1.1.2 数列的函数特性-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

1.2　数列的函数特性 知识 层面 1.了解数列的几种表示方法．　2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数，能从函数的角度研究数列．　3.了解递增数列、递减数列、常数列的概念，掌握判断数列的增减性的方法. 素养 层面 通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养；借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养. 知识点一　数列的函数特性 问题1.已知数列： (1)3，4，5，6，7，8，9； (2)1，，，，…； (3)5 300，5 300，5 300，…，5 300，你能作出它们的图象吗？ 提示： 问题2.数列是特殊的函数，那么特殊的表现是什么呢？ 提示：表现在①定义域为正整数集；②图象是一群孤立的点． 1．数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(k，ak)，k＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象． 2．数列的表示方法 表示一个数列，我们可以用图象、列表、通项公式． [微提醒]　(1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点．(2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，对应项的变化趋势． 学生用书↓第5页 例1　 在数列{an}中，an＝n2－8n，画出{an}的图象． 解： 列表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…，图象如图所示． 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)，描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 对点练1.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝. 解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①. (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图②. 知识点二　数列的增减性 问题3.观察问题1中的数列以及作出的数列的图象，你能说出每个数列中项的变化规律吗？ 提示：数列的图象是一些点组成的：(1)逐渐变大，对应函数的图象是上升的． (2)逐渐变小，对应函数的图象是下降的． (3)不变的，这些点在与x轴平行的一条直线上． 数列的增减性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1<an 常数列 各项都相等 an＋1＝an [微提醒]　(1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性．(2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列． [微思考]　若函数y＝f (x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，那么数列an＝f (n)一定是递增数列吗？反之，是否一定成立？ 提示：一定是递增数列，反之，不一定成立，例如an＝n2－n(n∈N＋)是递增数列，但f (x)＝x2－x在区间[1，＋∞)上不单调． 例2　已知数列{an}的通项公式是an＝，则该数列是(　　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 答案：B 解析：对任意n∈N＋，因为an＋1－an＝－ ＝<0，所以数列{an}是递减数列．故选B. [变式探究] 　(变条件)本例若把数列{an}的通项公式改为an＝(k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性． 解：＝·＝<1. 因为k>0，n∈N＋，所以an>0， 所以an＋1<an， 所以{an}是递减数列． 学生用书↓第6页 判断数列增减性的方法 1．作差法：将an＋1－an与0进行比较． 2．作商法：将与1进行比较(在作商时，要注意an<0还是an>0)． 3．函数性质法：利用对应函数在(0，＋∞)上的单调性，判断数列的增减性． [占领思想高点]　在判断数列增减性问题中掌握函数思想的运用． 对点练2.已知数列{an}的通项公式是an＝，判断数列{an}的增减性． 解：法一(作差法)：因为an＋1－an＝－＝＝>0， 所以an＋1>an对任意的n∈N*都成立，所以{an}是递增数列． 法二(作商法)：因为an＝>0， 所以＝·＝＝>1， 所以an＋1>an对任意的n∈N*都成立，所以{an}是递增数列． 法三(函数性质法)：因为an＝＝＝2－，由于函数 y＝2－在上单调递增，所以{an}是递增数列． 数列的最大(小)项 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N，n≥1)． (1)依次写出数列{an}的前5项； (2)研究数列{an}的增减性，并求数列{an}的最大项和最小项． 解：(1)由题意得，a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝， a5＝＝. (2)an＝＝＝1＋， 当n≤49时，an>1且{an}递增；当n≥50时，0≤an<1且{an}递增． 所以{an}max＝a49＝2；{an}min＝a50＝0. 求数列{an}的最大项和最小项的方法 1．数列或函数的单调性法． 2．不等式法：利用(n≥2)求数列中的最大项an， 利用(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定. 对点练3.已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最大项． 解：设an是数列{an}中的最大项， 则即 所以所以即9≤n≤10， 所以当n＝9或n＝10时，an最大， 最大项为a9＝a10＝2×10×0.910＝20×0.910. 知识 1.数列的表示方法.2.数列的增减性的判断及应用.3.求数列的最大(小)项 方法 图象法、转化与化归思想 易错误区 求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错 学生用书↓第7页 1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是(　　 ) A．一条直线 B．一条线段 C．一条射线 D．一群孤立的点 答案：D 解析：因为an＝3n－2，n∈N＋，所以数列{an}的图象是一群孤立的点．故选D. 2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　 ) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 答案：C 解析：因为{an}是递减数列，所以an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.故选C. 3．若an＝，则an与an＋1的大小关系是(　　 ) A．an>an＋1 B．an<an＋1 C．an＝an＋1 D．不能确定 答案：B 解析：an＝＝3－，所以an＋1－an＝－＝－＝>0，即an<an＋1.故选B. 4．在数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是________． 答案：30 解析：an＝－n2＋11n＝－＋，又n∈N＋，所以当n＝5或6时，an取最大值30. 课时测评2　数列的函数特性 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．已知数列{an}满足an＋1－an－2 024＝0，则数列{an}是(　　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 答案：A 解析：由an＋1－an＝2 024>0知数列{an}为递增数列． 2．