4.1.1 条件概率-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

4．1　条件概率与事件的独立性 4．1.1　条件概率 知识 层面 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，掌握条件概率的计算方法．　2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系．　3.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．　4.理解条件概率的性质．　5.会利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 素养 层面 通过条件概率的定义及条件概率与事件独立性的关系，培养数学抽象素养；通过用概率乘法公式解决实际问题，提升数学建模、数学运算素养. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}． 问题1.两次都是正面向上的事件记为B，则P(B)是多少？ 提示：B＝{正正}，故P(B)＝. 问题2.在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 提示：将第一次出现正面向上的事件记为A，则A＝{正正，正反}，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为. 问题3.以上两个事件的概率一样吗？为什么？ 提示：不一样，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率相当于以A为样本空间积事件AB发生的概率，两者的样本空间发生了变化，其概率是不一样的． 知识点一　条件概率 条件 设A，B为两个随机事件，且P(B)>0 含义 在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率 记作 P(A|B) 读作 B发生的条件下A发生的概率 计算 公式 P(A|B)＝ [微提醒]　对定义的进一步理解 1．每一个随机试验，都是在一定条件下进行的，条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道，即在原随机试验的条件上又加上一定的条件的概率． 2．事件A在“事件B发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件下发生的概率一般是不同的． 3．当题目涉及“在···前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．在条件概率的表示中，“|”之后的部分表示条件． 学生用书↓第37页 知识点二　条件概率的性质 1．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1． 2．P(A|A)＝1. 3.如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 4．设与B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． [警示]　性质3必须满足B与C互斥，并且都是在同一个条件A下． 1．(多选)下面几种概率不是条件概率的是(　　 ) A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学途中遇到红灯的概率 答案：ACD 解析：由条件概率的定义知B为条件概率． 2．若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：由公式得P(B|A)＝＝＝. 3．已知A，B独立，且P(A)＝0.8，则P(A|B)＝(　　) A．0.2 B．0.8 C．0.16 D．0.25 答案：B 解析：因为A，B相互独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.8. 4．已知P(B|A)＝，P(A∩B)＝，则P(A)＝________． 答案： 解析：因为P(B|A)＝，P(AB)＝，所以P(A)＝＝＝. 5．有一批种子的发芽率为0.9，种子能成长为幼苗的概率是0.72，在这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子发芽后的幼苗成活率是________． 答案：0.8 解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件A∩B，则P(A)＝0.9.又种子能成长为幼苗的概率P(A∩B)＝0.72，所以发芽后的幼苗成活率P(B|A)＝＝＝0.8. 题型一　条件概率的计算 例1　某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一人作学生代表． (1)求选到的是共青团员的概率； (2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率； (3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率． [思路点拨]　理解事件的含义→判断事件的类型→利用公式求概率 解：设“选到的是共青团员”为事件A，“选到的是第一小组学生”为事件B，则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件A∩B． (1)P(A)＝＝. (2)P(A∩B)＝＝. (3)方法一：P(B|A)＝＝＝. 方法二：由题意知，事件A所包含的样本点个数为15，事件A∩B所包含的样本点个数为4，所以P(B|A)＝＝. 计算条件概率的两种方法 提醒：(1)对定义法，要注意P(AB)的求法． (2)对第二种方法，要注意n(AB)与n(A)的求法． 对点练1.(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 (　　 ) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 (2)5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8. (2)设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)＝＝＝. 学生用书↓第38页 题型二　条件概率性质的应用 例2　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． [思路点拨] 设出基本事件→求相应事件的概率→将试验成功分解成两个互斥事件的和 解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C， 则P(A)＝，P(A∩B)＝＝，P(A∩C)＝＝. 所以P(B|A)＝＝÷＝，P(C|A)＝＝÷＝. 所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 所以所求的条件概率为. 利用条件概率性质的解题策略 1．分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； 2．分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． 对点练2.在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率． 解：设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则P(A)＝，P(A∩B)＝＝，P(A∩C)＝＝，故P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝. 所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝＝.即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为. 题型三　条件概率的应用 例3　将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率． [思路点拨]　设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率． 解：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}， B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}， R＝{第二次取出的球是红球}， W＝{第二次取出的球是白球}， 则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(W|A)＝， P(R|B)＝，P(W|B)＝. 事件“试验成功”表示为(R∩A)∪(R∩B)，又事件R∩A与事件R∩B互斥， 所以由概率的加法公式得 P((R∩A)∪(R∩B))＝P(R∩A)＋P(R∩B)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B) ＝×＋×＝. 对于比较复杂的事件，可以先分解为两个(或若干个)较简单的互斥事件的和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． 对点练3.一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表： 厂别数量等级 甲厂 乙厂 合计 合格品 475 644 1 119 次品 25 56 81 合计 500 700 1 200 学生用书↓第39页 (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________； (2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________． 答案：(1)　(2) 解析：(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝. (2)方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝. 方法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”， 则P(A)＝，P(A∩B)＝， 所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝＝. 易错点　因把基本事件空间找错而致错 一个家庭中有两名小孩，而且生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？ [易错分析]　解决此题容易出现两种错误：一是找错基本事件空间；二是弄不清一个事件对另一个事件的影响． [误区警示]　解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P(B|A)＝.