5.2.1 基本初等函数的导数-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5．2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 [学习目标] 知识层面 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3, y＝，y＝的导数．　2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．　3.会使用导数公式表. 素养层面 通过定义求函数的导数，培养逻辑推理的素养；通过对导数的计算，提高数学的运算素养. 问题1.　回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 提示：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数． 问题2.　如何求常函数f(x)＝c的导数？ 提示：因为＝＝＝0， 所以f′(x)＝ ＝0＝0，即(c)′＝0. 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1x1－1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1； f(x)＝＝x－1⇒f′(x)＝－x－2＝－x－1－1； f(x)＝＝x⇒f′(x)＝x－＝x－1.通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的导数的规律，即(xα)′＝αxα－1. 1．几个常用函数的导数 原函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ [微提醒]　这6个函数都是幂函数f(x)＝xα，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln__a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ [微思考]　函数f(x)＝ln x与g(x)＝logax的求导有什么内在联系？ 提示：f(x)＝ln x，则f′(x)＝，g(x)＝logax＝，所以g′(x)＝′＝×(ln x)′＝. 角度1　利用导数公式求函数的导数 (链教材P75例1)求下列函数的导数： (1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos . 解：(1)因为y＝cos ＝，所以y′＝0. (2)因为y＝＝x－5，所以y′＝－5x－6. (3)因为y＝＝＝x，所以y′＝x. (4)因为y＝lg x，所以y′＝. (5)因为y＝5x，所以y′＝5x ln 5. (6)因为y＝cos ＝sin x，所以y′＝cos x. 学生用书↓第66页 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． 2．若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导． [注意]　“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别． 对点练1.(1)(多选)下列结论正确的是(　　) A．若y＝2 024，则y′＝0 B．若y＝，则y′＝－ C．若y＝，则y′＝ D．若y＝，则y′＝ (2)函数y＝2sincos的导函数为______． 答案：(1)ACD　(2)y′＝cos x 解析：(1)对于A，常数的导数为0，故A正确；对于B，y′＝′＝－x－＝－，故B错误；对于C，y′＝′＝x－＝，故C正确；对于D，因为y＝＝x，所以y′＝′＝x＝，故D正确．故选ACD． (2)因为y＝2sincos＝sin x，所以y′＝cos x. 角度2　导数公式的应用 (链教材P75例2)某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095) 解：由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1， 所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)， 所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年． 规律方法 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数． 对点练2.从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流(单位：安)． 解：由q＝cos t得q′＝－sin t， 所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7， 即第5秒，第7秒时的电流分别是－sin 5安，－sin 7安． 利用导数公式研究曲线的切线方程 已知函数f(x)＝x2，l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3)． (1)判断(2，3)是不是曲线y＝f(x)上的点； (2)求l的方程． 解：(1)因为 f(2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f(x)上的点． (2)设切点为(x0，f(x0))．因为f′(x)＝2x， 所以切线的斜率为f′(x0)＝2x0， 又因为f(x0)＝x，所以直线l的方程为y－x＝2x0(x－x0)， 将(2，3)代入上式并整理，可得x－4x0＋3＝0， 由此可解得x0＝1或x0＝3. 因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)，或y－9＝6(x－3)． 即l的方程为y＝2x－1，或y＝6x－9. [变式探究] 1．(变条件、变设问)将本例变为“已知曲线f(x)＝x－2，求曲线在(a，a－2)(a>0)处的切线方程”． 解：由题意f′(x)＝－2x－3，所以曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－2a－3(x－a)，即y＝－2a－3x＋3a－2. 2．(变条件，变设问)将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值． 