3.3 第1课时 二项式定理-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

3．3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 知识层面 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．　2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式． 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 素养层面 通过二项式定理的学习，培养逻辑推理素养；通过二项式定理解决问题，进一步提升数学运算素养. 观察以下各式： (a＋b)1………………a＋b， (a＋b)2………………a2＋2ab＋b2， (a＋b)3………………a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4………………a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， … 问题1.展开式的项数与二项式的次数有关系吗？ 提示：展开式的项数比二项式的次数多1. 问题2.展开式中各项的次数与二项式的次数有关系吗？ 提示：展开式中各项的次数与二项式的次数相等． 问题3.对于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 提示：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C. 知识点　二项式定理及相关的概念 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N＋称为二项式定理 二项式系数 各项系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做展开式的二项式系数 二项式通项 Can－kbk是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋) 二项展开式 Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋) 备注 在二项式定理中，如果令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn(n∈N＋) [微提醒]　1.展开式的特点：①展开式共有n＋1项，各项中a，b的指数和都是n；②a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n. 2．二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立．通过对a，b取不同的特殊值，可以使某些问题的解决更为方便． 3．Can－kbk是展开式的第k＋1项，该项的二项式系数是C，而不是C. 4．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但是(a＋b)n的第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n的第k＋1项为 学生用书↓第25页 Cbn－kak.因此，应用二项式定理时，a与b是不能随便交换位置的． [警示] 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． 1．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案：B 解析：由二项式定理的公式特征可知n＝10. 2．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．(a＋b)n展开式中共有n项 B．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响 C．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项 D．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同 答案：ABC 3．二项式(x＋2)6的展开式的第二项是(　　) A．60x4 B．12x5 C．12x D．60x2 答案：B 解析：(x＋2)6展开式的通项为：Tk＋1＝Cx6－k·2k.令k＝1，可得T2＝Cx5·21＝12x5. 4．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答)． 答案：60 解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝C(－2)kxk，当k＝2时， x2的系数为C(－2)2＝60. 5．二项式(2x－)n的展开式共有7项，则n＝______；常数项为________． 答案：6　－160 解析：由已知可得n＝6，所以二项式为，则第k＋1项Tk＋1＝C(2x)6－k＝C×26－k(－1)k·x6－2k， 令6－2k＝0，解得k＝3，所以常数项为C×23×(－1)3＝－160. 题型一　二项式定理的正用和逆用 例1　(1)求的展开式； (2)化简：C＋C·6＋C·62＋…＋C6n－1. [思路点拨]　(1)直接利用二项式定理展开即可；(2)为二项式定理的逆用，找好对应的a，b及n的值． 解：(1)方法一：＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C·3·＋C·＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二：＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)原式＝(1＋6)n＝C＋C·6＋C·62＋C·63＋…＋C·6n， 所以C＋C·6＋C·62＋…＋C·6n－1＝(C·6＋C·62＋…＋C·6n) ＝(C＋C·6＋C·62＋…＋C·6n－1)＝[(1＋6)n－1]＝(7n－1)． 运用二项式定理的解题策略 1．正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开； 2．逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 对点练1.(1)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________； (2)用二项式定理展开：. 