4.3.1 第1课时等比数列的概念及通项公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [学习目标] 知识 层面 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念、等比中项的意义．　2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题(判断、证明、计算等)．　3.体会等比数列与指数函数的关系． 素养 层面 通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养数学抽象、数学运算的素养. 知识点一　等比数列的概念 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”． 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……，依次排成一列数：－，，－，，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律． 提示：　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，＝，…；对于(3)，＝－，…；也有相同的取值规律． 等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 符号 语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) [微提醒]　(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)．(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项．(3)比必须是同一个常数．(4)等比数列中任意一项都不能为0.(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. (链教材P31练习T1)判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它们的公比： (1)1，，，，，…； (2)，，，，…； (3)1，0，1，0，1，0，…； (4)1，－4，16，－64，256，…. 解：(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为；(3)不是等比数列；(4)是等比数列，公比为－4. 学生用书↓第25页 规律方法 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参数的数列需要分类讨论． 对点练1.以下条件中，能判定数列是等比数列的有(　　 ) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，…，a，…； ④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 解析：①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选A． 知识点二　等比中项 问题2.我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． [微思考]　当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 提示：当G2＝ab时，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0. (1)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，求实数x的值． (2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a1和a5的等比中项． 解：(1)因为等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2， 解得x＝－1，或x＝－4. 又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4. (2)因为{an}是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即a＝a2a4，所以a＝64，解得a3＝4，从而a6＝32. 设{an}的公比为q，则解得 所以a5＝a1q4＝16. 设a1和a5的等比中项为G，则G2＝a1a5＝16， 所以G＝±4，故a1和a5的等比中项是±4. 规律方法 等比中项应用需注意的问题 1．由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． 2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． 3．a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)． 对点练2.(1)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．6 B．－6 C．±6 D．±12 (2)(多选)已知a＞0，b＞0，若a与b的等差中项为M，等比中项为G，则下列结论正确的是(　　 ) A．M与G可能相等 B．M大于G C．M小于G D．M不小于G 答案：(1)C　(2)AD　 解析：(1)因为a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，所以ab＝±6.故选C． (2)由于a＞0，b＞0时，≥，当且仅当a＝b时，等号成立．由a与b的等差中项为M＝，等比中项为G＝±，当a＝b，G＞0时，M＝G；当a≠b时，M＞G.故选AD． 学生用书↓第26页 知识点三　等比数列的通项公式 问题3.类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：能．设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 思路一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 思路二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1(n≥2)， 当n＝1时，上式也成立． 1．通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a． (3)从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的一些孤立的点． [微提醒]　(1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列． (2)当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列． (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列． (4)当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列． (5)当q＝1时，数列{an}为常数列． (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 在等比数列{an}中： (1)若a4＝27，q＝－3，求an； (2)若a1＝2，q＝，an＝，求项数n； (3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3； (4)(2023·全国乙卷改编)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，求a7. 解：(1)由a4＝a1·q3，得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1， 故an＝(－1)×(－3)n－1＝－(－3)n－1. (2)由已知得，an＝a1qn－1＝2×n－1＝，即n－1＝＝4， 所以n－1＝4，所以n＝5. (3)由已知得由得＝， 故q＝，或q＝2， 当q＝时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4. (4)设{an}的公比为q(q≠0)， 则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1， 因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2， 则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 规律方法 关于等比数列基本量的运算 1．公式法：等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1. 2．整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 对点练3.在等比数列{an}中： (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； (2)若a2＝4，a5＝－，求an； (3)若a2＝4，q＝2，an＝128，求n. 解：(1)因为a5＝a1q4， 而a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝5×(－3)4＝405. (2)由题意可知 所以q＝－，a1＝－8， 所以an＝a1qn－1＝－8×＝(－2)4－n. (3)由a2＝4，q＝2，得a1＝2，所以2·2n－1＝128，解得n＝7. 学生用书↓第27页 等比数列的判定与证明 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)． (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1， 所以bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn， 又因为b1＝a1＋1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，an＋1＝2×2n－1＝2n， 所以an＝2n－1. [变式探究](变条件，变设问)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 解：(1)由S1＝(a1－1)， 得a1＝(a1－1)， 所以a1＝－. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)， 得a2＝. (2)证明：当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－.