5.1.1 变化率问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5．1　导数的概念及其意义 5．1.1　变化率问题 [学习目标] 知识层面 1. 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义．　2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系．　3.体会极限思想. 素养层面 通过本节课的学习，培养数学抽象、数学运算的素养. 知识点一　平均速度 问题1.(1)在一次高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.为了描述该运动员运动状态，你能求该运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2，0≤t≤内的平均速度吗？ (2)你认为用平均速度描述该运动员运动状态有什么问题吗？ 提示：　(1)在0≤t≤0.5这段时间里，＝ ＝4.05(m/s)；在1≤t≤2这段时间里，＝＝－8.2(m/s)；在0≤t≤这段时间里，＝＝0(m/s)． (2)由(1)知，在0≤t≤这段时间里，虽然运动员的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 1．平均速度：设物体运动规律是s＝s(t)，则物体从t1到t2时间段内平均速度＝. 2．物体在某一时间内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢． 已知某质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m)，求： (1)该质点在前3 s内运动的平均速度； (2)该质点在2 s到3 s这段时间内运动的平均速度． 解： (1)因为s(3)－s(0)＝2×32＋2×3－0＝24， 所以＝＝＝8(m/s)． (2)因为s(3)－s(2)＝2×32＋2×3－(2×22＋2×2)＝24－12＝12， 所以＝＝＝12(m/s)． 规律方法 求物体运动的平均速度的三个步骤 第一步：求时间的改变量t2－t1； 第二步：求位移的改变量s(t2)－s(t1)； 第三步：求平均速度＝. 对点练1.已知某质点按规律s＝5t2做直线运动(路程s的单位为m)，求： (1)该质点在3 s到3.1 s这段时间内运动的平均速度； (2)该质点在3 s到3.01 s这段时间内运动的平均速度． 解：(1)＝＝＝30.5(m/s)． (2)＝＝＝30.05(m/s)． 学生用书↓第57页 知识点二　瞬时速度 问题2.物体做自由落体运动的方程是h(t)＝gt2，其中g为重力加速度，如何求该物体在[3，3＋Δt]这段时间内的平均速度？当Δt趋近于0时，平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：因为Δh＝g(3＋Δt)2－×9g＝gΔt2＋3gΔt，所以该物体在[3，3＋Δt]这段时间内的平均速度＝＝gΔt＋3g＝g(Δt＋3)．当Δt趋近于0时，趋近于3g，这时的平均速度即为当t＝3时的瞬时速度． 瞬时速度 定义 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 瞬时速度 的计算 设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 瞬时速度 与平均速 度的关系 从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度 注意点 Δt是时间的改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0 [微思考]　平均速度和瞬时速度有什么区别和联系？ 提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关． 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值． 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 解：因为＝ ＝＝3＋Δt， 所以 ＝ (3＋Δt)＝3. 所以物体在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. [变式探究] 1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为＝ ＝＝1＋Δt， 所以 (1＋Δt)＝1. 所以物体的初速度为1 m/s. 2．(变结论)若本例条件不变，试求该物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝2t0＋1＋Δt， (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，则2t0＋1＝9， 所以t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 规律方法 求物体运动的瞬时速度的三个步骤 第一步(求改变量)：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步(求平均速度)：求平均速度＝； 第三步(求瞬时速度)：当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ . 对点练2.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 解：质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率． 因为质点M在t＝2附近的平均变化率为 ＝＝＝4a＋aΔt， 所以lim ＝4a＝8， 即a＝2. 学生用书↓第58页 知识点三　抛物线的切线的斜率 问题3.前面我们从物理的角度研究了瞬时速度的问题，它反映到我们几何上是什么意思？ 提示：从＝形式上来看，它表示的是图象上两点割线的斜率，而曲线上两点的平均变化率与直线l的斜率k＝不同，曲线上两点的平均变化率表示的是曲线的陡峭程度，而直线的斜率表示的是直线的倾斜程度．从＝＝来看，当曲线上两点无限接近时，此时的割线的斜率无限接近曲线在t＝t1这一点的切线的斜率． 抛物线的切线的斜率 切线 设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线 切线的 斜率 设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0＝__ 切线的斜 率与割线 的斜率的 关系 从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0 注意点 极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率 过抛物线f(x)＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为__________． 答案：4.1 解析：kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1. 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程． 解：由 ＝＝Δx， 可得切线的斜率为k＝Δx＝0. 所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2. [变式探究](变设问)本例条件不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程． 解：设切点(x0，x－2x0＋3)， 故 ＝ ＝2x0－2＋Δx， 所以k＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2， 故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点为(2，3)，所求切线方程为2x－y－1＝0. 规律方法 求抛物线在某点处的切线方程的步骤 对点练3.(1)若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________． (2)求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程． 答案：(1)1 解析：(1)k＝ ＝ (4Δx＋8x0)＝8x0＝8，解得x0＝1. (2)f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2， 所以切线的斜率k＝ ＝ ＝ (3＋Δx)＝3. 则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0. 学生用书↓第59页 求曲线在某点处切线的斜率或方程 求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程． 解：显然点P(1，2)在曲线上，所以切线的斜率为k＝ ＝ ＝ ＝ (Δx＋2)＝2. 故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 规律方法 求曲线在某点处的切线斜率的三个步骤 [注意]　求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标． 对点练4.(1)抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为________． (2)已知曲线y＝x2－2x＋2，则该曲线在点(2，2)处的切线方程为__________． 答案：(1)2　(2)2x－y－2＝0 解析：(1)k＝ ＝ (Δx＋2)＝2. (2)因为Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，所以＝2＋Δx，k＝ (2＋Δx)＝2.即曲线在点(2，2)处的切线斜率为2.所以切线方程为y－2＝2(x－2)， 即2x－y－2＝0. 知识 1.平均速度.2.瞬时速度.3.