1.5 数学归纳法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

§5　数学归纳法 　 第一章　数列 知识层面 1.了解数学归纳法的原理．　 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 素养层面 通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升逻辑推理素养. 知识点一　数学归纳法 1 课时测评 4 综合应用 2 内容索引 随堂演练 3 知识点一　数学归纳法 返回 问题导思 问题1.我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．那么，在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 提示：使所有骨牌都能倒下的条件有两个： (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 新知构建 数学归纳法是用来证明某些与_________有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取________值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当_________时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 正整数n 第一个 n＝k＋1 (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 微提醒 (1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是 A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 例1 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C. √ (2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则n＝k＋1时，在n＝k时的左端应加上_________________________． (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，所以在n＝k时的左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 规律方法 数学归纳法的三个关键点 1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. 2．递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． 3．利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 √ 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．故选D. 返回 综合应用 返回 应用一　利用数学归纳法证明等式 例2 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立． 变式探究 那么当n＝k＋1时， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立． 规律方法 用数学归纳法证明等式的方法 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 则当n＝k＋1时， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)知等式对任意正整数n都成立． 应用二　利用数学归纳法证明不等式成立 例3 只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0， 只需证9k＋5≥0，显然成立． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立． 规律方法 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立． 应用三　归纳－猜想－证明 例4 (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立， 所以当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知，命题对任何n∈N＋都成立． Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， 规律方法 “归纳－猜想－证明”的解题步骤 对点练4.(开放题)请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)；②an＋1＝nan－2n2＋3n＋1(n∈N，n≥1)． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝1，_______________. (1)求a2，a3，a4； 解：选择条件①，因为Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)， 所以当n＝2 时，S1＋a2＝4，即a2＝3， 当n＝3 时，S2＋a3＝9，所以a1＋a2＋a3＝9，即a3＝5， 当n＝4 时，S3＋a4＝16，即a4＝7， 故a2，a3，a4分别为3，5，7. 选择条件②，an＋1＝nan－2n2＋3n＋1(n∈N，n≥1)， 所以当n＝1 时，a2＝a1－2×12＋3×1＋1＝3, 当n＝2 时，a3＝2a2－2×22＋3×2＋1＝5， 当n＝3 时，a4＝3a3－2×32＋3×3＋1＝7， 故a2，a3，a4分别为3，5，7. (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：猜想an＝2n－1，证明如下： 选择条件①，因为Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)， n＝1时，由题知，a1＝1，猜想成立， 假设n＝k(k∈N，k≥2)时，ak＝2k－1， 则Sk－1＋ak＝k2，所以Sk＋ak＋1＝(k＋1)2， 两式相减得：Sk＋ak＋1－Sk－1－ak＝(k＋1)2－k2， 即ak＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1， 所以当n＝k＋1时，an＝2n－1成立， 综上所述，对任意n∈N＋，有an＝2n－1. 选择条件②，an＋1＝nan－2n2＋3n＋1(n∈N，n≥1)， n＝1时，由题知，a1＝1，猜想成立， 假设n＝k(k∈N，k≥2)时，ak＝2k－1， 则ak＋1＝kak－2k2＋3k＋1＝k(2k－1)－2k2＋3k＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1， 所以当n＝k＋1时，an＝2n－1成立， 综上所述，对任意n∈N＋，有an＝2n－1. 返回 课堂小结 知识 1.数学归纳法的概念.2.用数学归纳法证明等式.3.用数学归纳法证明不等式.4.“归纳－猜想－证明”问题 方法 数学归纳法 易错误区 一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错 随堂演练 返回 1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 A．2 B．3 C．5 D．6 令n0分别取2，3，5，6，依次验证即得．故选C. √ 1时，左端增加的项数是 A．1 B．k－1 C．k D．2k √ 3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是________________． (2k＋1)＋(2k＋2) 因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)． 返回 课时测评 返回 1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为 A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f (k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为 A．f (k)＋1 B．f (k)＋k C．f (k)＋k＋1 D．k·f (k) √ 若要使交点最多，则增加的一条直线和原来的k条直线都相交，有k个交点，故交点个数最多为f (k)＋k.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，所以项数为n2－n＋1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．用数学归纳法证明“2n>n＋2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 A．2 B．3 C．5 D．