3.1.3 组合与组合数-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

3．1.3　组合与组合数 知识层面 1.通过实例，理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．　2.能利用计数原理推导组合数公式，并掌握组合数公式和组合数的性质．　3.能运用组合数的性质进行计算．　4.会用组合及组合数公式解决一些简单的组合问题. 素养层面 通过组合概念的学习，培养数学抽象素养；借助组合数公式及其推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养. 在某次团代会上，某班级需要从A，B，C，D 4名候选人中选择2人担任代表上台发言． 问题1.若2人发言有顺序，有多少种选择方案？ 提示：A＝4×3＝12. 问题2.若2人发言无顺序，列出所有的选择方案． 提示：含A的两个元素有AB，AC，AD；不含A含B的两个元素有BC，BD；不含A，B的两个元素有CD．所以取2个元素的所有组合是AB，AC，AD，BC，BD，CD． 知识点一　组合 1．组合的概念 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． [微提醒]　组合的概念中的两个要点 1．取出对象，且要求n个对象是不同的； 2．“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质． 2.排列与组合的联系与区别 联系：二者都是从n个不同的对象中取m(n≥m)个对象． 区别：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关，只有对象相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的对象相同，不论对象的顺序如何，都是相同的组合． [微提醒]　辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的对象与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个对象的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题． 知识点二　组合数 组合数定义 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 表示法 C 组合数 公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 备注 ①n，m∈N*且m≤n；②C＝1 学生用书↓第17页 [微提醒]　1.同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同对象中取m(m≤n)个对象合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同对象a，b，c中每次取出两个对象的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3； 2．对于组合数的第一个公式C＝＝，它体现了组合数与相应排列数的关系，当n确定而m变化时，组合数与m是一种函数关系，一般在计算具体的组合数时，常用此公式．第二个公式C＝的主要作用有：①当m，n较大时，利用此公式计算组合数较为简便；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式． 1．(多选)下面几个问题中属于组合问题的是(　　) A．由1，2，3，4构成的双元素集合 B．5个队进行单循环足球比赛的分组情况 C．由1，2，3构成两位数的方法 D．由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法 答案：AB 解析：AB取出元素与顺序无关，CD取出元素与顺序有关． 2．(多选)下列命题中正确的为(　　) A．从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C B．从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C个积 C．1，2，3与3，2，1是同一个组合 D．C＝5×4×3＝60 答案：BC　 3．若C＝C，则C＝(　　) A．380 B．190 C．18 D．9 答案：B 解析：因为C＝C，所以n＝18，所以C＝C＝C＝＝190. 4．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有________种不同选法．(　　) A．504 B．729 C．84 D．27 答案：C 解析：只需从9名学生中选出3名即可，从而有C＝＝84种选法． 5．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________． 答案：3 解析：甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3. 题型一　组合的概念 例1　判断下列各事件是排列问题还是组合问题： (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ [思路点拨]　观察取出的元素与顺序有关还是无关，从而确定是排列问题，还是组合问题． 解：(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，有顺序的区别． (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表有顺序的区别． 学生用书↓第18页 区分排列与组合的方法 区分排列与组合，首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 对点练1.下列四个问题中，属于组合问题的是(　　) A．从3个不同小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张 答案：C 解析：只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组合问题． 题型二　组合数公式 例2　(1)计算：①3C－2C＋C；②C＋C. (2)证明：mC＝nC. [思路点拨]　(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，再利用组合数公式展开计算． (2)式子中涉及字母，可以用阶乘式证明． 解：(1)①3C－2C＋C＝3×－2×＋1＝149. ②C＋C＝C＋C＝＋200＝5 150. (2)证明：因为左边＝m·＝＝n·＝nC＝右边， 所以mC＝nC. 关于组合数公式的选取技巧 1．涉及具体数字的可以直接用C＝·＝＝C进行计算； 2．涉及字母的可以用阶乘式C＝计算； 3．计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． 对点练2.完成下列各题： (1)求7C－4C的值； (2)解不等式：2C＜3C. 