1.4 数列在日常经济生活中的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§4　数列在日常经济生活中的应用 知识层面 1.掌握单利、复利的概念和区别及它们本利和的计算公式．　2.掌握零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型等三种模型的本质特点，并学会应用. 素养层面 通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分期付款等概念的学习，培养数学抽象素养；借助数列的应用，培养数学建模素养. 知识点一　单利与复利 问题1.在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中银行又是采用怎样的计息方式呢？ 提示：“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似． 1．单利与复利 (1)单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为利息＝本金×利率×存期，以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)． (2)复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n． 2．零存整取与定期自动转存 (1)零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到期整取时本利和为S＝P． (2)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存．n年后，本利和为S＝P(1＋r)n． [微提醒]　复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列． 例1　 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰. (1)若王先生每月初存入一定金额，希望到3年后整取时支取本利和为2万元，则他每月应存入多少元(精确到1元)? (2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本利和约为多少元(精确到1元)? 解：(1)设王先生每月存入A元，则有A(1＋2.7‰)＋A(1＋2×2.7‰)＋…＋A(1＋36×2.7‰) ＝20 000，利用等差数列前n项和公式，得A＝20 000， 解得A≈529(元)． (2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入元， 这样，3年后的本利和为 ×(1＋2.7‰)＋×(1＋2×2.7‰)＋…＋×(1＋36×2.7‰) ＝× ＝20 999(元)． “零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列．“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列． 对点练1.某家庭打算2024年新买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2016年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2024年年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取出多少元？ 解：设从2017年年初到2024年年初的本利和组成数列{an}，到2024年为止，把2017年年初存款的本利和看作a1，则2024年年初存款的本利和为a8， 则a1＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…， an＝a(1＋p)n＋a(1＋p)n－1＋…＋a(1＋p) ＝a(1＋p)n＋1－a(1＋p)(1≤n≤8)， 所以这个家庭应取出的钱数为 S8＝a(1＋p)＋[a(1＋p)2＋a(1＋p)]＋…＋[a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)] ＝＋＋…＋ ＝－a(1＋p) ＝(1＋p)10－(1＋p)2－a(1＋p)． 学生用书↓第36页 知识点二　分期付款问题 问题2.王先生买房到银行网点柜台办理贷款，服务人员问他是“等额本金还款”，还是“等额本息还款”，弄得王先生一头雾水，你知道这两种还款方式吗？ 提示：等额本息还款是将银行贷款本金与总利息按照还款期限进行等额划分，每个月的还款额是相同的．等额本金还款是指每期的还款本金是一样的，每期利息会随本金额的减少而减少．不过，前期支付的本金和利息较多，还款压力比较大． 分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清． [微提醒]　分期付款要综合运用等差数列、等比数列的知识，解题时要认真分析题意． 例2　张老师购买集资房92平方米，单价为1 000元/平方米，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清．如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年付款多少元？(计算结果精确到元)(注③) 注：①分期付款：各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个条款现价最后一次付款时所生的利息之和． ②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息． ③必要时参考下列数据：1.0759≈1.917，1.07510≈2.061，1.07511≈2.216. 解：设每年应付款x元， 第一年付款及所生利息之和为(x×1.0759)元， 第二年付款及所生利息之和为(x×1.0758)元， … 第九年付款及所生利息之和为(x×1.075)元， 第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为 ×1.07510＝48 800×1.07510(元)， 因此有x＝48 800×1.07510， 所以x＝48 800×1.07510×≈48 800×2.061×0.071≈7 141(元)． 故每年需付款7 141元． 1．做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn. 2．等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题． 对点练2.用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 解：由题意得购买时先付5万元，余款20万元分10次还清，每次付款的数额构成数列{an}，则 a1＝2＋(25－5)×10%＝4(万元)， a2＝2＋(25－5－2)×10%＝3.8(万元)， a3＝2＋(25－5－2×2)×10%＝3.6(万元)， … an＝2＋[25－5－(n－1)·2]×10% ＝万元(n＝1，2，…，10)． 因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列， a5＝4－＝3.2(万元)． S10＝10×4＋＝31(万元)． 