6 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；要验证n＝1时，左边＝21＝2，右边＝1＋2＝3，2n>n＋2不成立，n＝2时，左边＝22＝4，右边＝2＋2＝4，2n>n＋2不成立，n＝3时，左边＝23＝8，右边＝3＋2＝5，2n>n＋2成立，n＝4时，左边＝24＝16，右边＝4＋2＝6，2n>n＋2成立，因为n≥3时，2n>n＋2恒成立．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选题)如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．则下列结论正确的是 A．若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正整数都成立 B．若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有正偶数都成立 C．若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正奇数都成立 D．若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有自然数都成立 √ √ 由题意可知，若p(n)对n＝1成立，则p(n)对n＝1，3，5，7…所有正奇数都成立；若p(n)对n＝2成立，则p(n)对n＝2，4，6，8…所有正偶数都成立．故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．记凸k边形的内角和为f (k)，则凸k＋1边形的内角和f (k＋1)＝f (k)＋____． π 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k＋1)＝f (k)＋π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＋f (n－1)＝nf(n)(n∈N＋，n≥2)”时，第一步要证的式子是________________． 因为n≥2，所以n0＝2，观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f (1)＝2f (2)． 2＋f (1)＝2f (2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；(4分) 解：因为a1＝1，an＋1＝f (an)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)用数学归纳法证明你的结论．(6分) 解：证明：①易知当n＝1时，结论成立； 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是 A．假设n＝k (k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1 (k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当n＝k (k∈N＋)时，k＋1表示除1以外的所有正整数， 故A错误；对于B，当n＝k(k是正奇数)时，k＋1表示正偶数，故B错误；对于C，当n＝2k＋1 (k∈N＋)时，不包含1，且k＋1不一定表示正奇数，故C错误；对于D，当n＝k(k是正奇数)时，k＋2表示下一个正奇数，故D正确．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选题)设f (x)是定义在正整数集上的函数，且f (x)满足：当f (k)≥k＋1成立时，总有f (k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是 A．若f (6)<7成立，则f (5)<6成立 B．若f (3)≥4成立，则当k≥1时，均有f (k)≥k＋1成立 C．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立 D．若f (4)≥5成立，则当k≥4时，均有f (k)≥k＋1成立 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当f (k)≥k＋1成立时，总有f (k＋1)≥k＋2成立．则逆否命题：当f (k＋1)<k＋2成立时，总有f (k)<k＋1成立．若f (6)<7成立，则f (5)<6成立，故A正确；对于B，若f (3)≥4成立，则当k≥3时，均有f (k)≥k＋1成立，故B错误；对于C，当f (k)≥k＋1成立时，总有f (k＋1)≥k＋2成立．则逆否命题：当f (k＋1)<k＋2成立时，总有f (k)<k＋1成立．故若 f (2)<3成立，则f (1)<2成立，所以C错误；对于D，根据题意，若f (4)≥5成立，则f (n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)成立，即f (k)≥k＋1 (k≥5)成立，结合f (4)≥5，所以当k≥4时，均有f (k)≥k＋1成立，故D正确．故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)(新情境)设函数y＝f (x)，对任意实数x，y都有f (x＋y)＝f (x)＋ f (y)＋2xy. (1)求f (0)的值；(2分) 解：令x＝y＝0， 得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋2×0×0，得f (0)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f (1)＝1，求f (2)，f (3)，f (4)的值；(3分) 解：由f (1)＝1， 得f (2)＝f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋2×1×1＝4； f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＋2×2×1＝9； f (4)＝f (3＋1)＝f (3)＋f (1)＋2×3×1＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)在(2)的条件下，猜想f (n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法证明．(5分) 解：由(2)可猜想f (n)＝n2. 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，f (1)＝12＝1，显然成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即f (k)＝k2， 则当n＝k＋1时，f (k＋1)＝f (k)＋f (1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2， 即当n＝k＋1时命题也成立， 由①②可知，对一切n∈N＋都有f (n)＝n2成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)已知f (n)是关于正整数n的命题．小明证明了命题f(1)，f(2)，f (3)均成立，并对任意的正整数k，在假设f (k)成立的前提下，证明了f (k＋m)成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明f (n)对一切正整数n均成立，则m的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 由题意可知，f (n)对n＝1，2，3都成立，假设f (k)成立的前提下，证明了f (k＋m)成立，由此推得，对n＞m的任意整数f (n)均成立，因此m的最大值可以为3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)已知等差数列{an}中，a2＝5，a1＋a2＋a3＝a7.正项数列{bn}的前n项和Sn满足：对任意n∈N＋，bn－1, ，bn＋2成等比数列． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(6分) 由题设，2Sn＝(bn－1) (bn＋2)①，取n＝1得2b1＝(bn－1) (bn＋2)，解得b1＝2或b1＝－1(舍去)． 又2Sn＋1＝(bn＋1－1) (bn＋1＋2) ②， ①②两式相减得，(bn＋1＋bn) (bn＋1－bn－1)＝0，所以bn＋1－bn＝1，故bn＝n＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 数 列 返回 证明：＋＋…＋＝(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，等式成立． 证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)． 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝. 4．观察下列不等式：1>，1＋＋>1，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为____________________(n∈N＋)． 1＋＋＋…＋> ＋＋…＋ 那么当n＝k＋1时，c1·c2·…·ck·ck＋1> ·>· $$