答案：(1)x5－1　(2)见解析 解：(1)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. (2)＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)3＋C(2x)2＋C(2x)＋C＝32x5－120x2＋－＋－. 学生用书↓第26页 题型二　求二项展开式中特定的项 例2　已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值； (2)展开式中含x3的项． [思路点拨] 写出通项公式 → 利用已知求n → 利用通项公式求解 解：(1)因为T3＝C()n－2＝4Cx， T2＝C()n－1(－)＝－2Cx， 依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，n＝9. (2)设第k＋1项含x3项，则 Tk＋1＝C()9－k＝(－2)kCx， 所以＝3，k＝1， 所以第二项为含x3的项：T2＝－2Cx3＝－18x3. 求二项展开式特定项的步骤 对点练2.在的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解：Tk＋1＝C·()n－k·(－)k＝C·(x)n－k·＝·C·x. (1)因为第6项为常数项，所以k＝5时，有＝0， 所以n＝10. (2)令＝2，得k＝2， 所以所求的系数为C(－)2＝. (3)根据通项公式，由题意得： 令＝a(a∈Z)，则10－2k＝3a， 即k＝＝5－a. 因为0≤k≤10，所以0≤5－a≤10， 所以－≤a≤， 又因为a应为偶数，所以a可取2，0，－2， 所以k＝2，5，8，所以第3项、第6项与第9项为有理项． 它们分别为C··x2，C，C··x－2，即x2，－和. 题型三　二项式系数与项的系数问题 例3　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求的展开式中x3的系数． [思路点拨]　 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解：(1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1 ＝C(2)6－k· ＝(－1)kC26－k·x3－k 所以T6＝－12·x－. 所以第6项的二项式系数为C＝6， 第6项的系数为C·(－1)·2＝－12. (2)Tk＋1＝Cx9－k·＝(－1)k·C·x9－2k， 所以9－2k＝3， 所以k＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84. 1．二项式系数都是组合数C(k∈{0，1，2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． 2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280. 学生用书↓第27页 对点练3.已知二项式. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数； (3)求第4项． 解：的展开式的通项是Tk＋1＝ C(3)10－k·＝C310－k·x(k＝0，1，2，…，10)． (1)展开式中第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120. (2)展开式中第4项的系数为C37＝－77 760. (3)展开式中第4项为T4＝T3＋1＝－77 760. 易错点　二项式系数与项的系数问题 设(x－)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，试求含x2的项． [易错分析]　本题易出现以下错误：将“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”混淆． [误区警示]　深刻理解“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”的区别与联系，准确应用． [正解]　(x－)n展开式的第2项与第4项分别为Cxn－1(－)＝－nxn－1，Cxn－3(－)3＝－2Cxn－3. 依题意得＝⇒n2－3n－4＝0，解方程并舍去不合题意的负根，得n＝4. (x－)4展开式中第r＋1项为Cx4－r·(－)r.由4－r＝2，得r＝2， 即(x－)4展开式中含x2的项为Cx2(－)2＝12x2. 1．二项式6的展开式中的第4项为(　　) A．－ B． C． D．－160 答案：A 解析：因为Tk＋1＝C(x2)6－kk，所以T4＝C(x2)33＝－.故选A． 2．(多选)对于二项式(＋x3)n(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 答案：AD 解析：设二项式(＋x3)n(n∈N*)展开式的通项公式为Tk＋1，则Tk＋1＝C()n－k(x3)k＝Cx4k－n，不妨令n＝4，则k＝1时，展开式中有常数项，故选项A正确，选项B错误；令n＝3，则k＝1时，展开式中有x的一次项，故C选项错误，D选项正确．故选AD． 3．化简：设n∈N＋，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝________． 答案：1 解析：因为C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝C2n(－1)0＋C2n－1·(－1)1＋…＋C2n－k·(－1)k＋…＋C20·(－1)n＝(2－1)n＝1. 4．已知二项式n的展开式中共有10项． (1)求展开式的第6项的二项式系数； (2)求展开式中的常数项． 解：(1)由题意可得n＝9， 所以展开式的第6项的二项式系数为C＝126. (2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C9－k·k＝(－1)k·9－kCx，其中k＝0，1，2，…，9，令＝0，得k＝3，所以展开式中的常数项为(－1)3·6C＝－. 课时测评7　二项式定理F11FF22F (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 答案：A 解析：因为(2x－3)n＋3的展开式中共有n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11，故选A． 2．