5.3.2 第1课时 函数的极值-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5．3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 [学习目标] 知识层面 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．　2. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值．　3.体会导数与极值的关系. 素养层面 通过利用导数研究函数单调性、极值的关系，培养逻辑推理、数学运算的素养. 知识点一　 函数极值的概念 问题1.如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 提示：在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷． 问题2.你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示：以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0. 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点 学生用书↓第83页 x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [微提醒]　(1)极值点不是点．极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点．(2)极值是函数的局部性质．(3)函数的极值不唯一．极大值与极小值两者的大小不确定．(4)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3，5)内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增； ④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的序号是________． 答案：③⑤ 解析：对于①，当x∈(3，4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(4，5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；对于②，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2，3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；对于③，当x∈(－2，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；对于④，当x∈(－2，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝－时，f 不是极大值，所以④错误；对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．故选③⑤. 规律方法 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值． 对点练1.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：如图，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c<d，知在(a，c)，(d，b)上f′(x)≥0， 所以此时函数f(x)在(a，c)，(d，b)上单调递增，在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值．则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.故选A． 知识点二　求函数极值点 问题3.你能求出函数f(x)＝x3－3x的极值点吗？并判断是极大值点还是极小值点？ 提示：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1， 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 则函数f(x)＝x3－3x的极大值点为－1；极小值点为1. 求可导函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． [微提醒]　设x0是f(x)的一个极值点，则f′(x0)＝0.反之不一定成立．例如，对于f(x)＝x3，虽然f′(0)＝0，但是x＝0不是极值点． (链教材P91例5)求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a为实数)． 解：(1)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝3x2－6x－9， 令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，或x2＝3. 当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以当x＝－1时，f(x)有极大值，并且极大值为f(－1)＝10； 当x＝3时，函数f(x)有极小值，并且极小值为f(3)＝－22. (2)因为f(x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a为实数)， 所以f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)． 令f′(x)＝0，解得x＝2，或x＝2a. ①当a＝1时，2a＝2，因此f′(x)＝(x－2)2≥0， 故f(x)在R上单调递增，函数不存在极值． ②当a<1时，2a<2，当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，2a) 2a (2a，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 由上表可知， f(x)在(－∞，2a)和(2，＋∞)上单调递增，在(2a，2)上单调递减． 因此当x＝2a时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2a)＝－a3＋4a2＋2； 当x＝2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)＝4a＋. ③当a>1时，2a>2，当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，2) 2 (2，2a) 2a (2a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 由上表可知， 函数f(x)在(－∞，2)和(2a，＋∞)上单调递增，在(2，2a)上单调递减． 因此当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4a＋； 当x＝2a时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2a)＝－a3＋4a2＋2. 综上，当a＝1时，函数不存在极值； 当a<1时，函数的极大值为－a3＋4a2＋2，极小值为4a＋； 当a>1时，函数的极大值为4a＋，极小值为－a3＋4a2＋2. 学生用书↓第84页 规律方法 函数极值和极值点的求解步骤 第一步(求定义域)：确定函数的定义域； 第二步(求导)：求函数的导数f′(x)； 第三步(令f′(x)＝0)：求出方程f′(x)＝0的根，即导函数f′(x)的零点； 第四步(列表)：用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； 第五步(结论)：由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． [注意]　求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论． 对点练2.求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝x2e－x； (3)f(x)＝x－aln x(a∈R)． 解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－1. 令f′(x)＝0，得3x2－1＝0，解得x＝－，或x＝. 