3.1.2 排列与排列数-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

3．1.2　排列与排列数 知识层面 1.通过实例，理解并掌握排列的概念．　2.能利用计数原理推导排列数公式．　3.能应用排列知识解决简单的实际问题. 素养层面 通过排列的学习，培养数学抽象素养，借助排列数公式及其推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养. 1．随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求，再加上许多车主还希望车牌号“个性化”，因此，汽车号码需要进行扩容． 问题1.鲁H·G12345与鲁H·G54321一样吗？ 提示：不同数字的顺序不同，号码就不同． 问题2.如果再增加一个字母(字母O、I除外，与数字0、1难以区分)，能建立一个数学模型算出多少个车牌号吗？ 提示：可以，建立如下模型：从24个字母与10个数字选出2个字母4个数字，按顺序填下列表格，有多少种填法，就有多少个车牌号． 2.2023年WTT名古屋女子总决赛落下了战幕，国乒选手发挥出色，将女单、女双两个项目的冠军收入囊中．由运动员、教练员和后勤保障人员组成36人的某代表团为了记录这历史性一刻，要在会场站成一排合影留念． 问题3.这36人的排列顺序有多少种？ 提示：36×35×34×…×2×1. 问题4.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，如何计算？ 提示：n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)． 知识点一　排列 1．排列的概念 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． 2．全排列 m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． [微提醒]　1.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取对象”，二是“按照一定的顺序排列”．给出的n个对象是互不相同的，抽取的m个对象也是互不相同的． 2．一个排列就是完成一件事的一种方法；不同的排列就是完成一件事的不同方法． 3．在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面将要学习的组合的根本区别． 3．相同排列的两个条件 (1)组成排列的对象相同． (2)对象的排列顺序相同． [警示]　对象不完全相同或对象完全相同而排列顺序不同的排列，都不是同一个排列． 学生用书↓第10页 知识点二　排列数 1．从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． [警示]　(1)“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有不同排列的个数”，它是一个数． (2)符号A中，总是要求n，m都是自然数，且m≤n. 2．排列数公式 排列数的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列数公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 A＋mA＝A＋1 [微提醒]　1.排列数公式中连乘积的特点：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘； 2．A＝主要有两个作用：(1)当m，n较大时，可使用计算器快捷地算出结果； (2)对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式． 1．(多选)下列问题中属于排列的为(　　 ) A．10本不同的书分给10名同学，每人一本 B．10位同学互通一次电话 C．10位同学互通一封信 D．10个没有任何三点共线的点构成的线段 答案：AC 解析：由排列的定义可知AC是排列，BD不是排列． 2．18×17×16×…×12×11等于(　　) A．A B．A C．A D．A 答案：A 解析：18×17×16×…×12×11＝＝＝A. 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有(　　 ) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 答案：C 解析：由排列定义得，共有A＝6种排列方法． 4．A＝________，A＝________． 答案：12　6 解析：A＝4×3＝12；A＝3×2×1＝6. 5．已知A＝56，那么n＝________． 答案：8 解析：因为A＝56，所以n(n－1)＝56，解得n＝8或－7，所以n＝8. 题型一　排列的概念 例1　判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信． [思路点拨]　判断是否为排列问题的关键是：选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． 解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 学生用书↓第11页 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 对点练1.判断下列问题是否为排列问题． (1)从9种不同的小麦良种中选出4种，有多少种选法？ (2)从50件不同的产品中随机抽出5件来检查，有多少种不同的等可能结果？ (3)5个人互送贺年卡1张，共送了多少张贺年卡？ (4)从1，2，3，4，5中任取两个数相除； (5)10个车站，站与站间的车票． 解：(1)从9种不同的小麦良种中选出4种，与顺序无关，不是排列问题．(2)从50件不同的产品中随机抽出5件来检查，与顺序无关，不是排列问题．(3)5个人互送贺年卡1张，与顺序有关，是排列问题．(4)从1，2，3，4，5中任取两个数相除，与顺序有关系，因此是排列问题；(5)10个车站，站与站间的车票，与顺序有关系，因此是排列问题． 题型二　排列数公式 例2　求解下列问题： (1)用排列数表示：(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n<55)； (2)计算：； (3)解方程：A＝140A. [思路点拨]　(1)用排列数公式的定义解答即可；(2)直接用排列数公式计算；(3)用排列数的公式展开得方程，然后求解，要注意x的取值范围，并检验根是否合理． 解：(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. (2) ＝ ＝＝1. (3)根据原方程，x应满足解得x≥3，x∈N*. 根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)． 因为x≥3，两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝5(因为x为整数，所以应舍去)． 所以原方程的解为x＝3. 应用排列数公式时应注意的三个方面 1．准确展开．应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确． 2．合理约分．若运算式是分式形式，则要先约分后计算． 