4.2.3 第2课时 超几何分布-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

第2课时　超几何分布 知识 层面 1.理解超几何分布的概念．　2.理解超几何分布与二项分布的关系．　3.会用超几何分布解决一些简单的实际问题. 素养 层面 通过学习超几何分布，体会数学建模、数学抽象的素养；借助超几何分布解题，提高数学运算素养. 问题1.已知在10件产品中有4件次品，采取有放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列． 提示：采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，其分布列为P(X＝k)＝C(0.4)k(1－0.4)3－k，k＝0，1，2，3. 问题2.已知在10件产品中有4件次品，采取不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，X还服从二项分布吗？你能求P(X＝2)吗？ 提示：若采取不放回抽样时X不服从二项分布；“X＝2”，表示“取出的3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正品中取出1件，共有CC种取法，故P(X＝2)＝. 学生用书↓第62页 知识点　超几何分布 1．定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中任取n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，···，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M)． 2．分布列：如果X～H(N，n，M)，且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示： X 0 1 ··· k ··· s P ··· ··· [微提醒]　对超几何分布的理解 1．超几何分布的模型是不放回抽样． 2．超几何分布中的参数是M，N，n. 3．超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成． [警示]　超几何分布与二项分布的区别： (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要． (2)超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样(独立重复)，当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布． 1．(多选)下列结论正确的是(　　 ) A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布的总体里可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是N，n，M D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 答案：ACD 解析：由超几何分布的定义可知A，C，D均正确，因超几何分布的总体里只有两类物品，故选项B错误，故选ACD． 2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　 ) A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7 C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10 答案：A 解析：根据超几何分布概率模型知，A正确． 3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示(　　 ) A．5件产品中有3件次品的概率 B．5件产品中有2件次品的概率 C．5件产品中有2件正品的概率 D．5件产品中至少有2件次品的概率 答案：B 解析：根据超几何分布的定义可知C表示从3件次品中任选2件，C表示从7件正品中任选3件，故选B． 4．高二·一班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X, 则X～________． 答案：H(50，5，15) 解析：由超几何分布的定义可知，X～H(50，5，15)． 5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P(X＝4)＝________．(用数字表示) 答案： 解析：由题意P(X＝4)＝＝ ＝. 学生用书↓第63页 题型一　超几何分布的辨析 例1　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布； (5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布． [思路点拨]　根据超几何分布的特点判断即可． 解：(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题． 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点 1．总体是否可分为两类明确的对象． 2．是否为不放回抽样． 3．随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 对点练1.下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号) ①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X； ②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X. 答案：①② 解析：根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布． 题型二　超几何分布的概率及其分布列 例2　(链教材P80例4)一个盒子里装有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1)从盒子中随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率； (2)从盒子中随机取出4个球，其中红球个数记为X，求随机变量X的分布列． [思路点拨]　写出X的可能值→求出每个X对应的概率→写出分布列 解：(1)一个盒子里装有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同，从盒子中随机取出2个球，样本点总数n＝C＝36，取出的2个球颜色相同包含的样本点个数m＝C＋C＋C＝10， 所以取出的2个球颜色相同的概率P＝＝＝. (2)从盒子中随机取出4个球，其中红球个数记为X，则X的取值范围是{0，1，2，3，4}，X服从参数为9，4，4的超几何分布，即X～H(9，4，4)，因此P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 求超几何分布的分布列的步骤 第一步——验证随机变量是否服从超几何分布，并确定数N，n，M的值 第二步——根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率 第三步——用表格的形式列出分布列 学生用书↓第64页 对点练2.在一次购物活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张中任取2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列． 解：(1)P＝1－＝1－＝，即顾客中奖的概率为. (2)X的所有可能值为0，10，20，50，60. P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝， P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝， P(X＝60)＝＝， 故X的分布列为 X 0 10 20 50 60 P 题型三　超几何分布的应用 例3　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，···，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图． (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． [思路点拨]　(1)结合频率分布直方图求解(1)； (2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列； (3)先分析Y服从什么分布，再选择相应公式求解． 解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)． (2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且X～H(40，2，12)． 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B， P(Y＝k)＝C， 所以P(Y＝0)＝C·＝，P(Y＝1)＝C··＝，P(Y＝2)＝C·＝. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 学习超几何分布，要与古典概型和排列组合知识结合起来．在古典概型中，基本事件总数为n，事件A包含的基本事件个数为m，则P(A)＝，它与超几何分布列中的P(X＝k)＝是一致的．在一些复杂的问题中求概率时，就会体现出直接用公式的方便了． 对点练3.某海域共有A，B型两种搜救船10艘，其中A型船7艘，B型船3艘． (1)现从中任选2艘执行搜救任务，求恰好有一艘B型船的概率； 学生用书↓第65页 (2)假设每艘A型船的搜救能力指数为5，每艘B型船的搜救能力指数为10.现从这10艘船中随机抽出4艘执行搜救任务，设搜救能力指数之和为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)设“恰好有1艘B型船”为事件A，则P(A)＝＝，即恰好有1艘B型船的概率为. (2)方法一：依题意，ξ的取值范围是{20，25，30，35}． 且P(ξ＝20)＝＝，P(ξ＝25)＝＝，P(ξ＝30)＝＝，P(ξ＝35)＝＝. 