1.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第2课时　等差数列的性质及实际应用 知识层面 1.了解等差中项的概念，并能用等差中项解决问题．　2.能从函数的角度研究等差数列，能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质．　3.能运用等差数列的性质解决简单的实际问题. 素养层面 通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学习，培养数学抽象素养；借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养. 知识点一　等差数列与一次函数的关系 问题1.我们已经了解到数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式，你认为它与哪一类函数有关？ 提示：一次函数．由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率． 1．等差数列的函数特征 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，它是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d． 2．等差数列的增减性 对于an＝dn＋(a1－d)， (1)当d>0时，数列{an}为递增数列，如图甲所示； (2)当d<0时，数列{an}为递减数列，如图乙所示； (3)当d＝0时，数列{an}为常数列，如图丙所示． [微提醒]　通项法判定等差数列：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列． 例1　 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1. (1)求首项a1和公差d，并作出它的图象； (2)判断数列{an}的增减性． 解：(1)因为an＝3n＋1，所以a1＝3＋1＝4，a2＝3×2＋1＝7，d＝a2－a1＝3. 数列{an}的图象是直线y＝3x＋1上一些等间隔的点，如图所示． (2)由(1)知d>0，所以数列{an}是递增数列． 利用一次函数的性质解答等差数列问题的思路 1．等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及到等差数列中的项、等差数列的公差及数列的增减性的问题，利用多点共线可快速求解． 2．若a，b，c成等差数列，公差为d(d≠0)，且(a，l)，(b，m)，(c，n)三点共线，则＝＝k(k为常数)，所以m－l＝n－m＝kd，那么l，m，n成等差数列．反之，若a，b，c和l，m，n两组数都成等差数列，则(a，l)，(b，m)，(c，n)三点必共线． 对点练1. (多选题)下列判断正确的是(　　 ) A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列 C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 答案：BCD 解析：对于A，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B，C，D均正确． 学生用书↓第12页 知识点二　等差中项 问题2.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为100 mm.已知卫生纸的厚度为0.2 mm，将绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，则从最内层到最外层卫生纸所在圆的半径分别为20.2 mm，20.4 mm，20.6 mm，20.8 mm，21.0 mm，…，50.0 mm.观察上面这个数列，其任意连续三项之间有什么样的关系？ 提示：前一项与后一项的和是中间项的2倍． 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．如果A是a与b的等差中项，那么A－a＝b－A，所以A＝．显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项． [微提醒]　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一．(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝. 例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解：因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 所以b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项， 所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项， 所以c＝＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. 等差中项的常见结论 在等差数列{an}中： 1．an是an－1与an＋1(n≥2，n∈N＋)的等差中项，即an＝(n≥2，n∈N＋)． 2．当m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)时，ap是am与an的等差中项． 对点练2.若x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(　　 ) A．a＝－b B．a＝3b C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0 答案：C 解析：由等差中项的定义知x＝，x2＝，所以＝，即a2－2ab－3b2＝0，可得a＝－b或a＝3b.故选C. 知识点三　等差数列的性质 问题3.已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？ 提示：由an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d两式相减得an－am＝(n－m)d，即an＝am＋(n－m)d. 问题4.　在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，那么ap＋aq与am＋an有何数量关系？ 提示：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，因为p＋q＝m＋n，所以ap＋aq＝am＋an. 学生用书↓第13页 等差数列的性质 1．如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. (1)特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝2as；此时， as为ap，aq的等差中项； (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2．