(多选)若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：BD 解析：因为的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cxn－k(－1)kx－k＝C(－1)kxn－2k，若的展开式中存在常数项，则只需n－2k＝0，即n＝2k，又n∈N*，k∈N，所以n只需为正偶数即可，故A、C排除，B、D可以取得．故选B、D． 3．已知关于x的二项式展开式的常数项为80，则a的值为(　　) A．1 B．1 C．2 D．±2 答案：C 解析：由题意知Tk＋1＝Cakx－k，令－k＝0，得k＝3，所以a3C＝80，解得a＝2. 4．(x－2)5的展开式中，第4项的系数为(　　) A．－80 B．80 C．40 D．－40 答案：A 解析：(x－2)5的展开式中，第4项为T4＝Cx2(－2)3＝－80x，所以第4项的系数为－80. 5．(多选)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 答案：AD 解析：该二项展开式的通项为Tk＋1＝C·(x3)k＝Cx4k－n，所以当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误． 6.的二项展开式中，含项的系数为________． 答案：－160 解析：的二项展开式的通项公式为Tk＋1＝(－1)k·26－kC·x，令＝，解得k＝3，故的二项展开式中，含项的系数为－8×20＝－160. 7．(x－a)8的展开式中，x5的系数为7，则a＝________． 答案： － 解析：(x－a)8展开式中第k＋1项为：Tk＋1＝Cx8－k(－a)k，所以x5的系数为C(－a)3＝7，解得a＝－. 8．9192除以100的余数是________． 答案：81 解析：方法一：9192＝(100－9)92＝C×10092－C×10091×9＋C×10090×92－…－C×100×991＋C×992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数，由992＝(10－1)92＝C×1092－C×1091＋C×1090－…＋C×102－C×10＋1.前91项均能被100整除，后两项和为－919，可从前面数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81.所以9192被100除所得的余数为81. 方法二：9192＝(90＋1)92＝C×9092＋C×9091＋C×9090＋…＋C×902＋C×90＋1. 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，8 281除以100所得余数为81. 9．(10分)在展开式中，求： (1)含x的项；(4分) (2)含x3的项的系数．(6分) 解：(1)展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx9－k＝C(－1)kx9－2k， 由9－2k＝1得k＝4，则含x的项为C(－1)4x＝126x. (2)由9－2k＝3得k＝3，则含x3的项系数为C(－1)3＝－84. 10．(10分)已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值；(4分) (2)写出它展开式中的所有有理项．(6分) 解：(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.依题意得＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. (2)展开式的通项Tk＋1＝Cx·x＝C·x， 展开式中的有理项为当且仅当k是6的倍数，0≤k≤14， 所以展开式中的有理项共3项是： k＝0，T1＝Cx7＝x7； k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6； k＝12，T13＝Cx5＝91x5. 11．(5分)使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 解析：由二项式定理得，Tk＋1＝C(3x)n－k＝C3n－kxn－k，令n－k＝0，当k＝2时，n＝5，此时n最小． 12．(5分)(1＋x＋x2)的展开式中的常数项为________． 答案：－5 解析：的展开式中，Tk＋1＝Cx6－k·＝(－1)kCx6－2k，令6－2k＝0，得k＝3，T4＝C(－1)3＝－C，令6－2k＝－1，得k＝(舍去)，令6－2k＝－2，得k＝4，T5＝C(－1)4x－2，所以(1＋x＋x2)的展开式中的常数项为1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5. 13．(10分)已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等． (1)求n的值；(4分) (2)求展开式中所有二项式系数的和．(6分) 解：展开式的通项为Tk＋1＝C·xn－k·＝C··xn－k(k＝0，1，2，…，n)． (1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得C·＝C·，即n＝·，解得n＝5或n＝0(舍去)． (2)展开式中所有二项式系数的和为C＋C＋C＋C＋C＋C＝32. 14．(5分)(新角度)若对∀x∈R，(ax＋b)5＝(x＋2)5－5(x＋2)4＋10(x＋2)3－10(x＋2)2＋5(x＋2)－1恒成立，其中a，b∈R，则a＋b等于(　　) A．－1 B．0 C．2 D．3 答案：C 解析：由(x＋2)5－5(x＋2)4＋10(x＋2)3－10(x＋2)2＋5(x＋2)－1＝(x＋2－1)5＝(x＋1)5，得(ax＋b)5＝(x＋1)5，所以a＝b＝1，a＋b＝2.故选C． 15．(15分)(开放题)若n的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值；(5分) (2)此展开式中是否有常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．(10分) 解：(1)由题意得C＋C＝2C(n≥3)，n＋＝， 化简得n(n2－9n＋14)＝0，解得n＝7或n＝2(舍去)或n＝0(舍去)，所以n＝7. (2)不存在，理由如下： Tk＋1＝C7－k·(x－4)k＝Cx，0≤k≤7且k∈N，＝0时，解得k＝∉N， 所以展开式中不存在常数项． 学生用书↓第28页 学科网（北京）股份有限公司 $$