因此ξ的分布列为 ξ 20 25 30 35 P 方法二：设随机抽取的4艘船中含有B型船的艘数为η，依题意η服从10，4，3的超几何分布即η～H(10，4，3)． 而搜救能力指数ξ＝10η＋5(4－η)＝20＋5η，其中η＝0，1，2，3，所以ξ＝20，25，30，35. 且P(ξ＝20)＝P(η＝0)＝＝， P(ξ＝25)＝P(η＝1)＝＝， P(ξ＝30)＝P(η＝2)＝＝， P(ξ＝35)＝P(η＝3)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 20 25 30 35 P 易错点　对超几何分布的概念理解不透致误 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X的分布列． [易错分析]　本题易误以为是超几何分布而致误． [误区警示]　求随机变量的分布列的关键是找准随机变量的取值及熟练掌握排列、组合知识，求出随机变量每个可能取值出现的概率，可以利用概率之和为1检验所求概率是否正确． [正解]　X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 因此，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 答案：B 解析：由超几何分布的概念知③④符合，故选B． 2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意知10件产品中有2件次品，设取得次品的个数为X，故所求概率为P(X＝1)＝＝ 3．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：设取出红球的个数为X，易知X～H(9，3，5)．所以P(X＝2)＝＝.故选C． 4．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝____________________． 答案：，r＝0，1，2，3，4 解析：P(X＝r)＝，r＝0，1，2，3，4. 课时测评15　超几何分布 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　 ) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生，3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 答案：ACD 解析：由超几何分布的数学模型和计算公式知A、C、D均不是超几何分布，选项B是超几何分布． 2．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是(　　 ) A．P(X＝2) B．P(X＝3) C．P(X≤2) D．P(X≤3) 答案：B 解析：设6人中“三好学生”的人数为k，则其选法数为C·C，当k＝3时，选法数为C·C. 3．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是(　　) A．至少有1个深度贫困村 B．有1个或2个深度贫困村 C．有2个或3个深度贫困村 D．恰有2个深度贫困村 答案：B 解析：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝，计算P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即有1个或2个深度贫困村的概率为. 4．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　 ) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 答案：B 解析：结合题意，当X＝1时，P(X＝1)＝， 当X＝0时，P(X＝0)＝，故P(X≤1)＝. 5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 答案：C 解析：设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C． 6．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学解答，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________． 答案： 解析：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 7．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列． ξ＝k 0 1 2 P(ξ＝k) ________ ________ 答案：　 解析：由题意可知ξ～H(100，2，20)．则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝. 8．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为________． 答案： 解析：在这4人中，会说日语的人数为X，则X服从N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布．所以有两个会说日语的概率为：P(X＝2)＝＝. 9．(10分)某摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这3个小球上标数之和，求此次摇奖获得奖金数额X的概率分布列． 解：当摇出的3个小球均标有数字2时，X＝6； 当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，X＝9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12. 所以P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝. 所以此次摇奖获得奖金数额的概率分布列为 X 6 9 12 P 10.(10分)袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求： (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；(4分) (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．(6分) 解：(1)有放回抽样时，由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B， 所以P(X＝0)＝C××＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C××＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)不放回抽样时，随机抽取3次可以看成随机抽取1次但1次抽取了3个，因此取到黑球的个数Y服从参数为10，3，2的超几何分布， 则Y～H(10，3，2)，则P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 11．(5分)某国科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为______．(结果用分数表示) 答案： 解析：成员有11＋4＋5＝20人，从中任选2人的不同选法有C种，其中不属于同一国家的有C·C＋C·C＋C·C种，根据等可能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为P＝ ＝. 12．(5分)从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生人数不超过1人的概率为________． 答案： 解析：设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 13．(15分)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为. (1)求7名学生中甲班的学生数；(5分) (2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求甲班学生数不少于1人的概率．(10分) 解：(1)设甲班的学生数为n， 由题意得，＝＝＝， 整理得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即7个学生中，有甲班3人． (2)由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布， 其中X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝k)＝(k＝0，1，2)． 所以P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 由分布列知P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为. 14．(15分)某橙子按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)，某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 (1)若以频率估计概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率；(5分) (2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的是珍品等级的箱数，求X的分布列．(10分) 解：(1)设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品的橙子”为事件A，则P(A)＝＝. 现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为ζ， 则ζ～B， 故恰好抽到2箱是一级品的概率为 P(ζ＝2)＝C××＝. (2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从这10箱橙子中抽取3箱，则珍品等级的箱数X服从参数为10，3，4的超几何分布，即X～H(10，3，4)． 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P 学生用书↓第66页 学科网（北京）股份有限公司 $$