若{an}是公差为d的等差数列，则 (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； (2){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； (3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． [微提醒]　(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.(2)由am＋an＝ap＋aq不能得到m＋n＝p＋q，如常数列． 例3　(1)若{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，求a75； (2)若{an}为等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值． 解：(1)法一：由已知条件，得a15＝a1＋14d＝8，① a60＝a1＋59d＝20.② 由①②解得a1＝，d＝， 故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. 法二：因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 设新的等差数列的公差为d1， 则a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20， 解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24. (2)因为{an}是等差数列， 所以a1＋a17＝a3＋a15＝2a9. 又因为a1－a3＋a9－a15＋a17＝117， 所以a9＝117，所以a3＋a15＝2a9＝234. [变式探究] (变条件，变设问)本例(2)若改为等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，试求k的值． 解：因为数列{an}为等差数列，首项a1＝0，公差d≠0， 所以ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝21d， 解得k＝22. 解决等差数列运算问题的一般方法 一是灵活运用等差数列{an}的性质； 二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解，属于通用方法，或者兼而有之． [占领思想高点]　研究等差数列的性质运用了整体代换与方程的思想． 对点练3.在等差数列{an}中， (1)若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝90，求a9－a12； (2)已知a1＋2a8＋a15＝64，求2a9－a10. 解：(1)在等差数列{an}中， a2＋a10＝a4＋a8＝2a6， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝90， 所以a6＝18， 所以a9－a12＝＝(a6＋a12－a12)＝a6＝9. (2)因为a1＋2a8＋a15＝4a8＝64， 所以a8＝16. 所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝16. 应用一　由等差数列构造新等差数列 例4　 等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…均为40项，求它们的公共项构成的数列{cn}的通项公式． 解：法一(观察归纳法)：{an}：2，5，8，…的公差为3；{bn}：1，5，9，…的公差为4； 观察归纳可知它们的相同项是以5为首项，12为公差(3，4的最小公倍数)的等差数列， 所以cn＝5＋12(n－1)＝12n－7，a40＝119，b40＝157，cn≤119⇒n≤10， 所以{cn}的通项公式为cn＝12n－7(n≤10且n∈N＋)． 法二(引入参变量法)：an＝3n－1(n≤40且n∈N＋)；bm＝4m－3(m≤40且m∈N＋)； 令an＝bm⇔3n＝2(2m－1)，2m－1必为3的倍数(或n必为2的倍数)，设2m－1＝3k(因为左边为奇数，k必为奇数)，再设k＝2t－1，m＝3t－1，n＝4t－2(引入参变量t)，⇒⇒≤t≤10，即t＝1，2，3，…，10. ct＝a4t－2＝b3t－1＝12t－7(t≤10且t∈N＋)， 即cn＝12n－7(n≤10且n∈N＋)． 学生用书↓第14页 求解两个等差数列公共项的方法 1．观察归纳法：通过观察归纳得到公共项的首项和公差，进而可得出公共项的通项公式，然后用通项公式求解． 2．引入参变量法：(1)分别写出两个等差数列的通项公式(变量分别用m，n表示)； (2)由两个通项相等得到m，n之间的关系式； (3)由m，n的关系式得到m或n的特点(如是2的倍数，3的倍数)； 　(4)依据m或n的特点引入参变量k； (5)依据k的特点再引入参变量求解． 对点练4.(1)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　 ) A．15 B．16 C．17 D．18 (2)(2024·湖北武汉高二期末)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则b2 024＝(　　 ) A．4 044 B．4 046 C．4 048 D．4 050 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题意知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N＋，所以n的最大值为16.故选B. (2)设数列的公差为d1，依题意知，b1＝a1，b5＝a2，b5－b1＝a2－a1＝8＝4d1，故d1＝2，故bn＝2n，则b2 024＝2×2 024＝4 048.故选C. 应用二　等差数列的实际应用 例5　甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供了如图所示的两个不同的信息图．甲的调查表明：该县养鸡场年平均出产鸡数从第1年的每个养鸡场1万只上升到第6年的每个养鸡场2万只．乙的调查表明：该县养鸡场的个数由第1年的30个减少到第6年的10个． 请根据提供的信息回答问题． (1)求该县第2年养鸡场的个数及年平均出产鸡的总只数． (2)该县6年中哪一年的养鸡业规模最大？请说明理由． 解：由图甲可知，从第1年到第6年该县养鸡场年平均出产鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2； 由图乙可知，从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年该县年平均出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (1)由a1＝1，a6＝2得 所以所以a2＝1.2. 