解：(1)7C－4C＝7×－4×＝0. (2)因为2C＜3C，所以2C＜3C， 所以＜3×. 又因为所以x≥2， 所以＜，所以2≤x＜，且x∈N*， 所以x＝2，3，4，5，所以不等式的解集为{2，3，4，5}． 题型三　简单的组合问题 例3　(1)集合{0，1，2，3}的含有3个元素的子集的个数是(　　) A．4 B．5 C．7 D．8 (2)五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有______条． 学生用书↓第19页 (3)有12名翻译人员，其中3人只能翻译英语，4人只能翻译法语，其余5人既能翻译英语，也能翻译法语，从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有________种不同的选法． [思路点拨]　利用组合数C求解时，确定好m、n的值，结合两个计数原理解题． 答案：(1)A　(2)10　20　(3)124 解析：(1)由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0，1，2，3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是C＝4. (2)从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C＝10(条)．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有向线段共有20条． (3)把其余5人作为翻译英语的人，则有C·C种方法；把其余5人作为翻译法语的人，则有C·C种方法；综上共有C·C＋C·C＝124不同的选法． 解答简单的组合问题的思考方法 1．弄清要做的这件事是什么事． 2．选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题． 3．结合两计数原理利用组合数公式求出结果． 对点练3.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第一类，选出的2名是男教师有C种方法； 第二类，选出的2名是女教师有C种方法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝15×6＝90(种)． 易错点　忽视组合数中参数的限制条件致误 已知：－＝，求m. [易错分析]　运用组合数公式时，易忽略其中对字母取值范围的限制而致误． [误区警示]　应用组合数公式C时要注意m、n∈N*，m≤n；由C＝C列关系式时应有m＝p或m＋p＝n；逆用公式C＝C＋C可以将较复杂的下标连续变化的组合数和式化简，要注意用准公式． [正解]　依题意，m的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N*}． 原等式化为－＝， 化简得m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2. 因为0≤m≤5，m∈N*，所以m＝21应舍去， 所以m＝2. 1．书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为(　　) A．7 B．12 C．21 D．42 答案：C 解析：由题可知不同的取法种数为C＝＝21.故选C． 2．(多选)下列等式正确的是(　　) A．C＝ B．C＝C C．C＝C＋C D．nC＝mC 答案：AB 解析：A是组合数公式；B是组合数性质；C＝C＋C，所以C错误；nC＝n·， mC＝m·＝·，两者不相等，故D错误．故选AB． 学生用书↓第20页 3．为提高新农村的教育水平，洛阳市某校决定选派5名优秀的教师到A，B，C，D四所学校进行为期一年的支教活动，每人只能去一所学校，每所学校至少派一人，则不同的选派方案共有________种． 答案：240 解析：根据题意，有一个学校得分配2名教师，其余学校各分配1名教师，可以先从5名教师中任选2人，组成一个小组，有C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四所学校看成四个不同的位置，则四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有A种，根据乘法原理，共有CA＝240种不同的分配方案． 4．2023年成都大运会招募志愿者，从某高校的6名志愿者中依次选出3名担任语言服务，2名担任人员引导，1名担任应急救助．每名志愿者只能担任一项． (1)共有多少种安排方法？ (2)若甲乙不参与同一项志愿服务，则有多少种安排方法？ 解：(1)从6名志愿者中依次选出3名担任语言服务，2名担任人员引导，1名担任应急救助，每名志愿者只能担任一项，则共有CC＝20×3＝60种安排方法． (2)甲乙参与同一项的可能选法有CC＋CC＝16种可能，由(1)可知，甲乙不参与同一项志愿服务的选法有60－16＝44种． 课时测评5　组合与组合数 F11FF22F (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列等式中，正确的是(　　) A．(n＋1)A＝A　　　B．＝(n－2)! C．C＝ D．A＝A 答案：ABD 解析：通过计算得到选项A、B、D的左右两边都是相等的．对于选项C，C＝，所以选项C是错误的，故选A、B、D． 2．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有(　　) A．72种 B．84种 C．120种 D．168种 答案：C 解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C＝120(种)． 3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　) A．24种 B．12种 C．10种 D．9种 答案：B 解析：第一步，为甲地选1名女老师，有C＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B． 4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 答案：D 解析：根据题意，分3步进行分析：先将5艘驱逐舰分成2组，需要分成2、3的两组，有C＝10种分组方法，再将3艘核潜艇分成2组，需要分成1、2的两组，有C＝3种分组方法，最后将分好的2组分派给两艘航母，有4种分配方法，则有10×3×4＝120种组建方法． 5．(多选)在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则(　　) A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有AC种 B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有CC＋CC种 C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C－C种 D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有CC＋CC或C－C 种 答案：ABCD 解析：抽出的三件中恰好有一件是不合格品的抽法有A·C种，所以A正确．