又a1＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 规律方法 判定与证明一个数列是等比数列的常用方法 定义法 若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，n∈N*，q为常数且不为零)⇔数列{an}是等比数列 通项公 式法 若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)⇔数列{an}是等比数列 等比 中项法 若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔数列{an}为等比数列 构造法 在条件中出现an＋1＝kan＋b，kb(k－1)≠0的关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可 对点练4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1， 得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*. 又a1－1＝1≠0， 所以an－n≠0， 所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)，可知an－n＝4n－1， 于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n. 知识 1.等比数列的概念.2.等比中项.3等比数列的通项公式 方法 1.等比中项的应用策略：定义法. 2.等比数列的通项公式：公式法、方程(组)思想、整体思想.3.等比数列的判定与证明：定义法、等差中项法、通项公式法、构造法 易错 误区 1.在等比数列的定义中，应该把握好三个关键：即“第二项起”、“后一项与前一项的比”、“同一个常数”．同时在证明中应注意验证“第一项”也满足条件.2.x，G，y成等比数列⇒G2＝ab，但G2＝ab⇒/ x，G，y成等比数列 学生用书↓第28页 1．(多选)下面各数列一定是等比数列的有(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1，－2，－4，－8 B．1，2，3，4 C．x，x，x，x D．，，， 答案：AD 解析：根据等比数列的定义，A、D是等比数列，B不是等比数列，C中x可能为0，故C不一定是等比数列．故选AD． 2．(2024·安徽芜湖高二质量监控)等比数列中，a1＝2，a2·a3＝32，则a4为(　　) A． 2 B． 4 C． 8 D． 16 答案：D 解析：设数列的公比为q，依题意解得q＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.a4＝24＝16.故选D． 3．(2024·湖北新高考协作体联考)若b≠0，则“b＝”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由b＝，得b2＝ac，又b≠0，所以a，b，c成等比数列．若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，所以b＝±，所以“b＝”是“a，b，c成等比数列”的充分不必要条件．故选A． 4．已知数列{an}满足an＋1＝λan＋2，若{an＋3}是等比数列，则公比λ＝________． 答案： 解析：因为{an＋3}是等比数列，an＋1＝λan＋2，所以an＋1＋3＝λ(an＋3)，即an＋1＝λan＋3λ－3，所以3λ－3＝2，所以λ＝. 课时测评7　等比数列的概念及通项公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知数列的通项公式为an＝3×n，则数列是(　　) A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 答案：A 解析：因为a1＝1，＝＝，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．故选A． 2．(2024·北京丰台高二期末)已知等比数列{an}满足a1＝－1，a4＝8，则a7等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．32 B．－32 C．64 D．－64 答案：D 解析：法一：由题意知，a4＝a1q3＝－q3＝8，所以q＝－2，所以a7＝a1q6＝－(－2)6＝－64.故选D． 法二：由题意知，a4是a1，a7 的等比中项 ，所以a＝a1×a7 ，所以 a7＝－64.故选D． 3．在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是(　　 ) A．1 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 答案：C 解析：法一：由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，所以q＝－1，或q＝2.故选C． 法二：因为a5＝a4q，a6＝a4·q2，所以由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，所以q＝－1，或q＝2.故选C． 4．已知a，b，c均为正数，若a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c成等比数列，且公比为q，则q3＋q2＋q的值为(　　 ) A．0 B．1 C．3 D．不确定 答案：B 解析：依题意，有q3＋q2＋q＝＋＋＝1.故选B． 5．(多选)下列说法中不正确的是(　　 ) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 答案：ABD 解析：对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A不正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选ABD． 6．(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是(　　 ) A．q>1⇒{an}为递增数列 B．{an}为递增数列⇒q>1 C．0<q<1⇔{an}为递减数列 D．q>1⇒/ {an}为递增数列且{an}为递增数列⇒/ q>1 答案：ABC 解析：若a1＝－2，q＝2>1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，故A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…是递增数列，则q＝<1，故B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈(0，1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，故C不正确．故选ABC． 7．(开放题)(2024·北京丰台高二期中)等比数列满足如下条件：①a1>0；②单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式an＝________． 答案：2n(答案不唯一) 解析：满足上述所有条件的一个数列的通项公式an＝2n. 8．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为____________． 答案：80，40，20，10 解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，所以q5＝，所以q＝.所以这4个数依次为80，40，20，10. 9．已知a，1，b成等差数列，a2，1，b2成等比数列，则＝________． 答案：1或 解析：因为a，1，b成等差数列，所以a＋b＝2.又因为a2，1，b2成等比数列，所以a2b2＝1，所以ab＝±1，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝2或6，所以＝1或＝. 10．(10分)在各项均为负数的数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？(6分) 解：(1)因为2an＝3an＋1， 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列， 又a2·a5＝， 所以a＝，由于各项均为负， 故a1＝－，an＝－(n∈N*)． (2)设an＝－，则－＝－，＝，所以n＝6， 所以－是该数列的项，为第6项． (11—13每题5分，共15分) 11．(多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为(　　) A．－ B．－2 C．1 D．－1 答案：AC 解析：由题意知2a3＝a1＋a2，所以2a1q2＝a1＋a1q，又a1≠0，则2q2－q－1＝0，解得q＝1，或－，故选AC． 12．设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A．8 B．4 C．1 D． 答案：B 解析：因为是5a与5b的等比中项，则()2＝5a·5b，所以a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B． 13．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于__________． 答案：11 解析：因为am＝a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，所以－q10＝－qm－1，所以10＝m－1，所以m＝11. 14．(16分)已知在数列{an}中，a1＝1且2an＋1＝6an＋2n－1(n∈N*)． (1)求证：数列为等比数列；(6分) (2)求数列{an}的通项公式．(10分) 解：(1)证明：因为2an＋1＝6an＋2n－1(n∈N*)，所以an＋1＝3an＋n－， 所以＝＝＝3. 因为a1＋＝1＋＝， 所以为等比数列，首项为，公比为3. (2)由(1)得，an＋＝×3n－1＝×3n， 所以an＝×3n－. 15．(7分)(新情境)如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为(　　 ) A． B． C． D． 答案：C 解析：第一列数构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝.故选C． 16．(7分)(多选)(新定义)在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比．下列说法正确的是(　　 ) A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 答案：BCD 解析：对于等差数列{an}，考虑an＝1，an＋1＝1，an＋2＝1，无意义，故A错误；若等差比数列的公差比为0，＝0，则an＋2－an＋1＝0，则an＋1－an＝0与题目矛盾，故B正确；若an＝－3n＋2，则＝＝＝3，数列{an}是等差比数列，故C正确；若等比数列是等差比数列，则an＝a1qn－1，q≠1，＝＝＝q，故D正确．故选BCD． 学科网（北京）股份有限公司 $$