当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如表所示． x － f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调 递增 单调 递减 － 单调 递增 f(x)在x＝－处取得极大值，在x＝处取得极小值－. (2)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0，或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 0 单调递增 4e－2 单调递减 因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，f(x)取得极大值， 且极大值为f(2)＝4e－2＝. (3)f(x)＝x－aln x的定义域为(0，＋∞)， 由f′(x)＝1－＝，x>0，知 ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. 由函数极值求参数的值或范围 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________． 答案：4　－11 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得即解得或但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去．而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11. 已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围． 解：f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示． 所以解得m>3. 故实数m的取值范围是(3，＋∞)． 规律方法 已知函数极值求参数的方法 1．对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． [注意]　求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． 2．对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 对点练3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　) A．(－1，2) B．(－3，6) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 答案：D 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3(a＋6)>0，解得a>6，或a<－3.故选D． 知识 1.函数极值的定义.2.函数极值的判定及求法.3.函数极值的应用 方法 分类讨论思想、方程思想 易错 误区 导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 学生用书↓第85页 1．(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是(　　) A．在(1，2)上函数f(x)单调递增 B．在(3，4)上函数f(x)单调递减 C．在(1，3)上函数f(x)有极大值 D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点 答案：ABC 解析：根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0；x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.所以f(x)在(1，2)，(4，5)上单调递增，在(2，4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点，所以A、B、C正确，D错误．故选ABC． 2．函数y＝x＋ln x的极值情况是(　　) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 答案：D 解析：函数的定义域为(0，＋∞)，因为y′＝1＋>0，所以函数y＝x＋ln x在(0，＋∞)单调递增，无极值．故选D． 3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　) A．1，－3 B．1，3 C．－1，3 D．－1，－3 答案：A 解析：f′(x)＝3ax2＋b，由题意知即解得故选A． 4．函数f(x)＝x3－x2－3x－3a的极大值与极小值分别为m和n，则m－n＝__________． 答案： 解析：f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)，f(x)在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(－1，3)上f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(－1)是f(x)的极大值，即m＝f(－1)＝－－1＋3－3a＝－3a，f(3)是f(x)的极小值，即n＝f(3)＝9－9－9－3a＝－9－3a，所以m－n＝＋9＝. 课时测评24　函数的极值 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．对于定义在R上的可导函数f(x)，f′(x)为其导函数，下列说法正确的是(　　) A．使f′(x)＝0的x一定是函数的极值点 B．f(x)在R上单调递增是f′(x)>0在R上恒成立的充要条件 C．若函数f(x)既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D．若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调 答案：D 解析： A × 使f′(x)＝0的x不一定是函数的极值点，比如f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点. B × f(x)在R上单调递增，但可能会在某点的导数值等于0.比如f(x)＝x3在R上单调递增，其中x＝0处的导数值为0. C × 若函数f(x)既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如f(x)＝x＋，在x＝－1处取得极大值－2，在x＝1处取得极小值2，极小值大于极大值. D √ 根据极值的定义可知D正确. 2.(2024·江苏镇江高二期末)函数f(x)＝x－sin x在上的极小值点为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝－cos x，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以是函数的极小值点．故选C． 3．已知x＝是函数f(x)＝x ln (ax)＋1的极值点，则a＝(　　) A． B．1 C． D．2 答案：B 解析：f′(x)＝ln (ax)＋1，因为x＝是f(x)的极值点，所以f′＝0即ln ＋1＝0，解得a＝1.故选B． 4．(2024·广东信宜高二月考)已知函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极值，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(0，1) C．(－∞，0]∪[1，＋∞) D．[0，1] 答案：D 解析：因为函数f(x)在R上无极值，所以f′(x)在R上无变号零点，又f′(x)＝x2－2mx＋m，所以Δ＝4m2－4m≤0，解得0≤m≤1.故选D． 5．(多选)下列函数中，存在极值点的是(　　) A．y＝x－ B．y＝2|x| C．y＝－2x3－x D．y＝xln x 答案：BD 解析：对于A，函数y＝x在R上单调递增，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，没有极值点；对于B，函数y＝2|x|为偶函数，且当x≥0时，y＝2|x|单调递增，所以当x<0时，y＝2|x|单调递减，所以函数y＝2|x|在x＝0处取得极小值；对于C，函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点；对于D，函数y＝xln x，则y′＝ln x＋1(x>0)，当x∈时，y′<0，函数y＝xln x单调递减，当x∈时，y′>0，函数y＝xln x单调递增，所以当x＝时，函数y＝xln x取得极小值．故选BD． 6．(多选)(2024·吉林长春高二月考)已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)在x＝x1处有极小值 B．函数f(x)在x＝x2处有极小值 C．函数f(x)在区间(a，b)内有4个极值点 D．导函数f′(x)在x＝x3处有极大值 答案：BD 解析： A × 在x＝x1的左右两侧均有f′(x)<0，所以x1不是f(x)的极值点. B √ 在x＝x2左侧有f′(x)<0，右侧有f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x2处有极小值. C × 根据图象可知，f′(x)有4个零点，但在x＝0的左右两侧均有f′(x)>0，所以0不是f(x)的极值点，故f(x)有3个极值点. D √ f′(x)在x＝x3附近的左侧单调递增，右侧单调递减，所以f′(x)在x＝x3处有极大值. 