模块综合检测卷-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

模块综合检测卷 　 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．在等比数列{an}中，a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，则a7＝ A．3 B．－3 C．±3 D．无法确定 √ 因为a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，所以a4a10＝9，由等比数列的性质可知a4a10＝a ＝9，所以a7＝±3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有 A．300个 B．320个 C．340个 D．360个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．已知函数f (x)＝x3－ax＋2 (a∈R，则下列说法错误的是 A．当a<0时，函数f (x)不存在极值点 B．当a＝1时，函数f (x)有三个零点 C．点(0，2)是曲线y＝f (x)的对称中心 D．若y＝2x是函数f (x)的一条切线，则a＝1 对于A选项，当a<0时，f′(x)＝3x2－a>0，此时函数f (x)在R上单调递增，所以，当a<0时，函数f (x)不存在极值点，故A正确；对于B选项，当a＝1时，f (x)＝x3－x＋2，f′(x)＝3x2－1， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C选项，对任意的x∈R，f (－x)＋f (x)＝(－x3＋ax＋2)＋(x3－ax＋2)＝4，所以，点 (0，2)是曲线y＝f (x)的对称中心，故C正确；对于D选项，设y＝2x是函数f (x)的一条切线，设切点坐标为(t，t3－at＋2)，f′(x)＝3x2－a，由题意可得f′(t)＝3t2－a＝2①，所以，曲线y＝f (x)在x＝t处的切线方程为y－(t3－at＋2)＝2 (x－t)，即y＝2x＋t3－(a＋2)t＋2，则t3－(a＋2)t＋2＝0②，联立①②可得a＝t＝1，故D正确．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．数列{an}的前n项和Sn＝A(3n－1)，(A≠0)，若k为3和l的等差中项(k，l∈N＋)，则 ＝ A．3 B．9 C．27 D．与A的取值有关 √ n＝1，a1＝S1＝2A，n≥2，an＝Sn－Sn－1＝A(3n－1)－A(3n－1－1)＝2A ×3n－1，且n＝1也符合，所以{an}是公比为3的等比数列，由k为3和l的等差中项知2k＝l＋3，所以 ＝q3＝27.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．已知定义在R上的可导函数f (x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f (x)且f (x＋3)为偶函数，f (x＋1)为奇函数，若f (9)＋f (8)＝1，则不等式f (x)<ex的解 集为 A．(－3，＋∞) B． (1，＋∞) C．(0，＋∞) D． (6，＋∞) 因为f (x＋3)为偶函数，f (x＋1)为奇函数，所以f (x＋3)＝f (－x＋3)，f (x＋1)＋f (－x＋1)＝0，所以f (x)＝f (－x＋6)，f (x)＋f (－x＋2)＝0，所以f (－x＋6)＋f (－x＋2)＝0.令t＝－x＋2，则f (t＋4)＋f (t)＝0.令上式中t取t－4，则f (t)＋f (t－4)＝0，所以f (t＋4)＝f (t－4)．令t取t＋4，则f (t)＝ f (t＋8)，所以f (x)＝f (x＋8)．所以f (x)为周期为8的周期函数． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.如果函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是  A．函数y＝f (x)在区间(3，5)内单调递增 B．当x＝－ 时，函数y＝f (x)有极大值 C．函数y＝f (x)在区间(1，2)内单调递增 D．当x＝2时，函数y＝f (x)有极大值 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 结合函数y＝f (x)的导函数的图象可知：当x<－2时，导函数值小于0，函数f (x)是减函数；当x＝－2时，导函数值等于0，函数f (x)取极小值；当－2<x<2时，导函数值大于0，函数f (x)是增函数；当x＝2时，导函数值等于0，函数f (x)取极大值；当2<x<4时，导函数值小于0，函数f (x)是减函数；当x＝4时，导函数值等于0，函数f (x)取极小值；当x>4时，导函数值大于0，函数f (x)是增函数，结合选项易知，A，B错误，C，D正确，故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 已知数列{an}的“优值”H0＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是 A．an＝2n＋2 B．Sn＝n2－19n C．S8＝S9 D．Sn的最小值为－72 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n②， ①－②得，2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n，解得an＝2 (n＋1)，当n＝1时也成立，所以an＝2n＋2，故A正确；Sn＝a1－20＋a2－20＋…＋an－20＝a1＋a2＋…＋an－20n＝2×1＋2＋2×2＋2＋…＋2×n＋2－20n＝2 (1＋2＋…＋n)＋2n－20n＝n (n＋1)－18n＝n2－17n，故B错误；因为an－20＝2n－18，当an－20≤0时，即n≤9，且a9－20＝0，故当n＝8或9时，{an－20}的前n项和Sn取最小值，最小值为S8＝S9＝ ＝－72，故C，D正确．