1.1.2 数列的函数特性-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.2　数列的函数特性 　 第一章　§1　数列的概念及其函数特性 知识层面 1.了解数列的几种表示方法．　 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数，能从函数的角度研 究数列．　 3.了解递增数列、递减数列、常数列的概念，掌握判断数列的增减 性的方法. 素养层面 通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养；借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养. 知识点一　数列的函数特性 1 知识点二　数列的增减性 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　数列的函数特性 返回 问题1.已知数列： (1)3，4，5，6，7，8，9； 问题导思 提示： (3)5 300，5 300，5 300，…，5 300，你能作出它们的图象吗？ 问题2.数列是特殊的函数，那么特殊的表现是什么呢？ 提示：表现在①定义域为正整数集；②图象是一群孤立的点． 1．数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在__________(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为_________________________这个图象也称为数列的图象． 2．数列的表示方法 表示一个数列，我们可以用____________、通项公式． 新知构建 正整数集 (k，ak)，k＝1，2，3，… 图象、列表 (1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点．(2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，对应项的变化趋势． 微提醒 在数列{an}中，an＝n2－8n，画出{an}的图象． 例1 解： 列表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…，图象如图所示． 规律方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)，描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 对点练1.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； 解：a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①. 返回 知识点二　数列的增减性 返回 问题3.观察问题1中的数列以及作出的数列的图象，你能说出每个数列中项的变化规律吗？ 提示：数列的图象是一些点组成的：(1)逐渐变大，对应函数的图象是上 升的． (2)逐渐变小，对应函数的图象是下降的． (3)不变的，这些点在与x轴平行的一条直线上． 问题导思 数列的增减性 新知构建 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项 an＋1<an 常数列 各项都______ an＋1＝an 大于 小于 相等 (1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性．(2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列． 微提醒 若函数y＝f (x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，那么数列an＝f (n)一定是递增数列吗？反之，是否一定成立？ 微思考 已知数列{an}的通项公式是an＝ ，则该数列是 A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 例2 √ 变式探究 (变条件)本例若把数列{an}的通项公式改为an＝ (k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性． 因为k>0，n∈N＋，所以an>0， 所以an＋1<an， 所以{an}是递减数列． 规律方法 判断数列增减性的方法 1．作差法：将an＋1－an与0进行比较． 2．作商法：将 与1进行比较(在作商时，要注意an<0还是an>0)． 3．函数性质法：利用对应函数在(0，＋∞)上的单调性，判断数列的增减性． [占领思想高点]　在判断数列增减性问题中掌握函数思想的运用． 所以an＋1>an对任意的n∈N*都成立，所以{an}是递增数列． 所以an＋1>an对任意的n∈N*都成立，所以{an}是递增数列． 返回 综合应用 返回 数列的最大(小)项 已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N，n≥1)． (1)依次写出数列{an}的前5项； 例3 (2)研究数列{an}的增减性，并求数列{an}的最大项和最小项． 当n≤49时，an>1且{an}递增；当n≥50时，0≤an<1且{an}递增． 所以{an}max＝a49＝2；{an}min＝a50＝0. 规律方法 求数列{an}的最大项和最小项的方法 1．数列或函数的单调性法． 对点练3.已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最 大项． 解：设an是数列{an}中的最大项， 所以当n＝9或n＝10时，an最大， 最大项为a9＝a10＝2×10×0.910＝20×0.910. 返回 课堂小结 知识 1.数列的表示方法.2.数列的增减性的判断及应用.3.求数列的最大(小)项 方法 图象法、转化与化归思想 易错误区 求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错 随堂演练 返回 1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是 A．一条直线 B．一条线段 C．一条射线 D．一群孤立的点 因为an＝3n－2，n∈N＋，所以数列{an}的图象是一群孤立的点．故选D. √ 2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是 A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 因为{an}是递减数列，所以an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.故选C. √ 3．若an＝ ，则an与an＋1的大小关系是 A．an>an＋1 B．an<an＋1 C．an＝an＋1 D．不能确定 √ 4．在数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是____． 返回 30 课时测评 返回 1．