1.2.1 第1课时 等差数列-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§2　等差数列 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列 知识层面 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，体会等差数列与一元一次函数的关系．　2.掌握等差中项的概念、等差数列的通项公式、等差数列的判断与证明方法. 素养层面 通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养；借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养. 知识点一　等差数列的概念 问题1.观察下面的3个数列，它们有什么共同特征？ (1)我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…； (3)第19届到第24届冬奥会举办的年份依次为2002，2006，2010，2014，2018，2022. 提示：(1)2029－2017＝2041－2029＝2053－2041＝…＝2077－2065＝12， (2)270－275＝265－270＝260－265＝…＝250－255＝－5， (3)2006－2002＝2010－2006＝2014－2010＝2018－2014＝2022－2018＝4， 即都满足从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． 等差数列的定义 文字语言 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示. 符号语言 an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋) 学生用书↓第8页 [微提醒]　(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去它的前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 例1　 (多选题)下列数列是等差数列的是(　　 ) A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C．，，1，， D．－3，－2，－1，1，2 答案：ABC 解析：由等差数列的定义得，对于A，d＝0，故是等差数列；对于B，d＝3，故是等差数列；对于C，d＝，故是等差数列；对于D，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．故选ABC. 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，即验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数． 对点练1.(多选题)下列命题中正确的是(　　 ) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 答案：BC 解析：对于A，数列是公差为－2的等差数列；对于B，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；对于C，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2为常数，是等差数列；对于D，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列．故选BC. 知识点二　等差数列的通项公式 问题2. 根据等差数列的定义，你能推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 法一(迭代法)：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．当n＝1时上式成立，故an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)． 法二(累加法)：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．当n＝1时上式成立，故an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)． 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． [微提醒]　(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项．(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝(n≠m)，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. 例2　 (1)求等差数列10，8，6，…的第20项； (2)已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式． 解：(1)由于a1＝10，d＝－2， 所以an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，n∈N＋. 所以a20＝－2×20＋12＝－28. (2)设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)， 由已知得解得 故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)×(－1)＝－15－n，n∈N＋. [变式探究] (变条件、变设问)本例(2)若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断2 025是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋， 由已知得解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋， 令an＝2 025，即4n－27＝2 025，解得n＝513∈N＋， 所以2 025是所给数列的第513项． 学生用书↓第9页 等差数列的通项公式及其应用 1．已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量． 2．由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项． 3．根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项． [占领思想高点]　在解决与等差数列通项公式有关问题中掌握方程思想的运用． 对点练2.在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：(1)因为解得 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列的第43项． (2)设{an}的公差为d， 则解得 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋， 所以a10＝13－10＝3. 应用一　等差数列的判定与证明 例3　(2024·辽宁铁岭高二期末)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由＝＝ ＝＝＝＋， 得－＝，n∈N＋， 故数列是等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝，n∈N＋. [变式探究] 1．