因此，第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元． 学生用书↓第37页 零存整取与定期自动转存模型的比较 例3　 比较下面两种储蓄方式，哪种方式更简便合算？ (1)将1 000元本金存入银行一年后(年利率为2.10%)，再把本息自动转存两次，存满三年后，可得本利和多少元？ (2)将1 000元本金存入银行三年期定期整存整取种类(年利率为3.0%)，三年后可得本利和多少元？ 解：(1)1 000元本金参加一年整存整取，到期可得本利和为1 000×(1＋2.10%)＝1 021(元)． 转存一次时，本金为1 021元，所以到期本利和为1 021×(1＋2.10%)≈1 042.44(元)． 再转存一次时，本金为1 042.44元，所以到期本利和为1 042.44×(1＋2.10%)≈1 064.33(元)． 即存一年，再转存两次，三年后本利和约为1 064.33元． (2)1 000元本金参加三年期整存整取，到期可得本利和为A＝p(1＋r·n)，这里r表示利率，n是计息期限，p是本金，即A＝1 000×(1＋3.0%×3)＝1 000×1.09＝1 090(元)． 所以利用第二种储蓄方式更简便合算． 储蓄方法一是复利问题，各年底本利和构成等比数列；储蓄方法二也可以看作是零存整取中的一次存款到期后的本利和．零存整取是等差数列求和在经济方面的应用．其公式为：利息＝本金×利率×存期，本利和＝本金×(1＋存期×利率)． 对点练3.复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%(按零存整取模型计算)；若放入手机APP某理财产品，年利率可达4.01%(按复利计算)．如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息约为(　　 ) (参考数据：1.022 54≈1.093，1.022 55≈1.118，1.040 14≈1.170，1.040 15≈1.217) A．176元 B．104.5元 C．77元 D．88元 答案：B 解析：将1 000元钱存入手机APP某理财产品，选择复利的计算方法，则存满5年后的本利和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217元，故而共得利息1 217－1 000＝217元．将1 000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1 000×0.022 5×5＝112.5元，故可以多获利息217－112.5＝104.5元．故选B. 知识 1.单利与复利.2.零存整取、定期自动转存、分期付款模型 方法 构造法、转化法 易错误区 题意理解错误，没能构造出合适的数列模型；数列模型的首项与项数弄错 1．一种预防病毒传播的疫苗计划投产两月后，使成本降低64%，那么平均每月应降低成本(　　 ) A．20% B．32% C．40% D．50% 答案：C 解析：设成本为a，平均每月应降低成本x，所以a(1－x)2＝(1－0.64)a，解得x＝0.4，所以平均每月应降低成本40%.故选C. 2．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是(　　 ) A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 答案：A 解析：存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元．故选A. 3．按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4%，则3年后支取可获得利息为(　　 ) A．(5×0.04)3万元 B．5(1＋0.04)3万元 C．3×(5×0.04)万元 D．[5(1＋0.04)3－5]万元 答案：D 解析：3年后的本利和为5×(1＋0.04)3万元，利息为[5×(1＋0.04)3－5]万元．故选D. 4．银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利和为________元． 答案：a(1＋p)10 解析：由题意知，第一年本利和为a(1＋p)元，第二年本利和为a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2元，第三年本利和为a(1＋p)2(1＋p)＝a(1＋p)3元，以此类推，第十年本利和为a(1＋p)10元． 课时测评11　数列在日常经济生活中的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么5年后这个小镇的人口数为(　　 ) A．20×1.015万 B．20×1.014万 C．20×万 D．20×万 答案：A 解析：某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么1年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)万，2年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)2万，3年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)3万，4年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)4万，5年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)5＝20×1.015万．故选A. 2．小芳“双11”以分期付款的方式购买一台标价6 600元的笔记本电脑，购买当天付了2 600元， 以后的8个月，每月11日小芳需向商家支付500元分期款，并加付当月所有欠款产生的一个月的利息(月利率为2%)，若12月算分期付款的首月，则第3个月小芳需要给商家支付(　　 ) A．550元 B．560元 C．570元 D．580元 答案：B 解析：第3个月小芳需要给商家支付500＋(4 000－2×500)×2%＝560元．故选B. 3．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，最后将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为(　　 ) A．a(1＋r)17 B．[(1＋r)17－(1＋r)] C．a(1＋r)18 D．[(1＋r)18－(1＋r)] 答案：D 解析：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)17，同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)16，孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)15，……，孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)，则取回的钱的总数S＝a(1＋r)17＋a(1＋r)16＋…＋a(1＋r)＝＝[(1＋r)18－(1＋r)]．故选D. 4．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1 150万元．