已知数列{an}满足an＋1－an－2 024＝0，则数列{an}是 A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 由an＋1－an＝2 024>0知数列{an}为递增数列． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．(多选题)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为 A．an＝－2n＋1 B．an＝－n2＋3n＋1 C．an＝ D．an＝(－1)n √ √ 可以利用数列的函数特性一一判断，A，C中数列为递减数列，B中数列不单调，D中数列是摆动数列．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．函数f (x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f (xn)，则x2 025等于 √ A．1 B．2 C．4 D．5 x 1 2 3 4 5 f (x) 5 1 3 4 2 根据定义，可得x2＝f (x1)＝1，x3＝f (x2)＝5，x4＝f (x3)＝2，x5＝f (x4)＝1，x6＝f (x5)＝5，…，所以周期为3，故x2 025＝x3＝5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选题)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下说法正确的是 A．该数列有无限多个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数f (x)＝－2x2＋13x的最大值 D．－70是该数列中的一项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令－2n2＋13n>0，得0<n< ，故数列{an}有6项是正数项，有无限多个负数项，故A错误，B正确；当n＝3时，数列{an}取到最大值，而当x＝3.25时，函数f (x)取到最大值，故C错误；令－2n2＋13n＝－70，得n＝10或n＝－ (舍去)，即－70是该数列的第10项，故D正确．故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有 an＋1>an成立，则实数k的取值范围是 A．k>0 B．k>－1 C．k>－2 D．k>－3 √ 因为an＋1>an，所以an＋1－an>0.又an＝n2＋kn＋2，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0，所以k>－2n－1.又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，所以k>－3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则满足an＋1<an的n的值为___． 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．在数列{an}中，若an＝n(n－8)－20，则该数列从第____项开始递增，数列的最小值为________． 由题意，an＋1－an＝2n－7，令2n－7>0，得n> ，故数列{an}从第4项开始递增．an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，故当n＝4时，{an}的最小值为a4＝－36. 4 －36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．(2024·陕西西安检测)设函数f (x)＝ 数列{an}满足an＝ f (n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________． (2，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求证：数列{an}先递增后递减；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的最大项．(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知数列{an}的通项公式为an＝ ，若数列{an}从第m项起单调递减，则m的最小值为 A．11 B．12 C．13 D．不存在 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选题)(2024·广东广州高二期中)下列是递增数列的是 A． {(－2)n} B． {1＋πn} C． {3n－4n} D． {3n－2n＋2} √ √ 对于A，an＝(－2) n，an＋1＝(－2) n＋1，an＋1－an＝－3×(－2) n，是摆动数列，故A不符合题意；对于B，an＝1＋πn，an＋1＝1＋(n＋1)π，an＋1－an＝π>0，故B符合题意；对于C，an＝3n－4n，an＋1＝3n＋1－4(n＋1)， an＋1－an＝2×3n－4，当n≥1 时，an＋1－an≥2>0，故C符合题意；对于D，an＝3n－2n＋2，an＋1＝3n＋1－2n＋3，an＋1－an＝2×3n－4×2n ，当n＝1 时，a2－a1＝－2<0，故D不符合题意．故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(开放题)请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0<an<2.这个数列的通项公式可以是 ___________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)已知函数f (x)＝2x－2－x，数列{an}满足f (log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) 解：因为f (x)＝2x－2－x，f (log2an)＝－2n， 因为an>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明：数列{an}是递减数列．(6分) 解：证明：作商比较， 又an>0，所以an＋1<an， 故数列{an}是递减数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}中的最大项．(9分) 当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an>…， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 又an>0，故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an>…， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 数 列 返回 2．不等式法：利用(n≥2)求数列中的最大项an， 利用(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定. an＝2－(答案不唯一) $$