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有CC＋CC或C－C种．BCD正确． 6．若C∶C∶C＝3∶4∶5，则n＝________，m＝________． 答案：62　27 解析：由题意知由组合数公式得解得 7．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种． 答案：2 520 解析：从10人中选派4人有C种方法，对选出的4人具体安排会议有CC种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法种数为CCC＝2 520. 8．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为________． 答案：6 解析：因为1≤m<n≤5，所以C可以是C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，计算可知C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，故x2＋Cy2＝1能表示6个不同的椭圆． 9．(10分)判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应的结果． (1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(3分) (2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3分) (3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？(4分) 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C种不同的分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C次． 10．(10分)(1)解方程：C＋C＝A；(4分) (2)解不等式：－＜.(6分) 解：(1)原方程可化为C＝A，即C＝A， 所以＝， 所以＝， 所以x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3， 经检验知，x＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到－ ＜. 由x≥5，得x2－11x－12＜0，解得5≤x＜12. 因为x∈N*，所以x∈{5，6，7，8，9，10，11}． 11．(5分)(多选)关于排列组合数，下列结论正确的是(　　) A．C＝C B．C＝C＋C C．A＝mA D．A＋mA＝A 答案：ABD 解析：由题意利用组合数公式的性质可得C＝C，C＝C＋C，故A、B正确；再利用排列数公式可得A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，而mA＝m(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，显然，n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)和m(n－1)(n－2)…(n－m＋1)不一定相等，故C不正确；A＋mA＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＋mn(n－1)(n－2)…(n－m＋2)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋2)[(n－m＋1)＋m]＝(n＋1)n(n－1)(n－2)…(n－m＋2)＝A，故D正确． 12．(5分)某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有(　　 ) A．35种 B．70种 C．30种 D．65种 答案：B 解析：先从7人中选出3人有C＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C＝70. 13．(10分)在某次救灾活动中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，在这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(3分) (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3分) (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？(4分) 解：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90(种)抽调方法． (2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法． 方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类： ①选2名外科专家，共有CC种选法； ②选3名外科专家，共有CC种选法； ③选4名外科专家，共有CC种选法． 根据分类加法计数原理，共有CC＋CC＋CC＝185(种)抽调方法． 方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法； 考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法； 没有外科专家参加，有C种选法． 所以共有C－CC－C＝185(种)抽调方法． (3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答． ①没有外科专家参加，有C种选法； ②有1名外科专家参加，有CC种选法； ③有2名外科专家参加，有CC种选法． 根据分类加法计数原理，共有C＋CC＋CC＝115(种)抽调方法． 14．(5分)某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条． 答案：126 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条． 15．(15分)(新定义)规定C＝，其中x∈R，m∈N，且C＝1，这是组合数C(n∈N*，m∈N且m≤n)的一种推广． (1)求C的值．(5分) (2)组合数具有两个性质：①C＝C；②C＋C＝C.这两个性质是否都能推广到C(x∈R，m∈N)？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由．(10分) 解：(1)由题意得C＝＝－84. (2)性质①不能推广，如当x＝时，C有意义，但C无意义． 性质②能推广，它的推广形式是C＋C＝C(x∈R，m∈N)． 证明如下： 当m＝0时，有C＋C＝1＋x＝C； 当m≥1时，有C＋C ＝ ＋ ＝ ＝ ＝C. 综上，性质②的推广得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$