(多选题)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为(　　 ) A．an＝－2n＋1 B．an＝－n2＋3n＋1 C．an＝ D．an＝(－1)n 答案：AC 解析：可以利用数列的函数特性一一判断，A，C中数列为递减数列，B中数列不单调，D中数列是摆动数列．故选AC. 3．函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 025等于(　　 ) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A．1 B．2 C．4 D．5 答案：D 解析：根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以周期为3，故x2 025＝x3＝5.故选D. 4．(2024·福建福州高二月考)已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的最大值是(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：由an＝，得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.又an＝，n∈N＋，函数y＝在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以{an}的最大值为a2＝a3＝.故选B. 5．(多选题)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下说法正确的是(　　 ) A．该数列有无限多个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数f (x)＝－2x2＋13x的最大值 D．－70是该数列中的一项 答案：BD 解析：令－2n2＋13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限多个负数项，故A错误，B正确；当n＝3时，数列{an}取到最大值，而当x＝3.25时，函数f (x)取到最大值，故C错误；令－2n2＋13n＝－70，得n＝10或n＝－(舍去)，即－70是该数列的第10项，故D正确．故选BD. 6．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(　　 ) A．k>0 B．k>－1 C．k>－2 D．k>－3 答案：D 解析：因为an＋1>an，所以an＋1－an>0.又an＝n2＋kn＋2，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0，所以k>－2n－1.又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，所以k>－3.故选D. 7．已知数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＋1<an的n的值为________． 答案：5 解析：由an＝，an＋1<an，得an＋1－an＝－＝<0，解得<n<，因为n∈N＋，所以n＝5. 8．在数列{an}中，若an＝n(n－8)－20，则该数列从第________项开始递增，数列的最小值为________． 答案：4　－36 解析：由题意，an＋1－an＝2n－7，令2n－7>0，得n>，故数列{an}从第4项开始递增．an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，故当n＝4时，{an}的最小值为a4＝－36. 9．(2024·陕西西安检测)设函数f (x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________． 答案：(2，3) 解析：结合函数的单调性，要使数列{an}递增，则应有解得2<a<3. 10．(10分)在数列{an}中，an＝(n＋1). (1)求证：数列{an}先递增后递减；(6分) (2)求数列{an}的最大项．(4分) 解：(1)证明：显然an＝(n＋1)>0. 令≥1(n≥2)，即≥1， 整理得≥，解得n≤10. 令≥1，即≥1， 整理得≥，解得n≥9. 由a9＝a10＝， 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减． (2)由(1)知a9＝a10＝最大． (11－13每小题5分，共15分) 11．已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}从第m项起单调递减，则m的最小值为(　　 ) A．11 B．12 C．13 D．不存在 答案：A 解析：因为an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝－＝.由数列{an}从第m项起单调递减可得am＋1－am<0，即－m2－m＋130<0，即m2＋m－130>0，解得m<或m>，又m∈N＋，所以m>.因为22<<23，所以10.5<<11，所以m≥11，所以m的最小值为11.故选A. 12．(多选题)(2024·广东广州高二期中)下列是递增数列的是(　　 ) A. B． C. D． 答案：BC 解析：对于A，an＝，an＋1＝，an＋1－an＝－3×，是摆动数列，故A不符合题意；对于B，an＝1＋πn，an＋1＝1＋π，an＋1－an＝π>0，故B符合题意；对于C，an＝3n－4n，an＋1＝3n＋1－4，an＋1－an＝2×3n－4，当n≥1 时，an＋1－an≥2>0，故C符合题意；对于D，an＝3n－2n＋2，an＋1＝3n＋1－2n＋3，an＋1－an＝2×3n－4×2n ，当n＝1 时，a2－a1＝－2<0，故D不符合题意．故选BC. 13．(开放题)请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0<an<2.这个数列的通项公式可以是________． 答案：an＝2－(答案不唯一) 解析：因为an＝2－的定义域为N＋，且an＝2－在n∈N＋上单调递增，0<2－<2，所以满足这3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－. 14．(10分)已知函数f (x)＝2x－2－x，数列{an}满足f (log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)证明：数列{an}是递减数列．(6分) 解：(1)因为f (x)＝2x－2－x，f (log2an)＝－2n， 所以2log2an－2－log2an＝－2n， 即an－＝－2n(看成关于an的方程)． 所以a＋2nan－1＝0， 解得an＝－n± . 因为an>0， 所以an＝－n，n∈N＋. (2)证明：作商比较， 所以＝＝<1， 又an>0，所以an＋1<an， 故数列{an}是递减数列． 15．(5分)已知an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项的值为________． 答案： 解析：因为an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·，所以当n≤7时，an＋1－an>0；当n＝8时，an＋1－an＝0；当n≥9时，an＋1－an<0.所以a1<a2<…<a7<a8＝a9，a9>a10>a11>a12>….故数列{an}存在最大项，且最大项为a8＝a9＝. 16．(15分)已知数列{an}的通项公式为an＝n·. (1)判断是不是数列中的项？若是，是第几项？(6分) (2)求数列{an}中的最大项．(9分) 解：(1)若是数列中的项，则an＝n·＝＝4×， 所以n＝4，即为数列中的第4项． (2)法一(作差比较法)：an＋1－an＝－n·＝·， 当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an>…， 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×＝. 法二(作商比较法)：＝＝， 令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2； 令<1，解得n>2. 又an>0，故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an>…， 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$