1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

2．2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 知识层面 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式．　2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3．能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题. 素养层面 通过等差数列的前n项和公式及其应用培养数学运算、逻辑推理的素养；借助利用等差数列的前n项和公式解决实际问题，提升数学建模素养. 知识点一　等差数列的前n项和公式 问题1.请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花． 深浅，　　　　　　芬葩． 凝为雪，　　　　 错为霞． 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮． 已迷金谷路，　　 频驻玉人车． 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家． 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯． 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示：诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案． 问题2.网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？(图中黑点代表字) 提示：法一：对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究．通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝，可见，结果与项数的奇偶无关． 法二：(如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n， 即S＝1＋2＋3＋…＋n，S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1， 避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和． 问题3.对于一般的等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d.如何求其前n项和Sn? 提示：倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 学生用书↓第16页 等差数列前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [微提醒]　(1)第一个公式反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和．(2)由第二个公式知，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”．(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 例1　 在等差数列{an}中： (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10； (2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12； (3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. (2)因为Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， 所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 又因为Sn＝＝210， 所以n＝＝14. 等差数列中的基本计算 1．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量Sn，n，a1，an，d，这五个量可以“知三求二”． 2．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题． 3．等差数列前n项和Sn＝与等差数列性质“若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性． [占领思想高点]　解题时注意整体代换的思想与方程思想． 对点练1.在等差数列{an}中： (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. 解：(1)法一：由已知条件得 解得 所以S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210. 法二：由已知条件得 所以a1＋a10＝42， 所以S10＝＝5×42＝210. (2)因为S7＝＝7a4＝42，所以a4＝6， 所以Sn＝＝＝＝510， 所以n＝20. 知识点二　Sn与an的关系 问题4.　等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ 提示：可以；Sn＝na1＋＝n2＋n. 问题5. 数列{an}的前n项和为Sn，那么Sn与Sn－1(n≥2)有何关系呢？ 提示：an＝Sn－Sn－1(n≥2)． 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝ 学生用书↓第17页 [微提醒]　(1)上述关系对任何数列都适用．(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示．若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，则数列的通项公式采用分段形式． 例2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an. (2)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝nan＋1－n2－n.证明：{an}是等差数列． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1. 当n＝1时，代入an＝2×3n－1得a1＝2≠3. 所以an＝ (2)证明：由题意Sn＝nan＋1－n2－n(n∈N*)①， 则当n≥2时，Sn－1＝an－(n－1)2－②， ①－②，得an＝nan＋1－an－2n，整理得nan＝nan＋1－2n， 即an＋1－an＝2； 当n＝1时，S1＝a1＝1×a2－12－1，得a2－a1＝2； 综上an＋1－an＝2对任意的n∈N*均成立， 所以{an}是以2为公差的等差数列． [变式探究] (变条件，变设问)本例(1)变为：若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． 解：因为Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5， 经检验当n＝1时，a1＝－2不满足上式， 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第2项起以4为公差的等差数列． 在等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列． 对点练2.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 解：当n＝1时，a1＝S1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝2n－2， 经检验，当n＝1时，a1＝0满足上式， 故an＝2n－2. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝2(n＋1)－2－2n＋2＝2， 所以数列{an}是等差数列． 等差数列前n项和的实际应用 例3　某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如下表所示： 2021年 2022年 2023年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 而一旦植完，则不会被沙化． (1)每年沙化的土地公顷数为多少？ (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地？ 解：(1)依题意，每年比上一年多造林400公顷，其中2022年新植1 400公顷， 故当年沙地为25 200－1 400＝23 800(公顷)， 而实际沙地面积为24 000公顷， 所以2022年沙化土地面积为24 000－23 800＝200(公顷)， 同理可得2023年沙化土地面积也为200公顷， 所以每年沙化的土地面积为200公顷． (2)设2023年及其以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an， 则an＝1 800＋(n－1)×400＝400n＋1 400， 所以n年造林的面积总和为Sn＝1 800n＋×400. 由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷， 依题意可得Sn－200n≥24 000， 化简得n2＋7n－120≥0， 又n∈N＋，故解得n≥8， 即到2030年可绿化完全部沙地． 学生用书↓第18页 应用等差数列解决实际问题的一般思路 对点练3. 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． (1)截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ (2)如果每辆车行驶的速度都是60千米/时，这个车队当天一共行驶了多少千米？ 解：(1)第一辆车出发时间为14时，每辆车的间隔时间为10分钟，即为小时， 所以每辆车出发的时间成等差数列{an}，且首项a1＝14，公差d＝， 则第15辆车出发的时间为a15＝a1＋(15－1)×＝14＋＝， 所以第15辆车行驶的时间为18－＝小时，即1小时40分钟． (2)设每辆车行驶的时间构成等差数列，设为{bn}， 由题意可得{bn}构成首项为b1＝4，公差为d＝－的等差数列， 则15辆车行驶的时间的和为S15＝15×4＋×＝小时， 所以行驶的总里程为S＝×60＝2 550千米． 即车队当天一共行驶了2 550千米． 知识 1.等差数列前n项和及其计算公式.2.由Sn与an的关系求an.3.等差数列前n项和在实际问题中的应用 方法 函数与方程思想、倒序相加法、整体思想 易错误区 由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S5＝30，则a8＝(　　 ) A．10 B．12 C．14 D．16 答案：D 解析：已知a1＝2，所以S5＝5a1＋d＝5×2＋10d＝30，解得d＝2.因此得a8＝a1＋7d＝2＋7×2＝16.故选D. 2．