3．合理组合．运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性． 对点练2.根据要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式：A＜3A； (3)求证：(n＋1)！－n！＝n·n！. 解：(1)方法一： ＝ ＝＝＝. 方法二：＝＝＝. 方法三：＝＝＝＝. (2)不等式可化为＜ 其中1≤x≤8，x∈N*，即＞1，解得x＞6， 所以x＝7，8. (3)证明：因为(n＋1)！－n！＝(n＋1)·n！－n！＝(n＋1－1)n！＝n·n！，所以原等式成立． 学生用书↓第12页 题型三　简单的排列问题 例3　(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． [思路点拨]　可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排列数公式． 解：(1)方法一：把1，2，3，4中任意一个数字排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置排好后，第二个位置上的数字就有3种排法． 由题意作树形图，如下． 1234　2134　3124　4123 故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个． 方法二：从4个数字中任取2个，其排列个数为A＝4×3＝12. (2)由题意作树形图，如下． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 1．适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式； 2．策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列． 对点练3.(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)12名选手参加校园歌手大比赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？ 解：(1)从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列． 因此共有A＝5×4×3＝60种不同的安排方法． (2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A＝12×11×10＝1 320种不同的获奖情况． 易错点　忽视排列数公式的隐含条件致误 解不等式：A<6A. [易错分析]　在排列数公式A中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，错解没有考虑到x－2>0，8≥x，导致错误． [误区警示]　注意公式的适用条件．数学中有好多公式、定理、法则等都是有限制条件的，如在排列数公式A中，m，n∈N*，n≥m，忽视限制条件就可能导致错误． [正解]　由A<6A，得<6×， 化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，① 又所以2<x≤8，② 由①②及x∈N*得x＝8. 学生用书↓第13页 1．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有(　　) A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 答案：B 解析：“word”一共有4个不同的字母，这4个字母全排列有A＝24种方法，其中正确的有1种，所以错误的有24－1＝23种．故选B． 2．(多选)下列各式中与排列数A相等的是(　　) A． B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C． D．AA 答案：AD 解析：对于A，由排列数公式知，A＝，故A正确；对于B，A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，故B错误；对于C，＝＝≠A，故C错误；对于D，AA＝n·＝＝A，故D正确．故选AD． 3．A－89A－8A＝________． 答案：0 解析：A－89A－8A＝10！－89×8！－8！＝8！－8！＝0. 4．(1)某农场要在4种不同类型的土地上，分别试验种植A，B，C，D四个不同品种的小麦，共有多少种不同的种植方案？ (2)从1，2，3，4，5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？ 解：(1)由题意，A，B，C，D四个不同品种的小麦在4种不同类型的土地上全排列， 故种植方案共有A＝24种． (2)因为坐标由横坐标和纵坐标组成，且有一定的顺序，所以由排列数的定义可得满足条件的坐标有A＝5×4＝20个，故一共可以组成20个不同的点． 课时测评3　排列与排列数F11FF22F (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列问题属于排列问题的是(　　) A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从10个人中选2人去扫地 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算 答案：AD 解析：根据题意，依次分析选项： 对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去扫地，选出的2人不存在顺序问题，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，选出的5人不存在顺序问题，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题． 2．下列各式中与排列数A相等的是(　　) A． B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C．A D．A·A 答案：D 解析：因为A＝，所以A·A＝＝＝，所以A＝A·A. 3．(多选)由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有(　　) A．(A)2A B．A＋(A)2A C．A－2A＋A D．A＋AAA＋AA 答案：CD 解析：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，排除法：总共有A种，减去1在个位和0在第一位的共有2A种，加上0在第一位，1在个位的A种，共有A－2A＋A种，故C正确；讨论法：若有1，(1)若1在第1位；共有A种，(2)若1在第2，第3，第4位，共有AAA种，若没有1，第1位有A种，剩下有A种，共有AA种，故有A＋AAA＋AA种． 4．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　 ) A．9 B．10 C．18 D．20 答案：C 解析：lg a－lg b＝lg，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有A＝20种，其中lg＝lg，lg＝lg，故其可得到18种结果． 5．