抛物线的切线的斜率 方法 定义法、极限法 易错 误区 对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位 1．某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案：D 解析：＝＝－3.故选D． 2．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　) A．6 B．18 C．54 D．81 答案：B 解析：由题可得 ＝ ＝ (18＋3Δt)＝18.故选B． 3．(多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h(t)＝2t2＋2t，则下列说法正确的是(　　) A．前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝20 m B．在时间内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m C．前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 答案：BCD 解析：前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝8 m/s，故A错误，C正确；在时间内，Δt＝1 s，Δh＝h(3)－h(2)＝12 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝12 m/s，故B、D正确．故选BCD． 4．抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为________． 答案：2 解析：k＝ ＝ (Δx＋2)＝2. 课时测评15　变化率问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为(　　) A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29 答案：B 解析：因为Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，所以＝＝－1.1. 故选B． 2．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，2]上的平均速度为(　　) A．－6 B．2 C．－2 D．6 答案：A 解析：平均速度为＝＝－6.故选A． 3．(2024·浙江罗浮高二期中)某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若＝24.5 m/s，则24.5 m/s是该物体(　　) A．从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度 B．从0 s到1 s这段时间的平均速度 C．在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D．在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 答案：A 解析：由s(1＋Δt)－s(1)表示从1 s到(1＋Δt)s这段时间内物体的位移．Δt是从1 s到(1＋Δt)s这段时间的增加量，所以表示从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度．故选A． 4．一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 解析： ＝ (Δt＋6)＝6.故选C． 5．已知抛物线y＝2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线斜率为(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 答案：C 解析：k＝＝＝8. 故选C． 6．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　) A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 答案：ABD 解析：该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，故A正确；物体在t＝4时的瞬时速度是 ＝ (56＋7Δt)＝56，故B正确；物体的最大位移是7×52＋8＝183，故C错误；物体在t＝5时的瞬时速度是 ＝ (70＋7Δt)＝70，故D正确．故选ABD． 7．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为________． 答案：1 解析：由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1. 8．已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为________(由大到小排列)． 答案：＞＞ 解析：因为＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC．又由图象得kOA＜kAB＜kBC，所以＞＞. 9．一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________m/s，在t＝2时的瞬时速度是________m/s. 答案：7＋2Δt　7 解析：＝＝＝＝7＋2Δt，v＝ (7＋2Δt)＝7. 10．(10分)某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度． 解：自运动开始到t s时，物体运动的平均速度 (t)＝＝3t＋2， 故前4 s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＝14(m/s)． 由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2， ＝2＋6t＋3Δt， ＝2＋6t， 当t＝4时， ＝2＋6×4＝26， 所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s. (11—13每题5分，共15分) 11．已知某物体的运动方程为s (x)＝x2－1，在时间段[1，m]上的平均速度为3，则实数m的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．4 答案：B 解析：由已知得＝3，因为m－1≠0，所以m＋1＝3，所以m＝2. 故选B． 12．若抛物线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 答案：A 解析：由题意可知k＝ ＝1，解得a＝1，又(0，b)在切线上，所以b＝1.故选A． 13．过曲线y＝f (x)＝上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________． 答案：　1 解析：割线的斜率k＝＝＝＝2＝. ＝ ＝ ＝ ＝1，故切线斜率为1. 14．(10分)抛物线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y＝4x－5；(3分) (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3分) (3)倾斜角为135°.(4分) 解：设P(x0，y0)是满足条件的点，抛物线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为 k＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0. (1)因为切线与直线y＝4x－5平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 所以2x0×＝－1， 得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点． (3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． 15．(5分)(2024·北京顺义高二月考)降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度(c)与开窗通风换气时间(t)的关系如图所示．则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(　　) A．[5，10] B．[5，15] C．[5，20] D．[5，35] 答案：C 解析：如图，分别令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝35所对应的点为A，B，C，D，E，由图可知0>kAB>kAC>kAE>kAD，所以在[5，20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快．故选C． 16．(15分)若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) s＝f(t)＝ 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；(4分) (2)物体的初速度v0；(4分) (3)物体在t＝1时的瞬时速度．(7分) 解：(1)因为物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3，5]上的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t∈[3，5]上的平均速度为＝＝24， 所以物体在t∈[3，5]上的平均速度为24 m/s. (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为＝ ＝ ＝3Δt－18， 所以物体的初速度v0＝ ＝ (3Δt－18)＝－18(m/s)． (3)因为＝ ＝3Δt－12， 所以物体在t＝1时的瞬时速度为 (3Δt－12)＝－12 (m/s)． 学生用书↓第60页 学科网（北京）股份有限公司 $$