约定：2024年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率为1%，当付清全部房款时，各次付款的总和为(　　 ) A．1 205万元 B．1 255万元 C．1 305万元 D．1 360万元 答案：B 解析：由题意知，还款的次数为÷50＝20次，每次付款本金均为50万元，利息依次为1 000×1%，950×1%，…，50×1%构成了一个等差数列，则所还欠款利息总额为×1%＝×20×1%＝105万元，故各次付款的总和为1 150＋105＝1 255万元．故选B. 5．(新情境)(多选题)在庄子的《在宥》中，“鸿蒙”是创造天地元气的上古真神．在后世的神话传说中，“鸿蒙”二字引申为一个上古时期，或者说是天地开辟之前的混沌时期．我国民族品牌华为手机搭载的最新自主研发的操作系统亦命名鸿蒙．刚参加工作的郭靖准备向银行贷款5 000元购买一部搭载鸿蒙系统的华为手机，然后他分期还款．郭靖与银行约定，每个月还一次欠款，并且每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，贷款的月利率为0.5%，设郭靖每个月还款数为x，则下列说法正确的是(　　 ) A．郭靖选择的还款方式为“等额本金还款法” B．郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法” C．郭靖每个月还款的钱数x＝ D．郭靖第3个月还款的本金为 答案：BCD 解析：每个月还款的钱数都相等，分24个月还清所有贷款，他采取的是等额本息还款法，每个月还款数为x，则每个月所还本金为，，，…，，所以＋＋…＋＝5 000，解得x＝.故选BCD. 6．银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，为吸引长期资金，鼓励储户三年定期存款，那么q的值应略大于(　　 ) A． B．[(1＋r)3－1] C．(1＋r)3－1 D．r 答案：B 解析：设储户存款为a元，则存三年定期的本利和应略大于存一年定期自动转存三年后的本利和，即a＋3aq＞a(1＋r)3，所以1＋3q＞(1＋r)3，所以q＞[(1＋r)3－1]．故选B. 7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为_____________________________________元． 答案：78ar 解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝78ar. 8．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为r，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计6年内还清，以复利计算，则每年应偿还____________万元． 答案： 解析：设每年应偿还x万元，则a(1＋r)6＝x＋x(1＋r)＋x(1＋r)2＋x(1＋r)3＋x(1＋r)4＋x(1＋r)5，所以a(1＋r)6＝，故x＝. 9．某人每月15日发工资，2022年1月15日发工资后，他随即从工资中拿出1 000元存入银行，以后每月领工资后，都在当天从工资中拿出1 000元存入银行．若银行存款月利率为0.002，那么按照复利，一年后他可以从银行取出本利共________元．(精确到1元，1.00212≈1.024) 答案：12 024 解析：2022年1月15日存入的1 000元，到2023年1月15日的本利和为1 000×1.00212，2022年2月15日存入的1 000元，到2023年1月15日的本利和为1 000×1.00211，2022年3月15日存入的1 000元，到2023年1月15日的本利和为1 000×1.00210，……，2022年12月15日存入的1 000元，到2023年1月15日的本利和为1 000×1.002，因此，一年后他可以从银行取出本利共1 000×(1.002＋1.0022＋…＋1.00212)＝≈12 024(元)． 10．(10分)保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区2023年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米． (1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2023年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米？(4分) (2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.085≈1.469，1.086≈1.587)(6分) 解：(1)设从2023年起，每年的保障性租赁住房面积形成数列{an}， 由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝25，d＝5， 则Sn＝25n＋×5＝(5n2＋45n)． 令(5n2＋45n)≥475，即n2＋9n－190≥0， 而n为正整数，解得n≥10， 故到2032年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积将首次不少于475万平方米． (2)设新建住房面积形成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝40，q＝1.08， 则bn＝40×1.08n－1. 由题意知，an>0.85bn， 则25＋(n－1)×5>0.85×40×1.08n－1， 满足上式不等式的最小正整数n＝6， 故到2028年底，当年建造的保障性租赁住房面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. (11－13每小题5分，共15分) 11．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清并优惠a%(此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算)，为鼓励购房者一次付款，优惠率应不低于(　　 ) (a取整数，计算过程中参考以下数据：1.029＝1.195，1.0210＝1.219，1.0211＝1.243) A．8% B．9% C．11% D．19% 答案：B 解析：设优惠率应不低于a%，由题意可得，50(1－a%)(1＋2%)9≤5×(1.029＋1.028＋…＋1.02＋1)，即1－a%≤≈0.916，解得a%≥8.4%，又因为a取整数，所以优惠率应不低于9%.故选B. 12．(多选题)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式．方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同．银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2024年7月7日贷款到账，则2024年8月7日首次还款)．已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是(　　 ) (参考数据：1.004240≈2.61，计算结果取整数) A．