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数，某校园学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”和“数”不能相邻，“射”和“御”必须相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(　　) A．24种 B．72种 C．96种 D．144种 答案：D 解析：根据题意，分2步进行分析：①“射”和“乐”要相邻，将两者看成一个整体，与“御”“书”全排列，有AA＝12种情况，②排好后有4个空位可用，在其中任选2个，安排“礼”和“数”，有A＝12种情况，则有12×12＝144种符合题意的排法． 6．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 答案：23 解析：因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现错误的种数为A－1＝23. 7．计算：＝________． 答案：36 解析：因为A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36. 8．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 答案：480 解析：分两步进行： 第一步，从6个位置中任选3个位置，排字母D，E，F，有A种排法．第二步，在剩下的3个位置上排字母A，B，C，又分两类：第一类，字母C排在剩下3个位置上的最左边，字母C右侧的2个位置排字母A，B，有A种排法；第二类，字母C排在剩下3个位置上的最右边，字母C左侧的2个位置排字母A，B，有A种排法．由分步乘法计数原理，得不同排法共有A×(A＋A)＝480(种)． 9．(10分)(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(4分) (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(6分) 解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210种不同的送法． (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343种． 10．(10分)(1)解关于x的方程：＝89；(4分) (2)解不等式：A>6A.(6分) 解：(1)方法一：因为A＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·A， 所以＝89. 因为A>0，所以(x－5)(x－6)＝90.故x＝－4(舍去)，x＝15. 方法二：由＝89，得A＝90·A，即 ＝90·. 因为x！≠0，所以＝， 所以(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，x＝15. (2)原不等式即>， 由排列数定义知所以2≤x≤9，x∈N*. 化简得(11－x)(10－x)>6，所以x2－21x＋104>0， 即(x－8)(x－13)>0，所以x<8或x>13. 又2≤x≤9，x∈N*，所以2≤x<8，x∈N*.故x＝2，3，4，5，6，7. 11．(5分)若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是(　　 ) A．8 B．5 C．3 D．0 答案：C 解析：因为当n≥5时，A的个位数字是0，故S的个位数取决于前四个排列数．又A＋A＋A＋A＝33，故选C． 12．(5分)(多选)由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是(　　) A．A＋A·A·A B．A＋A(A－A) C．A－A＋A(A－A) D．A－A－A(A－A) 答案：ABD 解析：方法一，分2种情况讨论：①，0在个位，在剩下的9个数字中任选4个，安排在前4位，有A种情况，②，2、4、6、8在个位，万位有A种情况，在剩下的8个数字中任选3个，安排在中间的3个数位，有A种情况，此时有AAA种情况，则可以有A＋AAA个五位偶数，A正确； 方法二，分2种情况讨论：①，0在个位，在剩下的9个数字中任选4个，安排在前4位，有A种情况，②，2、4、6、8在个位，在剩下的9个数字中任选4个，安排在前4位，有A种情况，其中0在首位的有A种情况，则此时有A(A－A)种情况，则可以有A＋A(A－A)个五位偶数，B正确； 方法三，由排除法分析：在10个数字中任选5个，进行全排列，有A种情况，其中0在首位的有A种情况，五位数是奇数，即1、3、5、7、9在个位有AA种情况，0在首位且1、3、5、7、9在个位有AA种情况，则可以有A－A－A(A－A)五位偶数；故D正确，C错误． 13．(15分)5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)教师站在4名学生中间；(2分) (2)2名女生必须相邻；(3分) (3)2名男生互不相邻；(4分) (4)教师不站中间，女生不站两端．(6分) 解：(1)由题意得，教师站在4名学生中间的不同站法有A＝24(种)． (2)由题意得，2名女生站在一起有A种站法，将2名女生视为一个元素与其余3人全排列，有A种站法．所以不同的站法有AA＝48(种)． (3)先站女生和教师，有A种站法，再在教师和女生之间及两端的4个空隙中插入男生，不同的站法有A种．所以不同的站法共有AA＝72(种)． (4)分两类： ①教师站两端之一，另一端站男生，有AAA种站法； ②两端全站男生，教师站除两端和正中间外的另外两个位置之一，有AAA种站法． 所以不同的站法共有AAA＋AAA＝32(种)． 14．(7分)(新定义)(多选)对于正整数n，定义“n！！”如下：当n为偶数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)…6·4·2；当n为奇数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)…5·3·1；则下列命题中正确的是(　　) A．(2 025！！)·(2 024！！)＝2 025! B．2 024！！＝2 024·1 012! C．918！！的个位数是0 D．211！！的个位数是5 答案：ACD 解析：对于A，(2 025！！)·(2 024！！)＝(2 025·2 023·2 021…5·3·1)·(2 024·2 022· 2020…6·4·2)＝2 025！，故A正确；对于B，2 024！！＝2 024×2 022×…×10×8×6×4×2＝21 012·1 012！，故B错误；对于C，因为10×8×6×4×2＝3 840，个位数是0，所以918！！＝918×916×…×10×8×6×4×2的个位数是0，故C正确；对于D，因为1×3×5×7×9＝945，个位数是5，211！！＝211×209×…×9×7×5×3×1的个位数是5，故D正确．故选ACD． 15．(8分)设S＝1·1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！，则S＝________． 答案：(n＋1)！－1 解析：S＝1·1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋＝(n＋1)！－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$