4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

4．2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 知识 层面 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．　2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值公式．　3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题. 素养 层面 通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养；借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养. 某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10. 问题1.此人射击所得的平均环数是多少？ 提示：＝＝7×＋8×＋9×＋10×＝8. 问题2.7×＋8×＋9×＋10×式子中分数的含义是什么？ 提示：每个分数表示相应数据的频率，如是7在数据中出现频率． 知识点　离散型随机变量的均值 1．定义：若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn 则称F11FE(X)＝x1p1＋x2p2＋···＋xnpn＝ipiF22F为随机变量X的均值或数学期望，简称为期望． [微提醒]　离散型随机变量X的均值是一个数值，是随机变量X本身具有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平． 2. 意义：离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的平均取值．在离散型随机变量X的分布列的直观图中，E(X)处于平衡位置． [微提醒]　随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值． [警示]　根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 3．性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 4．常见分布的均值 随机变量X 均值公式 服从参数为p的两点分布 E(X)＝p X～N(n，p) E(X)＝np X～H(N，n，M) E(X)＝ 1．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝(　　 ) A． B．2 C． D．3 答案：A 解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 学生用书↓第67页 2．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表．若进这种鲜花500束，则期望利润是(　　 ) X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 答案：A 解析：节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故期望利润为706元． 3．已知X的分布列如图：则Y＝4X＋1的数学期望E(Y)等于(　　 ) X －1 0 1 P a A． B．1 C． D．－ 答案：C 解析：由分布列的性质可知，＋＋a＝1，解得a＝，所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.因为Y＝4X＋1，所以E(Y)＝4E(X)＋1＝4×＋1＝. 4．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________． 答案：35 解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35. 5．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值． 解：设该车主购买乙种保险的概率为P，由题意知P×(1－0.5)＝0.3，解得P＝0.6. (1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8. (2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2. 所以X～B(100，0.2)，所以E(X)＝100×0.2＝20.所以X的均值是20. 题型一　求离散型随机变量的均值 例1　从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值． [思路点拨]　,确定好抽取次数X的可能取值→ 求出对应的概率→,得到X的分布列及均值 解：由题意知X的可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是红球， 所以P(X＝2)＝＝. 当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球， 所以P(X＝3)＝＝. 当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球， 所以P(X＝4)＝＝. 当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球， 所以P(X＝5)＝＝. 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. 求离散型随机变量X的均值的步骤 第一步：根据X的实际意义，写出X的全部取值； 第二步：求出X取每个值的概率； 第三步：写出X的分布列； 第四步：利用定义求出均值． 对点练1.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． 解：X可取的值为1，2，3， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝. 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝. 学生用书↓第68页 题型二　常见的三种分布的均值 例2　(1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．2 (2)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则 ①投篮1次时命中次数X的数学期望为________； ②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为________． 答案：(1)A　(2)①0.6　②3 解析：(1)设白球x个，则取出的2个球中所含白球个数为ξ～H(7，2，x), E(ξ)＝＝，所以x＝3.故选A． (2)①投篮1次，命中次数X的分布列如下表： X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X)＝0.6. ②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3. 常见的三种分布的均值 1．设p为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E(X)＝p； (2)二项分布E(X)＝np. 2．超几何分布E(X)＝，其中X～H(N，n，M)． 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度． 对点练2.(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________． (2)设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C··(k＝0，1，2，···，300)，则E(X)＝________． 答案：(1)0.8　(2)100 解析：(1)因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. (2)由P(X＝k)＝C··(k＝0，1，2，···，300)，可知X～B，所以E(X)＝300×＝100. 题型三　离散型随机变量的均值的性质 例3　已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． [思路点拨] 根据分布列的 性质求m→,根据均值的 定义求均值→,根据均值的 定义或性质 均可求E(Y) 解：(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝. (2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (3)方法一：(公式法)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b， 得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 方法二：(直接法)由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－. 1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋···＋xnpn求解． 2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便． 对点练3.若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝(　　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．－0.2 B．0.2 C．0.8 D．－0.8 答案：A 解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3解得a－b＝－0.2. 题型四　均值问题的实际应用 例4　某工厂生产A，B两种元件，已知生产A元件的正品率为75%，生产B元件的正品率为80%，生产1个A元件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个B元件，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元． (1)求生产5个A元件所得利润不少于140元的概率； (2)设X为生产1个A元件和1个B元件所得总利润，求X的分布列和数学期望． 学生用书↓第69页 [思路点拨]　(1)求概率 (2)根据利润的意义写出X的取值→写出X的分布列→求出均值E(X) 解：(1)方法一：由题意知，生产5个A元件，若全为正品则所得利润为250元； 若4个为正品，1个为次品，所得利润为4×50－10＝190(元)； 若3个为正品，2个为次品，所得利润为3×50－2×10＝130(元)． 由此可知生产5个A元件，当5个全为正品或4个为正品时，所得利润不少于140元． 记“生产5个A元件所得利润不少于140元”为事件A，则P(A)＝C××＋＝. 方法二：设生产的5个A元件中有正品n个，由题意得 50n－10(5－n)≥140，解得n≥. 所以n＝4或n＝5. 设“生产5个A元件所得利润不少于140元”为事件A， 则 P(A)＝C××＋＝. (2)随机变量X的取值范围是{－15，30，45，90}． 所以P(X＝90)＝×＝， P(X＝45)＝×＝， P(X＝30)＝×＝， P(X＝－15)＝×＝. 