由b1＝30，b6＝10得 所以所以b2＝26. 故c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2. 综上，该县第2年养鸡场有26个，全县年平均出产鸡31.2万只． (2)因为an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8(1≤n≤6且n∈N＋)， bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6且n∈N＋)， 所以cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6且n∈N＋)． 上式可以看作cn关于n的二次函数关系式． 因为二次函数f(x)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的图象的对称轴为直线x＝， 所以当n＝2时，cn最大，即第2年该县的养鸡业规模最大． 解决等差数列实际问题的基本步骤 注意：在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键量． 对点练5.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解： 设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)， 所以每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损． 所以由an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损． 知识 1.等差数列与一次函数的关系.2.等差中项.3.等差数列的性质.4.等差数列的实际应用 方法 函数法、列方程组法、转化法、整体代换法 易错误区 对等差数列的性质不理解而致错；不注意运用性质而出错或解法繁琐 学生用书↓第15页 1．(2024·北京西城高二期末)若a，b，c成等差数列，则(　　 ) A．2b＝a＋c B．2b＝ac C．b2＝a＋c D．b2＝ac 答案：A 解析：因为a，b，c成等差数列，根据等差中项得2b＝a＋c.故选A. 2．已知等差数列{an}中，a3＋a5＝16，a2＝1，则a6的值是(　　 ) A．4 B．15 C．31 D．64 答案：B 解析：因为{an}是等差数列，所以a3＋a5＝a2＋a6，即16＝1＋a6，故a6＝15.故选B. 3．已知等差数列{an}的公差为d，则“d>0”是“数列{an}为单调递增数列”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若d>0，则an＋1－an＝d>0，即an＋1>an，此时，数列{an}为单调递增数列，即“d>0”⇒“数列{an}为单调递增数列”；若等差数列{an}为单调递增数列，则d＝an＋1－an>0，因此，“d>0”是“数列{an}为单调递增数列”的充要条件．故选C. 4．假设某市2024年新建住房450万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米． 答案：2032 解析：设n年后该市新建住房的面积为an万平方米．由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>.由于n∈N＋，则n≥9.所以该市在2032年新建住房的面积开始大于820万平方米． 课时测评4　等差数列的性质及实际应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D． 答案：B 解析：由等差中项的定义知2a＝1＋5＝6，所以a＝3.故选B. 2．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a6等于(　　 ) A．30 B．40 C．60 D．80 答案：A 解析：因为{an}为等差数列，又a2＋2a6＋a10＝120，且a2＋a10＝2a6，所以4a6＝120，所以a6＝30.故选A. 3．在数列{an}中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 013＝1，则该数列中a1＋a2 025等于(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：因为an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以2an＋1＝an＋an＋2，所以{an}为等差数列，因为a1 013＝1，所以a1＋a2 025＝2a1 013＝2.故选B. 4．(2024·浙江温州高二期中改编)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 024＋b2 024＝(　　 ) A．4 045 B．4 047 C．4 049 D．4 051 答案：B 解析：由于{an}，{bn}均为等差数列，故数列{an＋bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a2 024＋b2 024＝1＋2 023×2＝4 047.故选B. 5．(数学文化)中国古代有一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为(　　 ) A． 升 B． 升 C． 升 D． 升 答案：B 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1升，a2升，…，a9升，则数列a1，a2，…，a9为等差数列，由题意得因为a1＋a4＝a3＋a2，a7＋a9＝2a8，所以所以a2＋a3＋a8＝＋＝，所以第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为 升．故选B. 6．(多选题)下列关于公差d>0的等差数列{an}的说法正确的是(　　 ) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 答案：AD 解析：对于A，因为an＝a1＋(n－1)d，d>0，所以an＋1－an＝d>0，故A正确；对于B，nan＝na1＋n(n－1)d，所以nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关，故数列{nan}不一定递增，故B不正确；对于C，＝＋d，所以－＝(n≥2)，当d－a1>0，即d>a1时，数列递增，但d>a1不一定成立，故C不正确；对于D，设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0，所以数列{an＋3nd}是递增数列，故D正确．故选AD. 7．