第二章 重点题型强化（六）导数中的函数构造问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第二章导数及其应用 重点题型强化（六）导数中的函数构造问题 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式。 知识层面 2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题. 素养层面 通过构造函数问题提升逻辑推理、直观想象素养 题型一 直接构造函数 例1 (2022:全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9, A.a>0>b B.a>b>0 C曙斯0 D.b>0>a 由9m=10,所以m∈(1，)，又由已知可以得到9m一9一1= 0,a=10m-10-1,b=8m-8-1,令f(x)=xm-x- 1(x≥8)，所以f(x)=mm-1一1(x≥8)单调递增，且fx)>0,所以f (x)=xm一x一1(x≥8)单调递增，所以 f(10)>f(9)>f(8),又因为f(9)=0,所以f(10)>0>f(8),所以a>0>b. 故选A. 规律方法 变形原等式，直接构造新函数，再运用函数的单调性比较大小或 解不等式. 对点练1.已知a=1012,b=111,c=1210,则a,b,c的大小关 系为 A.b>c>a B.b>a>cv 6解题>c心b D.a>b>c 题型二 利用f(x)与x构造 例2 已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且满足f(x)+xf(x)>0 (f(x)是f(x)的导函数)，则不等式c一1)f(x2一1I)f(x+1)的解集为 A.（-1,2) B. 2) C.(1,+∞) D. 0， 解 由f(x)+f(x)>0,得[xfx)]'>0.令gx)=xf(x),则gx)在(0，+∞) 上单调递增.因为f(x)的定义域为(0，十∞)，所以不等式(x一1)f(x2 - 1)f(x+1)满足x2一1>0，x+1>0,不等式两边同时乘以x+ 1,得(x2-1)f(x2-1)<(x+1)f(x+1),即gx2-1)g(x+1),又 因为gx)在(0，十∞)上单调递增，所以 解得1<x<2,故选B. 变式探究 (变条件、变设问)把本例中的条件f(x)+xfx)>0换为“f(x)<xf(x)”，解 不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1). 因为f(x)<xf(x),所以g(x)>0,故g(x)在(0，+∞)上单调递增. 即g(2x+1)>g(x2+ 1), 即不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)的解集为(0,2). 规律方法 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数 常见的有：1.对于f(x)>g(x),构造h(x)=fx)一gx). 2.对于f(w)+g'(x)>0,构造hx)=fx)+gx). 3.对于fx)>a,构造h(x)=f(x)一ax. 4.对于xf(x)+fx)>0,构造h(x)=f(x)· 5.对于xf(x)一f(x)>0,构造h(x)= 对点练2.(1)设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f(x)g (x)一 f(x)g'(x)<0,则当a<x<b时有 A·f(x)g(x)Pf(b)g(b) B.f(x)g(b)f(b)g(x) c解蔄c)g(aPfa)g内 D·gag) (2)设函数fx)是奇函数f(x)x∈R)的导函数，f(一1)=0，当x>0时， xf(x)一f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 /(-∞，-10U0,1) B.(-1,0)U(1,+∞) C (-∞，-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+∞) 解