(变条件)本例中若将条件改为“a1＝4，an＝4－(n≥2)”，问题不变． 解：(1)证明：因为an＝4－(n≥2)，所以an－2＝2－＝， 所以＝＝＝＋，得－＝(n≥2)， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝2＋，n∈N＋. 2．(变条件)本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1”，证明为等差数列，并求{an}的通项公式． 解：(1)证明：由于an＋1＝2an＋2n＋1， 所以－＝－＝1， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)所以＝1＋(n－1)×1＝n. 所以an＝n·2n. 证明一个数列是等差数列的基本方法是定义法，即证明an－an－1＝d(n∈N＋，n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)；若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可． 对点练3. 已知数列{an}中，a1＝2，且满足an＝an－1＋n(n∈N＋，n≥2)． (1)求a2，a3的值； (2)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式． 解：(1)由题意得，a2＝×2＋2＝6， a3＝×6＋3＝12. (2)证明：当n≥2时，－＝－＝＋1－＝1， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以＝n＋1，所以an＝n2＋n. 学生用书↓第10页 应用二　等差数列中常见的设元技巧 例4　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成等差数列且公差d>0，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解：(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 由题意，知解得 所以这三个数为4，3，2. (2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又因为d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 法二：设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 依题意，解得或(舍去)． 故所求的四个数为－2，0，2，4. 等差数列中常见的设元技巧 1．某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d. 2．三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d. 3．四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d. 对点练4. 已知四个数成等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．由题意知， 解得或 故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 知识 1.等差数列的概念、判定.2.等差数列的通项公式.3.利用定义判断或证明一个数列是等差数列.4.等差数列中常见的设元技巧 方法 列方程组法、迭代法、构造法 易错误区 n的范围把握不清晰 1．在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于(　　 ) A． B．－ C．1 D．－1 答案：C 解析：因为a3＝5，a6＝8，所以d＝＝1.故选C. 2．若数列{an}的通项公式an＝3－2n，则此数列是(　　 ) A．公差为－3的等差数列 B．公差为－2的等差数列 C．公差为3的等差数列 D．首项为3的等差数列 答案：B 解析：因为an＝a1＋(n－1)d＝dn＋＝－2n＋3，所以d＝－2，a1＝1，故B正确．故选B. 3．在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝________． 答案：10 解析：因为a5＝11，d＝－2，所以a1＋4×(－2)＝11，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.令－2n＋21＝1，得n＝10. 4．等差数列－3，－7，－11，…的一个通项公式an＝________________________. 答案：－4n＋1 解析：a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1. 课时测评3　等差数列 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．(多选题)下列数列中，是等差数列的是(　　 ) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 答案：ABD 解析：A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；对于C，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列． 2．在等差数列{an}中，a1＝23，d＝－2.则数列{an}中正数项的个数为(　　 ) A．14 B．13 C．12 D．11 答案：C 解析：an＝a1＋(n－1)d＝23＋(n－1)×＝－2n＋25，由an＝－2n＋25>0可得n<12.5，所以数列{an}中正数项的个数为12.故选C. 3．(2024·福建三明高二期末)已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的第n项为(　　 ) A．2n－5 B．2n－3 C．2n－1 D．2n＋1 答案：B 解析：由题意得，(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，故等差数列{an}的前三项依次为－1，1，3，故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋.故选B. 4．已知公差不为零的等差数列{an}满足：a5＋a8＝a14，则＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a5＋a8＝a14，所以a1＋4d＋a1＋7d＝a1＋13d，解得a1＝2d，所以＝＝＝＝.故选B. 5．(2024·山东青岛高二检测)在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　 ) A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1) C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1) 答案：A 解析：由题意得 －＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2.故选A. 6．(数学文化)《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得金(　　 ) A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 答案：B 解析：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得即解得d＝，所以每等人比下一等人多得斤金．故选B. 7．