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 答案：C 解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20.故选C. 法二：a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.故选C. 3．(数学文化)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如象招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　 ) A．9 B．16 C．18 D．20 答案：B 解析：根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，设该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋×7≥1 864，且n为满足条件的最小正整数．依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足题意．故选B. 4．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2－3n＋3，则{an}的通项公式为____________． 答案：an＝ 解析：根据已知条件知，当n＝1时，a1＝S1＝1－3＋3＝1；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋3－(n－1)2＋3(n－1)－3＝2n－4(n＝1不适合)．综上，an＝课时测评5　等差数列的前n项和公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于(　　 ) A．27 B． C．45 D．－9 答案：A 解析：由已知得数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，所以S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.故选A. 2．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于(　　 ) A．10 B．15 C．20 D．30 答案：C 解析：因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍去)．故选C. 3．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于(　　 ) A． B．2 C． D．4 答案：A 解析：设{an}的公差为d，由题意得10a1＋×10×9d＝4，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，所以10a1＝5d，所以＝.故选A. 4．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　 ) A．765 B．665 C．763 D．663 答案：B 解析：由题意知a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，所以n<15，所以n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.故选B. 5．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为(　　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：B 解析：由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8.故选B. 6．(多选题)(2024·山西太原期中)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋9n(n∈N＋)，则下列结论正确的是(　　 ) A．{an}是等差数列 B．a4＋a6＝0 C．a9<a10 D．n>5时，an<0 答案：ABD 解析：当n＝1时，a1＝S1＝8，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋9n－[－(n－1)2＋9(n－1)]＝10－2n，符合a1＝8，故an＝10－2n(n∈N＋)，所以an＋1＝10－2(n＋1)＝8－2n，an＋1－an＝－2，所以数列{an}是等差数列，首项a1＝8，公差d＝－2，故A正确；a4＋a6＝2a5＝0，故B正确；n>5时，an<0，故D正确；因为公差d＝－2<0，所以数列{an}是递减数列，所以a9>a10，故C错误．故选ABD. 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋2a4＝21，则S5＝________． 答案：35 解析：等差数列{an}中，a1＋2a4＝3a1＋6d＝21，所以a1＋2d＝7，则S5＝5a1＋10d＝35. 8．等差数列{an}的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，则项数n＝________． 答案：26 解析：因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，所以a1＋an＝＝22，所以Sn＝＝11n＝286，所以n＝26. 9．(新情境)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为________． 答案： 解析：设5个数从小到大排列所成的等差数列为{an}，公差为d，则＝a1＋a2，S5＝100，所以解得 10．(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n＋. (1)求{an}的通项公式；(4分) (2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋1.(6分) 解：(1)由Sn＝－n2＋n＋， 令n＝1得a1＝S1＝－＋＋＝， 当n≥2时，由Sn＝－n2＋n＋， 得Sn－1＝－(n－1)2＋(n－1)＋， 所以an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n＋－＝2－n， a1＝不符合上式， 所以an＝ (2)由于a4，a7，a10，…是首项为a4＝2－4＝－2，公差为a10－a7＝－＝－3的等差数列， 所以a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋1＝a1＋ ＝＋(－2)×n＋×(－3)＝. (11－13每小题5分，共15分) 11．(新情境)南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点(含起始站与终点站)数一共有(　　 ) A．18个 B．19个 C．21个 D．22个 答案：B 解析：由题意设前两站的距离为a1千米，第二站与第三站之间的距离为a2千米，…，第n站与第n＋1站之间的距离为an千米，则{an}是等差数列，且首项a1＝2，公差d＝0.1，则Sn＝2n＋×0.1＝51.3，解得n＝18，则站点数一共有19个．故选B. 12．(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是(　　 ) 答案：ABC 解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．故选ABC. 13．(2024·江苏连云港期末)风雨桥(如图①所示)是侗族最具特色的民间建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形．图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，…，AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，其中B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N＋.已知该风雨桥亭共5层，若A0B0＝8 m，B0B1＝0.5 m，则图②中的五个正六边形的周长总和为________． 答案：210 m 解析：由已知得AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn(n≤4且n∈N＋)，B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝0.5 m，易知图②中五个正六边形的边长(单位：m)构成以a1＝8为首项，d＝－0.5为公差的等差数列.设数列的前5项和为S5，则S5＝5a1＋×5×4×d＝5×8－×5×4×0.5＝35，所以图②中的五个正六边形的周长总和为6S5＝6×35＝210 m. 14．(10分)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn. (1)设Sk＝2 550，求a和k的值；(4分) (2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．(6分) 解：(1)由已知得，2×4＝a－1＋2a，解得a＝3，所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝2， 因为Sk＝2 550，所以2k＋×2＝2 550，即k2＋k－2 550＝0， 解得k＝50或k＝－51(舍去)，所以a＝3，k＝50. (2)由(1)知，Sn＝2n＋×2＝n2＋n，bn＝＝＝n＋1， 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， 所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n. 15．(5分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝，则a2 024＝(　　 ) A．4 043 B．4 045 C．4 047 D．4 049 答案：C 解析：因为4Sn＝(an＋1)2①，所以当n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2②，①－②得4an＝a－a＋2an－2an－1，2(an＋an－1)＝(an＋an－1)(an－an－1)，因为an>0，所以an＋an－1>0，所以an－an－1＝2，又当n＝1时，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列，则an＝2n－1，所以a2 024＝2×2 024－1＝4 047.故选C. 16.(15分)某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 解：设最下面一层放n根，则最多可堆n层， 则1＋2＋3＋…＋n＝≥600， 所以n2＋n－1 200≥0，记ƒ(n)＝n2＋n－1 200， 因为当n∈N＋时，f(n)单调递增， 而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0， 所以n≥35，因此最下面一层最少放35根． 因为1＋2＋3＋…＋35＝630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层． 故最下面一层放35根，共堆了28层． 学生用书↓第19页 学科网（北京）股份有限公司 $$