故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．已知函数f (x)＝x3－ax2＋bx＋1，则下列说法正确的是 A．当b＝0时，f (x)有两个极值点 B．当a＝0时，f (x)的图象关于(0，1)中心对称 C．当b＝ ，且a>－4时，f (x)可能有三个零点 D．当f (x)在R上单调时，a2≥3b √ √ 对于A，当b＝0时，f(x)＝x3－ax2＋1，f′(x)＝3x2－2ax，若a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，则f (x)在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；对于B，当a＝0时，f (x)＝x3＋bx＋1，f (－x)＝－x3－bx＋1，则f (x)＋f (－x)＝2，所以f (x)的图象关于(0，1)中心对称，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝4，则log8a2＋log8a3＋log8a7的值为____． 2 设数列{an}公比为q，则a4＝a1q3＝4，则log8a2＋log8a3＋log8a7＝log8 (a2·a3·a7)＝log8 (a1q·a1q2·a1q6)＝log(a1q3)83＝log864＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．若函数f (x)＝ax－ln x在(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝3，且Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn(n≥2)．若λ(Sn－an)＋λ＋5≥(2－λ)n对∀n∈N＋都成立，则实数λ的最小 值为____． 因为Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn(n≥2)，所以Sn＋1－Sn＝2n＋Sn－Sn－1(n≥2)，又a2－a1＝2，所以an＋1－an＝2n (n∈N＋)，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1，n＝1，a1＝1满足上式，所以Sn＝2n＋1－n－2，代入λ (Sn－an)＋λ＋5≥(2－λ)n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15．(13分)已知Sn为公差为2的等差数列{an}的前n项和，若数列 为等差数列． (1)求an；(5分) 因为Sn为公差为2的等差数列{an}的前n项和， 故an＝2＋2 (n－1)＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求数列{S2n}的前n项和．(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)在①f (x)的图象在点(0，f (0))处的切线斜率为1；②f′(1)＝0；③f (x)有两个极值点－1，1这三个条件中任选一个补充在下面的问题(1)中，并加以解答． 已知f (x)＝xex－ (x＋1)2. (1)若________，求实数m的值；(6分) 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：方案一：选条件①. 易得f′(x)＝(x＋1) (ex－m)， 所以f′(0)＝(0＋1) (e0－m)＝1，所以m＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 方案二：选条件②. 易得f′(x)＝(x＋1) (ex－m)， 所以f′(1)＝(1＋1) (e1－m)＝0，所以m＝e. 方案三：选条件③. 易得f′(x)＝(x＋1) (ex－m)，若m≤0，则不符合条件③，故m>0， 所以由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝ln m. 因为f (x)有两个极值点－1，1，所以ln m＝1， 所以m＝e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若m>0，讨论f (x)的单调性．(9分) 解：f′(x)＝(x＋1) (ex－m). 当m>0时，由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝ln m. 所以f (x)在R上单调递增. 所以当f′(x)>0时，x<－1或x>ln m； 当f′(x)<0时，－1<x<ln m. 所以f (x)在(－∞，－1)，(ln m，＋∞)上单调递增，在(－1，ln m)上单调 递减． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以当f′(x)>0时，x<ln m或x>－1； 当f′(x)<0时，ln m<x<－1. 所以f (x)在(－∞，ln m)，(－1，＋∞)上单调递增，在(ln m，－1)上单调 递减． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)某市为提高市民的健康水平，拟在半径为20米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场(如图所示的阴影部分)分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形ABCD区域是休闲健身区，以CD为底边的等腰三角形区域PCD是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，AB中点恰好为圆心O.