解：设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y′│x＝x0＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝. 学生用书↓第67页 规律方法 1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P与曲线相切的直线方程的一般步骤 对点练3.(1)求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程； (2)求曲线y＝ln x的切线斜率等于4时的切线方程． 解：(1)设所求切线的斜率为k. 因为y′＝()′＝x－，所以k＝， 所以曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. (2)设切点坐标为(x0，y0)． 因为y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4， 所以＝4，得x0＝，所以y0＝－ln 4，所以切点为， 所以所求切线方程为y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0. 知识 1.几个常用函数的导数.2.基本初等函数的导数公式.3.利用导数研究曲线的切线方程 方法 方程思想、待定系数法 易错 误区 不化简成基本初等函数或者公式变形不够彻底导致求导错误 1．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(　　) A．0 B．2x C．6 D．9 答案：C 解析：因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(3)＝6.故选C． 2．一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为(　　) A．2cos 1 B．－sin 1 C．sin 1 D．2sin 1 答案：B 解析：s′＝－sin t，当t＝1时，s′＝－sin 1，所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1.故选B． 3．(多选)下列选项正确的是(　　) A．y＝ln 2，则y′＝ B．f(x)＝，则f′(3)＝－ C．y＝2x，则y′＝2xln 2 D．y＝log2x，则y′＝ 答案：BCD 解析：对于A，y′＝(ln 2)′＝0，故A错误；对于B，f′(x)＝－，则f′(3)＝－，故B正确；对于C，y′＝(2x)′＝2xln 2，故C正确；对于D，y′＝(log2x)′＝，故D正确．故选BCD． 4．曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________________． 答案：x＋y－6＝0 解析：因为y′＝－，所以y′|x＝3＝－1，所以在点(3，3)处的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0. 课时测评17　基本初等函数的导数 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(2024·北京大兴高二期末)函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)等于(　　) A．－ B． C．1 D．2 答案：B 解析：由f′(x)＝，故f′(1)＝.故选B． 2．下列各式正确的是(　　) A．(sin 10°)′＝cos 10° B．(cos x)′＝sin x C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－x－6 答案：C 解析：根据基本初等函数求导公式，(sin 10°)′＝0，故A错误；(cos x)′＝－sin x，故B错误；(sin x)′＝cos x，故C正确；(x－5)′＝－5x－6，故D错误．故选C． 3．下列结论正确的个数为(　　) ①若y＝ln 3，则y′＝；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③若y＝2x，则y′＝x·2x－1；④若y＝log2x，则y′＝. A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D 解析：由y＝ln 3得y′＝0，故①错误；对于f(x)＝，f′(x)＝－，故f′(3)＝－，故②正确；对于y＝2x，则y′＝2x ln 2，故③错误；对于y＝log2x，则y′＝，故④错误．故选D． 4．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案：A 解析：因为f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，所以α＝4.故选A． 5．(多选)已知f(x)＝2x的导数为f′(x)，则必有(　　) A．f(x)>f′(x) B．f(x)≥f′(x)(x≥1) C．f(x)<f′(x) D．f(x)≤f′(x)(x≤1) 答案：BD 解析：由f(x)＝2x，得f′(x)＝2，所以f(x)－f′(x)＝2(x－1)，当x≥1时，f(x)≥f′(x)，当x≤1时，f(x)≤f′(x)，所以选项B、D正确．故选BD． 6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x．若实数m满足f′(m)－g′(m)＝1，则实数m的值为________． 答案：1 解析：因为f′(x)＝2x，g′(x)＝(x>0)，所以f′(m)－g′(m)＝2m－＝1(m>0)，解得m＝1(m＝－舍去)． 7．(开放题)若函数f(x)在R上可导，且f(x)·f′(x)为单调函数．写出满足上述条件的一个函数______________________________． 答案：f(x)＝x2(答案不唯一) 解析：设f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，所以f(x)· f′(x)＝2x3在R上单调递增，满足条件．所以f(x)＝x2满足条件． 8．(2024·江苏连云港高二期末)设b为实数，若直线y＝－x＋b为函数y＝图象的切线，则b的值是______________． 