4.4 数学归纳法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

4．4*　数学归纳法 [学习目标] 知识 层面 1.借助教材实例了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题． 素养 层面 通过对数学归纳法的原理的学习，提升直观想象的素养；通过用数学归纳法证明一些简单的数学命题和通过归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题提升数学运算、逻辑推理的素养. 问题1.如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：　不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了． 问题2.在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下．像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法．它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． [微思考]　数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? 提示：不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. 用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋. 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立． 由①②知，命题对一切正整数均成立． 规律方法 对点练1.用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝(n∈N*)． 证明：　①当n＝1时，＝成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立． 学生用书↓第47页 应用一　用数学归纳法证明不等式 求证：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 证明：①当n＝2时，左边＝＝， 右边＝1－＝， 因为<，所以不等式成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－. 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据①和②知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立． 规律方法 1. 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 2．常用的几点放缩技巧 (1)＜n＜； (2)<<(n∈N*，n＞1)； (3)>＝2(－)； (4)<＝2(－)(k∈N*，k＞1)． 　　 对点练2.求证：不等式1＋＋＋＋…＋>(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，1>成立， ②假设n＝k(k∈N*)时，不等式1＋＋＋＋…＋>成立， 那么n＝k＋1时， 1＋＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋…＋. 因为>，>，…，＝， 所以1＋＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＝， 即n＝k＋1时，该不等式也成立． 综合①②可知，不等式1＋＋＋＋…＋>(n∈N*)成立． 应用二　归纳—猜想—证明 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1)求a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)由S1＝a1＝得a＝1. 因为an＞0，所以a1＝1. 由S2＝a1＋a2＝， 得a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1. 又由S3＝a1＋a2＋a3＝， 得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－. (2)猜想an＝－(n∈N*)． 下面用数学归纳法证明． ①当n＝1时，a1＝1＝－猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝－， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝－， 即ak＋1＝－ ＝－， 所以a＋2ak＋1－1＝0， 所以ak＋1＝－.即n＝k＋1时猜想也成立． 由①②可知，an＝－(n∈N*)． 学生用书↓第48页 规律方法 1．“归纳—猜想—证明”的解题步骤 2．“归纳—猜想—证明”解决的主要问题 (1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和； (2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在； (3)给出一些简单命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． [注意]　(1)计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；(2)猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；(3)如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．　　 对点练3.(2024·山西晋城期末)已知数列{an}满足a1＝－，an＝－(n≥2，n∈N*)． (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法给出证明． 解：(1)a2＝－＝－＝－，a3＝－＝－＝－. (2)猜想数列{an}的通项公式为an＝－，证明如下： ①当n＝1时，a1＝－，－＝－，所以an＝－成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝－， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝－＝－＝－＝－，所以n＝k＋1时，猜想也成立．由①和②可知，对于任意n∈N*，an＝－均成立． 知识 数学归纳法的概念 方法 1.有关等式证明：数学归纳法.2.有关不等式证明：数学归纳法、放缩法.3.有关“归纳—猜想—证明”问题：不完全归纳法、数学归纳法 易错 误区 一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错 1．用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n应等于(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．4 C．5 D．6 答案：D 解析：逐个验证，当n＝6时成立．故选D． 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案：C 解析：当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．故选C． 3．(2024·北京高二期中)用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了(　　 ) A． B．＋－ C． D．＋＋ 答案：B 解析：用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥的过程中，假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，左边＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时， 左边＝＋…＋＋＋＋，所以从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了＋＋－＝＋－.故选B． 4．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________． 答案：f(2n)＞ 课时测评14　数学归纳法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：边数最少的凸n边形是三角形．故第一步验证n＝3，故选C． 2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　　 ) A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题成立 答案：D 解析：在第二步时，假设n＝k(k为正奇数)时，xn＋yn能被x＋y整除，证明n＝k＋2时，xn＋yn也能被x＋y整除．故选D． 3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A． B．－ C．－ D．＋ 答案：C 解析：因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以左端应在n＝k的基础上加上－.故选C． 4．利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 答案：D 解析：用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，所以由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：＋＋…＋，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．