7.函数f(x)＝的极小值为__________． 答案：－ 解析：f′(x)＝＝.令f′(x)<0，得x<－2，或x>1；令f′(x)>0，得－2<x<1.所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2，1)上单调递增，所以f(x)极小值 ＝f(－2)＝－. 8．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数的解析式为________________． 答案：y＝x3－6x2＋9x 解析：因为三次函数过原点，故可设为y＝ax3＋bx2＋cx，所以y′＝3ax2＋2bx＋c.又x＝1，x＝3是y′＝3ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根，所以即所以y＝ax3－6ax2＋9ax，y′＝3ax2－12ax＋9a＝3a(x－1)(x－3)，又当x＝1时，f(x)极大值＝4，所以4a＝4，所以a＝1，当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，所以此函数的解析式为y＝x3－6x2＋9x . 9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________． 答案：－ 解析：因为f′(x)＝＋2bx＋1，x>0，由题意得所以a＝－.经检验，符合题意． 10．(10分)(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2)处的切线与直线2x＋3y＝0垂直． (1)求a；(4分) (2)求f(x)的单调区间和极值．(6分) 解：(1)因为 f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2， 所以f′(x)＝＋2x＋a，则f′(2)＝＋2×2＋a＝＋a， 由题意函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2)处的切线与直线2x＋3y＝0垂直， 可得×＝－1，解得a＝－3. (2)由a＝－3，得f(x)＝ln x＋x2－3x＋2， 所以f′(x)＝＋2x－3＝＝，x>0， 所以当0<x<时，f′(x)>0，当<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0， 故f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，f(x)的单调递减区间为， 故f(x)有极大值f＝ln ＋2－3×＋2＝－ln 2， f(x)有极小值f(1)＝ln 1＋12－3×1＋2＝0. (11—13每题5分，共15分) 11．(多选)(2024·广东东莞高二月考)已知函数f(x)＝x3－x2－3x＋1.则(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)的极大值点为－1 C．f(x)的极小值为－9 D．f(x)的极大值为 答案：AB 解析：函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表． x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以函数f(x)有两个极值点－1，3，函数f(x)在x＝－1处取极大值f(－1)＝，－1为极大值点，在x＝3处取极小值f(3)＝－8，3为极小值点．故选AB． 12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为(　　) A．－1或3 B．1或－3 C．3 D．－1 答案：C 解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0①，f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10②，联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极小值10，不符合题意；当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意．综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3.故选C． 13．已知函数f(x)＝在区间(a>0)上存在极值，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是函数f(x)的极大值点．又函数f(x)在区间(a>0)上存在极值，所以a<1<a＋，解得<a<1. 14．(10分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值；(4分) (2)试判断±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．(6分) 解：f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，x∈R. (1)法一：因为x＝±1是函数的极值点， 所以x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系知 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1，③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－. 法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，① 3a－2b＋c＝0，② 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1，③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－. (2)由(1)知f(x)＝x3－x， 所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)． 当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0， 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0. 所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减． 所以当x＝－1时，函数取得极大值，即－1为极大值点； 当x＝1时，函数取得极小值，即1为极小值点． 15．(5分)(多选)已知函数f(x)＝x＋sin x－x cos x的定义域为[－2π，2π)，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)在[0，π)上单调递增 C．f(x)恰有4个极大值点 D．f(x)有且仅有4个极值点 答案：BD 解析：因为f(x)的定义域为[－2π，2π)，所以f(x)是非奇非偶函数，因为f(x)＝x＋sin x－x cos x， 所以f′(x)＝1＋cos x－(cos x－x sin x)＝1＋x sin x，当x∈[0，π)时，f′(x)＞0，则f(x)在[0，π)上单调递增．显然f′(0)≠0，令f′(x)＝0，得sin x＝－，分别作出y＝sin x，y＝－在区间[－2π，2π)上的图象，如图所示， 由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点．故选BD． 16．(15分)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值． 解：f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2， 由a≠，得－2a≠a－2. 分以下两种情况讨论： ①若a>，则－2a<a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上单调递增，在(－2a，a－2)上单调递减， 函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. ②若a<，则－2a>a－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上单调递增，在(a－2，－2a)上单调递减， 函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)， 且f(a－2)＝(4－3a)ea－2， 函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)， 且f(－2a)＝3ae－2a. 学科网（北京）股份有限公司 $$