已知等差数列{an}的首项为2，公差为8，在{an}中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{a′n}，数列{a′n}的通项公式a′n＝________． 答案：2n 解析：设数列{a′n}的公差为d′.由题意可知，a′1＝2，a′5＝10，于是a′5－a′1＝10－2＝8.因为a′5－a′1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2.所以a′n＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N＋)． 8．已知数列{an}满足a1＝1，若点(n∈N＋)在直线x－y＋1＝0上，则an＝________． 答案：n2 解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，又＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2. 9．(开放题)(2024·甘肃定西高二质检)写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝________． ①{an}是递增的等差数列；②a1－a3＋2a4＝4. 答案：n－1(n∈N＋)．(答案不唯一) 解析：设公差为d，知d>0，由a1－a3＋2a4＝4，得a1－(a1＋2d)＋2(a1＋3d)＝4，所以a1＋2d＝2，不妨令d＝1，所以a1＝0，所以an＝n－1(n∈N＋)．(答案不唯一) 10．(10分)已知等差数列{an}中，a1＝1，a2＋2a3＋a4＝12. (1)求a5＋a7的值；(4分) (2)若数列{bn}满足：bn＝a2n－1，证明：数列{bn}是等差数列．(6分) 解：(1)因为a1＝1， 所以a2＋2a3＋a4＝(a1＋d)＋2(a1＋2d)＋(a1＋3d)＝4＋8d＝12， 所以d＝1， 所以a5＋a7＝(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝2a1＋10d＝12. (2)证明：由(1)可知an＝1＋(n－1)×1＝n， 所以bn＝a2n－1＝2n－1. 因为bn－bn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2(n≥2)，所以数列{bn}是等差数列，首项是1，公差是2. (11－13每小题5分，共15分) 11．(多选题)已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　 ) A．a1＝4 B．－2是该数列中的项 C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列 答案：AB 解析：因为an＝对于A，当n＝1时，a1＝3×1＋1＝4，故A正确；对于B，若－2是奇数项，则3n＋1＝－2，解得n＝－1，不满足n∈N＋，舍去；若－2是偶数项，则2－2n＝－2，解得n＝2，满足题意，故－2是{an}中的第2项，故B正确；对于C，当n＝3时，a3＝3×3＋1＝10，故{an}的前三项为4，－2，10，显然{an}不是递增数列，故C错误；对于D，由C易知，a2－a1≠a3－a2，故{an}不是等差数列，故D错误．故选AB. 12．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则a2 025＝________________． 答案： 解析：根据题意可得an≠0，所以＝＝1＋，则－＝1，故数列是首项为2，公差为1的等差数列，则＝n＋1，an＝，故a2 025＝. 13．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n个点，相应的图案中点的个数记为an，按此规律，则a6＝________，a100＝________． 答案： 15　297 解析：由图可知，a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，因为an符合等差数列的定义且公差为3，所以an＝3(n－1)(n>1，n∈N＋)，所以a6＝3×5＝15，a100＝3×99＝297. 14．(10分)已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2；(3分) (2)求数列{bn}的通项公式；(3分) (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？(4分) 解：(1)由题意得，等差数列{an}的通项公式为 an＝3－5(n－1)＝8－5n， 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m＝4n－1，n∈N＋. 所以b1＝a3＝8－5×3＝－7， b2＝a7＝8－5×7＝－27. (2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20， 所以数列{bn}也为等差数列， 且首项b1＝－7，公差d′＝－20， 所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n. (3)由(1)知m＝4n－1，n∈N＋， 所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项． 15．(5分)(新定义)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．给出下列命题： ①数列{(－1)n}是“等方差数列”； ②若{an}是“等方差数列”，则{a}是等差数列； ③若{an}是“等方差数列”，则{akn}(k∈N＋，k为常数)也是“等方差数列”； ④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题的序号为__________． 答案：①②③④ 解析：对于①，因为[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0，所以{(－1)n}是“等方差数列”；对于②，根据“等方差数列”和等差数列的定义，易得{a}是等差数列；对于③，设a－a＝p，当n≥2，n∈N＋时，a－a＝a－a＋a－a＋a－a＋…＋a－a＝kp，为常数，故{akn}为“等方差数列”；对于④，数列{an}满足a－a＝p，an－an－1＝d(p，d为常数，d为数列{an}的公差，n≥2，n∈N＋)，若d＝0，则{an}为常数列．若d≠0，则两式相除得an＋an－1＝ (n≥2，n∈N＋)，所以an＝ 为常数，即{an}为常数列． 16．(15分)(新定义)设数列{an}是等差数列，且公差为d.若数列{an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”． (1)若等差数列{an}中，a1＝4，d＝2，求证：数列{an}是“封闭数列”；(6分) (2)若an＝2n－7，试判断等差数列{an}是否为“封闭数列”，并说明理由．(9分) 解：(1)证明：因为a1＝4，d＝2，所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2，所以对任意的s，t∈N*，s≠t，有as＋at＝(2s＋2)＋(2t＋2)＝2(s＋t＋1)＋2. 因为s＋t＋1∈N*，所以as＋at是数列{an}中的项． 所以数列{an}是“封闭数列”． (2)数列{an}不是“封闭数列”．理由如下： 因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a2＝－3，所以a1＋a2＝－8. 令an＝－8，即2n－7＝－8，可得n＝－∉N*. 所以数列{an}不是“封闭数列”． 学生用书↓第11页 学科网（北京）股份有限公司 $$