设∠COB＝θ，健身广场的面积为S.  (1)求出S关于θ的函数解析式；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由已知得BC＝20sin θ，OB＝20cos θ， 等腰△PCD底边CD上的高为20－20sin θ， ＝800sin θcos θ＋400(cos θ－cos θsin θ) ＝400(2sin θcos θ＋cos θ－sin θcos θ) ＝400(sin θcos θ＋cos θ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当角θ取何值时，健身广场的面积最大？(9分) 解：设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)已知函数y＝f (x)＝xln x和y＝g(x)＝m(x2－1) (m∈R). (1)当m＝1时，求方程f (x)＝g(x)的实根；(5分) 解：当m＝1时，由f (x)＝g(x)得 xln x＝x2－1， 所以h(x)在 (0，＋∞)上单调递减， 又h(1)＝0，故方程f (x)＝g(x)有唯一的实根，即x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若对任意的x∈(1，＋∞)，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f (x)的图象的上方，求实数m的取值范围；(5分) 解：对于任意的x∈(1，＋∞)，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f (x)的图象的上方， 即对任意的x∈(1，＋∞)，f (x)<g(x)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若m≤0，则F′(x)>0，则F(x)在(1，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0， 所以F(x)>0，与F(x)<0矛盾； ②若m>0，方程－mx2＋x－m＝0的判别式Δ＝1－4m2， 所以F(x)<0，不等式成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以方程有两个正实根且0<x1<1<x2. 当x∈(1，x2)时，F′(x)>0，F(x)单调递增， 此时F(x)>0，与F(x)<0矛盾． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)已知各项均不为0的递增数列{an}的前n项和为Sn，且 a1＝2，a2＝4，anan＋1＝2Sn(Sn＋1＋Sn－1－2Sn) (n∈N＋，且n≥2)． 解：anan＋1＝2Sn(Sn＋1＋Sn－1－2Sn)＝2Sn(an＋1－an)(n≥2)， 因为{an}各项均不为0且递增， 所以an＋1－an≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 化简得an(an＋1＋an－1－2an)＝0(n≥3)， 所以an＋1＋an－1＝2an(n≥3)， 因为a1＝2，a2＝4， 所以a2a3＝2S2(S3＋S1－2S2)， 所以a3＝6， 所以a1＋a3＝2a2， 所以{an}为等差数列， 所以an＝2n，Sn＝n2＋n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”．证明： ①对任意k≤5且k∈N＋，存在“G-数列”{bn}，使得bk≤ak≤bk＋1成立； 解：①证明：设“G-数列”公比为q，且q>1， 由题意，只需证存在q对k≤5且k∈N＋，2qk－1≤2k≤2qk成立， 即(k－1)ln q≤ln k≤kln q成立， 令f′(x)＝0，解得x＝e， 当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f (x)单调递增， 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f (x)单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以对任意k≤5且k∈N＋，存在“G-数列”{bn}使得bk≤ak≤bk＋1成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ②当k≥6且k∈N＋时，不存在“G-数列”{cn}，使得cm≤am≤cm＋1对任意正整数m≤k成立．(10分) 解：由①知，若cm≤am≤cm＋1成立， 则qm－1≤m≤qm成立， 当k≥6时，取m＝3得q2≤3≤q3， 取m＝6得q5≤6≤q6， 所以q不存在， 所以当k≥6且k∈N＋时，不存在“G-数列”{cn}使得cm≤am≤cm＋1对任意正整数m≤k成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 导 数 及 其 应 用 返回 ＝ 当a∈时，f (x)＝x2＋aln x在(0，＋∞)上单调递增，则>0，因为>m，所以>m.记g(x)＝f (x)－mx，因为>m，所以>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故g′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立， 当Δ≤0，即m≥时，F′(x)≤0，则F(x)在(1，＋∞)上单调递减，又F(1)＝0， $$