第二种为P(B|A)＝，其中找对基本事件空间是关键． [正解]　方法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：{两名都是男孩}，{第一名是男孩，第二名是女孩}，{第一名是女孩，第二名是男孩}，{两名都是女孩}． 由题意知这4个事件是等可能的， 设基本事件空间为Ω，“其中一名是女孩”为事件A，“其中一名是男孩”为事件B， 则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}． 所以P(A∩B)＝＝，P(A)＝.所以P(B|A)＝＝＝. 方法二：由方法一可知n(A)＝3，n(AB)＝2. 所以P(B|A)＝＝. 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：P(B|A)＝，故P(A∩B)＝×＝. 2．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生，从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝，故P(B|A)＝＝. 3．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题知，事件A：甲和乙至少一人选择庐山共有n(A)＝C·C＋1＝7种情况，事件AB：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有n(AB)＝C·C＝6种情况，所以P(B|A)＝＝. 4．已知事件A和B是互斥事件，P(C)＝，P(B∩C)＝，P((A∪B)＝，则P(A)＝________． 答案： 解析：由题意知，P((A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，P(B)＝＝＝，则P(A)＝P((A∪B)－P(B)＝－＝. 课时测评9　条件概率 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．下列说法正确的是(　　) A．P(A|B)＝P(B|A) B．0<P(B|A)<1 C．P(A∩B)＝P(A)·P(B|A) D．P(A∩B|A)＝P(B) 答案：C 解析：由P(B|A)＝知，P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)． 2．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(A∩B)＝，则P(A|B)等于(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 答案：D 解析：由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝＝＝. 3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意知，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，有6×6＝36种情况，设A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，事件A包含3×3＝9种情况，事件AB有2种情况，则P(A)＝＝，P(A∩B)＝，则P(B|A)＝＝. 4．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为3×3×3＝27种，所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27＝108种，因为4个人去的景点不完全相同的可能性44－4＝252种，所以P(B|A)＝＝. 5．近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1 000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1 000次的概率为(　　) A．0.324 B．0.36 C．0.4 D．0.54 答案：C 解析：设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1 000次”，P(A)＝90%＝0.9，P(AB)＝36%＝0.36，所以某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1 000次的概率为：P(B|A)＝＝＝0.4. 6．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为________． 答案：0.75 解析：因为P(A|B)＝，所以P(A∩B)＝0.3.所以P(B|A)＝＝＝0.75. 7．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6，则两骰子点数之和大于8的概率为________． 答案： 解析：令A＝“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B＝“两骰子点数之和大于8”， 则A＝{(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，AB＝{(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．所以P(B|A)＝＝＝. 8．一个盒子中有3个白球、2个黑球，每次从中不放回地任取1个球，连取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为________． 答案： 解析：记“第一次取到黑球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B．显然，事件“第一次取到黑球，第二次取到白球”的概率P(A∩B)＝＝.由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝＝＝. 9．(10分)已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个． (1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；(4分) (2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率．(6分) 解：(1)两次都取得白球的概率P＝×＝； (2)记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球， 则P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝， 利用条件概率的计算公式，可得P(B|A)＝＝×＝. 10．(10分)在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率；(4分) (2)甲没中奖但乙中奖的概率．(6分) 解：(1)设A：甲中奖，B：乙中奖，则P(A)＝＝. 因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P(A)＝. 根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为 P(AB)＝P(A)P(A)＝×＝. (2)因为P(A)＋P(A (_))＝1，所以P(A (_))＝. 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P(A (_))＝. 根据乘法公式可知，甲没中奖但乙中奖的概率为 P(A (_)B )＝P(A (_))P(A (_))＝×＝. 11．(5分)(多选)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(　　) A．P(B)＝ B．P(B|A1)＝ C．事件B与事件A1相互独立 D．A1、A2、A3两两互斥 答案：BD 解析：因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确；因为P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，所以P(B|A1)＝＝＝，故B正确；同理P(B|A2)＝＝＝，P(B|A3)＝＝＝，所以P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝×＋×＋×＝；事件A1的发生对事件B的发生有影响，所以事件B与事件A1不相互独立，故AC错误． 12．(5分)根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为______，在下雨天里，刮风的概率为________． 答案：　 解析：设事件A＝“下雨”，B＝“刮风”，A∩B＝“刮风又下雨”，则P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，所以在刮风天里，下雨的概率为：P(A|B)＝＝＝，在下雨天里，刮风的概率为：P(B|A)＝＝＝. 13．(15分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(3分) (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(5分) (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．(7分) 解：设A：第1次抽到舞蹈节目，B：第2次抽到舞蹈节目，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B． (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个节目的样本点个数为A＝30，根据分步乘法计数原理知事件A包含的样本点个数为AA＝20，于是P(A)＝＝. (2)因为事件A∩B包含的样本点个数为A＝12，于是P(A∩B)＝＝. (3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 方法二：因为事件A∩B包含的样本点个数为12，事件A包含的样本点个数为20，所以P(B|A)＝＝. 14．(15分)如图所示，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1，2，3，j＝1，2，3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率． 解：事件A＝任取的三个数中有a22，事件B＝三个数至少有两个数位于同行或同列， 则B (_)＝三个数互不同行且不同列， 依题意得n(A)＝C＝28，n(A∩B (_))＝2， 故P(B (_)|A)＝＝＝， 故P(B|A)＝1－P(B (_)|A)＝1－＝. 学生用书↓第40页 学科网（北京）股份有限公司 $$