答案：2或－2 解析：设切点坐标为(x0，y0)，由函数y＝的导函数得y′＝－，由直线y＝－x＋b得到斜率为－1，所以－＝－1，解得x0＝±1，把x0＝－1代入y＝中解得y0＝－1，把x0＝1代入y＝中解得y0＝1，所以切点坐标是(－1，－1)或(1，1)，当切点坐标是(－1，－1)时，代入直线的方程y＝－x＋b，得b＝－2；当切点坐标是(1，1)时，代入直线的方程y＝－x＋b，得b＝2.综上所述，b＝2，或－2. 9．(10分)设b为实数，直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由． (1)f(x)＝；(2分) (2)f(x)＝x4；(2分) (3)f(x)＝sin x；(3分) (4)f(x)＝ex.(3分) 解：(1)因为f(x)＝，所以f′(x)＝－＝无解， 所以直线y＝x＋b不能作为函数图象的切线． (2)因为f(x)＝x4，所以f′(x)＝4x3，令f′(x)＝4x3＝，解得x＝，此时y＝， 所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线． (3)因为f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x， 令f′(x)＝cos x＝，解得x＝2kπ±，k∈Z，此时y＝±， 所以切点坐标为，k∈Z或，k∈Z， 所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线． (4)因为f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex， 令f′(x)＝ex＝，解得x＝ln，此时y＝， 所以切点坐标为，所以直线y＝x＋b能作为函数图象的切线． 10．(10分)点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 解：如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近． 则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex， 所以ex0＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为. (11—13每题5分，共15分) 11．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A．∪ B．[0，π) C． D．∪ 答案：A 解析：因为(sin x)′＝cos x，所以kl＝cos x∈[－1，1]，所以－1≤tan α≤1，又因为α∈[0，π)，所以α∈∪.故选A． 12．设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 024(x)＝(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 答案：C 解析：根据题意，f0(x)＝cos x，则f1(x)＝f0′(x)＝－sin x，f2(x)＝f1′(x)＝－cos x，f3(x)＝f2′(x)＝sin x，f4(x)＝f3′(x)＝cos x，…，则fn(x)的解析式重复出现，每4次一循环，故f2 024(x)＝f4×506(x)＝f4(x)＝cos x．故选C． 13．(开放题)(2024·四川内江高二期末)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)的解析式_________________________． ①f(xy)＝f(x)f(y)；②f′(x)是偶函数； ③f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 答案：f(x)＝x(满足条件即可) 解析：如f(x)＝x，f(xy)＝xy，f(x)f(y)＝xy，故f(xy)＝f(x)f(y)，f′(x)＝1是偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x(满足条件即可). 14．(10分)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值． 解：导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1， 所以切线方程为y＝(n＋1)x－n， 可求得切线与x轴的交点为， 则an＝lg ＝lg n－lg(n＋1)， 所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2. 15．(5分)(新定义)(多选)已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝ln x D．f(x)＝x－ 答案：ABC　 解析：对于A，f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f′(x)＝－，令＝－，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f′(x)＝，令ln x＝，结合y＝ln x，y＝的图象(如图)，知方程ln x＝有解，有“巧值点”；对于D，f′(x)＝－x－，x>0，令x－＝－x－，方程无解，无“巧值点”．故选ABC． 16．(10分)求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率． 解：(1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y1′＝2x，y2′＝3x2. 令2x＝3x2，解得x＝0，或x＝. ①当x＝0时，2x＝3x2＝0；②当x＝时，2x＝3x2＝. 此时C1的切线方程为y－＝，而C2的切线方程为y－＝. 显然两者不是同一条切线，所以x＝舍去． (2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有y′1＝2x1，y′2＝3x，因为AB的斜率为kAB＝， 所以有2x1＝3x＝.由2x1＝3x，得x1＝x， 代入3x＝中，解得x2＝，x1＝.此时公切线的斜率为2x1＝. 综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，. 学科网（北京）股份有限公司 $$