选择方式①，若第一个还款月应还4 900元，最后一个还款月应还2 510元，则小张该笔贷款的总利息为289 200元 B．选择方式②，小张每月还款额为3 800元 C．选择方式②，小张总利息为333 840元 D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 答案：ACD 解析：对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，则a1＝4 900，a240＝2 510，则S240＝＝120×(4 900＋2 510)＝889 200，故小张该笔贷款的总利息为889 200－600 000＝289 200(元)，故A正确；对于B，设小张每月还款额为x元，则x＋x(1＋0.004)＋x＋…＋x(1＋0.004)239＝600 000×，所以x×＝600 000×1.004240，即x＝≈≈3 891，故B错误；对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240－600 000＝933 840－600 000＝333 840(元)，故C正确；对于D，因为333 840>289 200，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确．故选ACD. 13．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目．已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有________万元．(参考数据：1.110≈2.59，1.111≈2.85，1.112≈3.14) 答案：24 解析：由题知，2021年的投入在结算时的收入为10×10%×(1＋10%)10，2022年的投入在结算时的收入为11×10%×(1＋10%)9，……，2030年的投入在结算时的收入为19×10%×(1＋10%)1，则结算时的总投资及收益为：S＝10×10%×1.110＋11×10%×1.19＋…＋19×10%×1.11①，则1.1S＝10×10%×1.111＋11×10%×1.110＋…＋19×10%×1.12②，由①－②得，－0.1S＝－10×10%×1.111－10%×1.110－10%×1.19－…－10%×1.12＋19×10%×1.11，则S＝10×1.111＋1.110＋1.19＋…＋1.12－19×1.11＝10×1.111＋－20.9＝20×1.111－12.1－20.9≈20×2.85－33＝24. 14．(10分)习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2022年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. (1)设n年内(2022年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式；(4分) (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．(6分) (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0) 解：(1)2022年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×万元， 所以n年内的总投入为 Sn＝1 000＋1 000×＋…＋1 000×＝＝5 000×， 2022年收入为500万元，第2年收入为500×万元， 第n年收入为500×万元． 所以n年内的总收入为 Tn＝500＋500×＋…＋500×＝＝2 000×. (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0， 即2 000×－5 000×>0， 化简得5×＋2×－7>0， 设x＝，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0， 解此不等式，得x<或x>1(舍去)． 即<，由此得n≥5. 故至少到2026年旅游业的总收入才能超过总投入． 15．(5分)2026年世界杯将由美国、墨西哥和加拿大联合举办，小明为了观看2026年的北美世界杯，从2022年起，他每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2023年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有________元；到2026年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回__________元．(填化简后结果) 答案：(ap＋2a)　[(1＋p)5－(1＋p)] 解析：依题意，2023年1月1日存款a元后，账户中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)元；2026年1月1日可取出钱的总数为：a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)＝a·＝[(1＋p)5－(1＋p)]． 16．(15分)某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题： (1)求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？(结果精确到0.1万吨)(6分) (2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？(9分) (参考数据：1.053≈1.16，1.054≈1.22，1.055≈1.28，1.056≈1.34) 解：(1)依题意得，从2020年起该地区每年产生的生活垃圾量(单位：万吨)构成等比数列，记为{an}，每年通过环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列，记为{bn}，该地区n年通过填埋方式处理的垃圾总量(单位：万吨)记为Sn， 则a1＝20，q＝1＋5%，b1＝6，d＝1.5，故an＝20n－1＝20×1.05n－1，bn＝6＋1.5(n－1)，1≤n≤10， 所以2021年到2023年，该地区这三年通过填埋方式处理的垃圾总量为(a2－b2)＋(a3－b3)＋(a4－b4)＝(a2＋a3＋a4)－(b2＋b3＋b4)＝20(1.05＋1.052＋1.053)－(18＋1.5＋3＋4.5)＝20×(1.05＋1.102 5＋1.16)－27≈39.25， 所以2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约39.2万吨． (2)由(1)得，bn>an，即6＋1.5(n－1)>×20×1.05n－1， 整理得4.5＋1.5n>10×1.05n－1， 因为当n＝1时，6>10不成立； 当n＝2时，7.5>10.5不成立； 当n＝3时，9>11.025不成立； 当n＝4时，10.5>11.6不成立； 当n＝5时，12>12.2不成立； 当n＝6时，13.5>12.8成立． 所以该地区在第6年，即2025年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%. 学生用书↓第38页 学科网（北京）股份有限公司 $$