝f(1)＝， a3＝f(a2)＝f ＝＝， a4＝f(a3)＝f ＝＝， 猜想an＝(n∈N＋)． (2)证明：①易知当n＝1时，结论成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，即ak＝. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 由①②知，对一切n∈N＋，都有an＝. (11－13每小题5分，共15分) 11．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　　 ) A．假设n＝k (k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1 (k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立 答案：D 解析：对于A，当n＝k (k∈N＋)时，k＋1表示除1以外的所有正整数， 故A错误；对于B，当n＝k(k是正奇数)时，k＋1表示正偶数，故B错误；对于C，当n＝2k＋1 (k∈N＋)时，不包含1，且k＋1不一定表示正奇数，故C错误；对于D，当n＝k(k是正奇数)时，k＋2表示下一个正奇数，故D正确．故选D. 12．(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f (k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是(　　 ) A．若f (6)<7成立，则f (5)<6成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f (k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f (4)≥5成立，则当k≥4时，均有f (k)≥k＋1成立 答案：AD 解析：对于A，当f (k)≥k＋1成立时，总有f (k＋1)≥k＋2成立．则逆否命题：当f (k＋1)<k＋2成立时，总有f (k)<k＋1成立．若f (6)<7成立，则f (5)<6成立，故A正确；对于B，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f (k)≥k＋1成立，故B错误；对于C，当f (k)≥k＋1成立时，总有f (k＋1)≥k＋2成立．则逆否命题：当f (k＋1)<k＋2成立时，总有f(k)<k＋1成立．故若f(2)<3成立，则f(1)<2成立，所以C错误；对于D，根据题意，若f (4)≥5成立，则f (n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)成立，即f (k)≥k＋1 (k≥5)成立，结合f (4)≥5，所以当k≥4时，均有f (k)≥k＋1成立，故D正确．故选AD. 13．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<________． 答案： 解析：由已知中的不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方，右边分母与左边的项数相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以不等式右边的第2 024项为＝，所以1＋＋＋…＋<. 14．(10分)(新情境)设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy. (1)求f(0)的值；(2分) (2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3分) (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法证明．(5分) 解：(1)令x＝y＝0， 得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0. (2)由f(1)＝1， 得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4； f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9； f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16. (3)由(2)可猜想f(n)＝n2. 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，f(1)＝12＝1，显然成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即f(k)＝k2， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2， 即当n＝k＋1时命题也成立， 由①②可知，对一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立． 15．(5分)已知f是关于正整数n的命题．小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，并对任意的正整数k，在假设f成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明f对一切正整数n均成立，则m的最大值为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：由题意可知，f对n＝1，2，3都成立，假设f(k)成立的前提下，证明了f成立，由此推得，对n＞m的任意整数f均成立，因此m的最大值可以为3.故选C. 16．(15分)已知等差数列{an}中，a2＝5，a1＋a2＋a3＝a7.正项数列{bn}的前n项和Sn满足：对任意n∈N＋，bn－1, ，bn＋2成等比数列． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(6分) (2)记cn＝，n∈N＋.证明：对任意n∈N＋，都有c1·c2·…·cn>.(9分) 解：(1)由可得a1＝3，d＝2，所以an＝2n＋1， 由题设，2Sn＝(bn－1) (bn＋2)①，取n＝1得2b1＝(bn－1) (bn＋2)，解得b1＝2或b1＝－1(舍去)． 又2Sn＋1＝(bn＋1－1) (bn＋1＋2) ②， ①②两式相减得，(bn＋1＋bn) (bn＋1－bn－1)＝0，所以bn＋1－bn＝1，故bn＝n＋1. (2)证明：由(1)得：cn＝，n∈N＋，当n＝1时，不等式显然成立， 假设n＝k时不等式成立，即c1·c2·…·ck>， 那么当n＝k＋1时，c1·c2·…·ck·ck＋1>·>· ＝·＝·＝， 所以当n＝k＋1时，结论也成立．综上，对任意n∈N＋，都有c1·c2·…·cn>. 学生用书↓第41页 学科网（北京）股份有限公司 $$