等差数列{an}中，a5＋a10＋a15＝30，则a22－2a16的值为________． 答案：－10 解析：因为{an}为等差数列，设公差为d，根据等差数列的性质可得a5＋a15＝2a10，所以3a10＝30，解得a10＝10，所以a22－2a16＝a22－(a22＋a10)＝－a10＝－10. 8．已知(1，3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若a5是ap和aq的等差中项，则ap＋aq的值为________． 答案：－10 解析：法一：设等差数列{an}的通项公式为an＝kn＋b，代入点的坐标，得解得即an＝－2n＋5.由于a5是ap和aq的等差中项，所以ap＋aq＝2a5＝2×(－10＋5)＝－10. 法二：由题意知(1，3)，(3，－1)，(5，a5)三点共线，所以＝，所以a5＝－5.由于a5是ap和aq的等差中项，所以ap＋aq＝2a5＝－10. 9．设等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，若an>0，则项数n的最大值是________． 答案：8 解析：由a7＋a8＋a9＝2a7＋a10＝3a8>0，而a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a7>0，a8>0，a9<0，a10<0，故等差数列{an}递减，所以对于等差数列{an}，要使an>0，n的最大值为8. 10．(10分)已知等差数列{an}单调递减，a3＝1，a2a4＝. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)判断数列{a1an}是否为等差数列？若是，求出公差；若不是，说明理由．(6分) 解：(1)由题意知a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2a3＝2. 又a2a4＝，数列{an}单调递减， 所以a4＝，a2＝. 所以公差d＝＝－， 所以a1＝a2－d＝2， 所以an＝2＋(n－1)·＝－n＋. (2)由(1)知a1an＝2an， 则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝－1(常数)，所以数列{a1an}是等差数列，且公差为－1. (11－13每小题5分，共15分) 11．公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a8＝ax＋ay，则xy的值不可能是(　　 ) A．10 B．18 C．22 D．28 答案：C 解析：由等差数列性质知：若a3＋a8＝ax＋ay，则x＋y＝3＋8＝11，又x∈N＋，y∈N＋，所以或或或或或或或或或所以xy可能的值为10或18或24或28或30.故选C. 12．(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　 ) A．小寒比大寒的晷长长一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长长 答案：ABD 解析：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d′＝－10，因大寒与小寒相邻，所以小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d′＝135－60＝75，因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确；因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1＋10d＝15＋100＝115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d′＝135－30＝105，所以b4＞a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确．故选ABD. 13．已知数列{an}满足＝－，a1＝1，a5＝，则a100＝________． 答案： 解析：因为＝－，所以＋＝.因为a1＝1，所以＝1，所以数列是以1为首项的等差数列，设其公差为d，因为a5＝，所以＝9，即＝＋4d，9＝1＋4d，得d＝2.因为＝＋99d＝199，所以a100＝. 14．(10分)已知数列{an}，都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列满足cn＝2an＋3bn. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；(4分) (2)若{an}，{bn}的公差都等于3，a1＝1，b1＝2，求数列的通项公式．(6分) 解：(1)数列是等差数列，理由如下： 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2， 所以d1＝an＋1－an，d2＝bn＋1－bn，n∈N＋， 因为cn＝2an＋3bn， 所以cn＋1－cn＝2an＋1＋3bn＋1－＝2＋3＝2d1＋3d2为常数， 所以数列是等差数列． (2)因为a1＝1，b1＝2，所以c1＝2a1＋3b1＝2×1＋3×2＝8， 由(1)可知数列是等差数列，且公差为2d1＋3d2，且d1＝d2＝3， 所以数列的公差为d＝2×3＋3×3＝15， 所以数列的通项公式为cn＝c1＋(n－1)d＝8＋15(n－1)＝15n－7， 即cn＝15n－7. 15．(5分)(新视角)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2 025这2 025个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有(　　 ) A．144项 B．145项 C．146项 D．147项 答案：B 解析：由已知可得an－1既能被2整除，也能被7整除，故an－1能被14整除，所以an－1＝14(n－1)，n∈N＋，即an＝14n－13，故1≤an≤2 025，即1≤14n－13≤2 025，解得1≤n≤145，故共145项．故选B. 16．(15分)(新角度)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列． (1)若a20＝40，求d；(4分) (2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围；(5分) (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列．(6分) 解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40， 所以d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 故a30＝10， 当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$