故随机变量X的分布列为 X 90 45 30 －15 P 则E(X)＝90×＋45×＋30×＋(－15)×＝66. 1．实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 2．概率模型的三个解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论． 对点练4．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 解：(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得 E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为57.6＞54.4，即E(Y)＞E(X)， 所以为使累计得分的期望最大， 小明应选择先回答B类问题． 1．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是(　　) A．0.83 B．0.8 C．2.4 D．3 答案：C 解析：E(X)＝3×0.8＝2.4. 2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为(　　) A．0.6 B．1 C．3.5 D．2 答案：C 解析：抛掷骰子所得点数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 6 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5. 3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则期望E(X)＝________． 答案：2 解析：由题意可知X～H(10，4，5)，所以E(X)＝＝＝2. 4．已知E(X)＝，且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a＝________． 答案：－3 解析：因为Y＝aX＋3，所以E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，所以a＝－3. 课时测评16　离散型随机变量的均值 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(ξ)＝7.5，则a等于(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 解析：由题意得： 解得 2．设掷一颗骰子的点数为ξ，则(　　) A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 答案：C 解析：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝.故选C． 3．(多选)离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则(　　) A．a＝10 B．a＝ C．b＝0 D．b＝1 答案：BC 解析：易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3. ① 又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1， ② 由①②，得a＝，b＝0. 4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于 (　　 ) A． B． C． D．1 答案：A 解析：X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝1×＋2×＝. 5．某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为η，则η的数学期望为(　　) A．1 B． C．2 D．3 答案：C 解析：η的可能取值为：1，2，3. P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝，P(η＝3)＝＝.所以η的分布列为 η 1 2 3 P E(η)＝1×＋2×＋3×＝2. 6．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b 若E(X)＝1，则E(aX＋b)＝____． 答案： 解析：由题意可得＋a＋b＝1，E(X)＝1＝0×＋1×a＋2×b，解得a＝，b＝，所以E(aX＋b)＝E＝×1＋＝. 7．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________． 答案：1.75 解析：X的取值范围是{0，1，2}，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75. 8．一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则袋中白球的个数为________；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为________． 答案：3　1 解析：设袋中有白球m个，则有黑球(6－m)个，设事件A：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，则P(A)＝1－＝，所以C＝3，即＝3，解得m＝3或m＝8(舍)．P(X＝0)＝1－＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝－＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 9．(10分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(4分) (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．(6分) 解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝. (2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3， 又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 10．(10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(4分) (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．(6分) 解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝. (2)方法一：X的所有可能取值为0，1，2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 综上知，X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)． 方法二：由题意可知：X～H(10，3，2)， 所以P(X＝k)＝，k＝0，1，2. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝＝(个)． 11．(5分)(多选)已知随机变量ξ的分布列如表： ξ －1 0 1 P a b 记“函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A，则下列结论正确的有(　　) A．E(ξ)＝－2a B．E(ξ2)＝ C．P(A)＝ D．P(A)＝ 答案：ABD 解析：由随机变量ξ的分布列知：E(ξ)＝－a＋b，E(ξ2)＝a＋b＝1－＝，所以E(ξ)＝－2a，因为设“函数f(x)＝3 sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A，ξ的所有取值为－1，0，1，所以满足事件A的ξ的可能取值为－1，1，所以P(A)＝. 12．(5分)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．2 答案：A 解析：设白球x个，则黑球(7－x)个，取出的2个球中所含白球个数为X，则X取值0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以0×＋1×＋2×＝，解得x＝3. 13．(15分)某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折． 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每摸到1次红球，立减200元． (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(5分) (2)若某顾客消费恰好满1 000元，试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？(10分) 解：(1)选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出三个红球，设“顾客享受免单优惠”为事件A，则P(A)＝＝，所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P(A)·P(A)＝. (2)若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为X元，则X的取值范围是{0，600，700，1 000}． P(X＝0)＝＝，P(X＝600)＝＝，P(X＝700)＝＝，P(X＝1 000)＝＝， 故X的分布列为 X 0 600 700 1 000 P 所以E(X)＝0×＋600×＋700×＋1 000×＝(元)． 若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为Y，最后付款的金额为Z(单位：元)，则Z＝1 000－200Y，由已知可得Y～B，故E(Y)＝3×＝，所以E(Z)＝E(1 000－200Y)＝1 000－200E(Y)＝820(元)．因为E(X)＜E(Z)，所以该顾客选择方案一更合算． 14．(15分)A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下． 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1 A2对B2 A3对B3 按表中的对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设三场后A队、B队最后所得总分分别为随机变量X，Y. (1)求X，Y的分布列；(5分) (2)求E(X)和E(Y)．(10分) 解：(1)由题意知X，Y的可能取值均为3，2，1，0. P(X＝3)＝××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝＝， P(X＝0)＝××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 根据题意得X＋Y＝3， 所以P(Y＝0)＝P(X＝3)＝，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P (2)由(1)可得E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝. 因为X＋Y＝3，所以Y＝3－X， 所以E(Y)＝3－E(X)＝. 学生用书↓第70页 学科网（北京）股份有限公司 $$