故选D． 5．(多选)对于不等式 <n＋1(n∈N*)，某学生使用数学归纳法证明的过程如下： ①当n＝1时， <1＋1，不等式成立． ②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则n＝k＋1时， ＝＜＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是(　　 ) A．证明过程全都正确 B．当n＝1时的验证正确 C．归纳假设正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案：BCD 解析：n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故选BCD． 6．(多选)一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则下列说法正确的是(　　 ) A．该命题对于n＝6时命题成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 答案：AB 解析：由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时，命题成立，故对所有的正偶数都成立．故选AB． 7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________． 答案：＋＋…＋>－ 解析：从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋>－. 8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________． 答案：n＝k＋2时等式成立 解析：由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故还需要再证n＝k＋2时等式成立． 9．(原创题)观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<________． 答案： 解析：由已知中的不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母值是从1开始的自然数平方的和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以不等式右边的第2023项为＝，所以1＋＋＋…＋<. 10．(10分)证明：对任意的n∈N*，不等式×××…×>成立． 证明：①当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立． ②假设当n＝k时不等式成立，即×××…×>成立．则当n＝k＋1时， 左边＝×××…××>×＝ ＝ ＝ >， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②可知，不等式恒成立． (11—13每题5分，共15分) 11．用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N*)能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　 ) A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k 答案：A 解析：假设当n＝k时命题成立，即5k－2k能被3整除．当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k.故选A． 12．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　 ) A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋1 答案：C 解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．故选C． 13．(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋>－1(n∈N*，n≥2)时，以下说法正确的是(　　 ) A．第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B．“n＝k(k∈N*，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C．从“n＝k(k∈N*，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项 D．当n＝2时，不等式左边是 答案：CD 解析：第一步应该验证当n＝2时不等式成立，故A不正确；因为＋＋＋…＋－＝＋＋…＋(k∈N*)，所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，故B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，故C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，故D正确．故选CD． 14．(16分)(开放题)是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝对一切n∈N*都成立？若不存在，请说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论． 解：取n＝1，2，3可得 解得a＝，b＝，c＝. 下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝＝. 即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． ①n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以等式成立； ②假设n＝k时等式成立， 即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立， 则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)， 所以当n＝k＋1时等式成立． 由数学归纳法，由①②可知，当n∈N*时等式成立． 故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立． 15．(7分)(开放题)(多选)用数学归纳法证明＞对任意n≥λ(n，λ∈N*)都成立，则以下满足条件的λ的值为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：CD 解析：取n＝1，则＝，＝，＞不成立；取n＝2，则＝，＝，＞不成立；取n＝3，则＝，＝，＞成立；取n＝4，则＝，＝，＞成立．猜想当n≥3时，＞(n∈N*)成立．证明：当n＝3时，＝，＝，＞成立．设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，有＞成立，则当n＝k＋1时，有＝＝＝＝，令t＝，则＝＝3－，因为t＞，故＞3－＝，因为－＝＞0，所以＞＝，所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由数学归纳法可知＞对任意的n≥3都成立．故选CD． 16．(7分)(多选)大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙．譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关．在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a2 024 B．a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝a2 024 C．a＋a＋a＋…＋a＝a2 023a2 024 D．＋＋…＋＋＝－ 答案：ACD 解析：对于A，由an＋2＝an＋1＋an，可得an＋1＝an＋2－an，则a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，a7＝a8－a6，…，a2 023＝a2 024－a2 022，将上式累加得a3＋a5＋a7…＋a2 023＝a2 024－a2，又a1＝a2＝1，则有a1＋a3＋…＋a2 023＝a2 024.故A正确；对于B，由an＋2＝an＋1＋an，可得a3＝a2＋a1，a4＝a3＋a2，…，a2 024＝a2 023＋a2 022，将上式累加得a2 024＝a2＋(a1＋a2＋a3＋…＋a2 022)，又a2＝1，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝a2 024－1，故B错误；对于C，有a＋a＋a＋…＋a＝anan＋1成立，用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，a＝1＝a1·a2，满足规律，②假设当n＝k时满足a＋a＋a＋…＋a＝akak＋1成立，当n＝k＋1时，则a＋a＋a＋…＋a＋a＝akak＋1＋a＝ak＋1(ak＋ak＋1)＝ak＋1ak＋2成立，满足规律，故a＋a＋a＋…＋a＝anan＋1，令n＝2 023，则有a＋a＋a＋…＋a＝a2 023a2 024成立，故C正确；对于D，由an＋2＝an＋1＋an可得＝＝＝－，所以＋＋…＋＋＝＋＋…＋＝－，故D正确．故选ACD． 学生用书↓第49页 学科网（北京）股份有限公司 $$