4.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质及实际应用 [学习目标] 知识 层面 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，能运用等差数列的性质简化计算．　 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题. 素养 层面 通过等差数列性质的应用，培养数学运算、逻辑推理的素养；通过解决与等差数列通项有关的应用问题，提升数学建模的素养. 知识点一　等差数列的性质 问题1.如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 提示：由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d. 问题2.若数列{an}是等差数列，公差为d，如果m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，那么am＋an与ap＋aq有什么样的数量关系？ 提示：由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，所以am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq. 1．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)． (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 2．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq． 特别地，①若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap． ②在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…. ③推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az．该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． [微思考]　若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？ 提示：不一定．如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4. 学生用书↓第14页 (1)(2024·陕西西安月考)已知{an}是等差数列，若a15＝8，a60＝20，则a75＝________． (2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝________． 答案：(1)24　(2) 14 解析：(1)法一：(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d，则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，所以d＝＝＝，所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 法二：(基本量法) 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. 法三：(利用隔项成等差数列)因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24. 法四：(函数法)已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得解得所以a75＝75×＋4＝24. (2)因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. [变式探究]　(变条件)在本例(1)中改变条件，在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 解：法一：设数列{an}的公差为d. 则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d) ＝4a10＝40， 所以a10＝10. 法二：因为a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，所以a10＝10. 规律方法 1.灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担． 2．等差数列运算的两种常用思路 (1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量； (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 对点练1.(1)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝77，则公差d＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B． C． D． (2)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________． 答案：(1)D　(2)8 解析：(1)因为a4＋a7＋a10＝3a7＝17，所以a7＝.因为a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，所以a9＝7，所以公差d＝＝＝.故选D． (2)法一：因为{bn}为等差数列，所以可设其公差为d，则d＝＝＝2，所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.所以b8＝2×8－8＝8. 法二：由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. 知识点二　由等差数列构造新等差数列 问题3.若数列{an}为等差数列，则数列是等差数列吗？ 提示：设数列{an}的公差为d，则(3an＋1－2)－(3an－2)＝3(an＋1－an)＝3d，所以数列是以3a1－2为首项，以3d为公差的等差数列． 问题4.若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 提示：设新数列为{bn}，公差为d′，则有b1＝a1，b5＝a2，所以b5－b1＝a2－a1＝d，故有4d′＝d，所以d′＝d. 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列． 角度1　等差数列的构造 (1)由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　) A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 (2)(链教材P25T6)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0 B．37 C．100 D．－37 答案：(1)C　(2) C 解析： (1)因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．故选C． (2)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.故选C． 学生用书↓第15页 规律方法 对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： 1．定义：an－an－1(n≥2)是否为常数． 2．其通项公式是否为关于n的一次函数． 对点练2.(1)已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A．7 B．5 C．3 D．1 (2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 答案：(1)D　(2)35 解析：(1)由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝2×2－3×1＝1.故选D． (2)因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35. 角度2　等差数列的公共项 (链教材P25T8)等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…均为40项，求它们的公共项构成的数列{cn}的通项公式． 解：法一(观察归纳法)：{an}：2，5，8，…的公差为3；{bn}：1，5，9，…的公差为4； 观察归纳可知他们的相同项是以5为首项，12为公差(3，4的最小公倍数)的等差数列， 所以cn＝5＋12(n－1)＝12n－7，a40＝3×40－1＝119，b40＝4×40－3＝157，cn≤119⇒n≤10， 所以{cn}的通项公式为cn＝12n－7(n≤10且n∈N*)． 法二(引入参变量法)：an＝3n－1(n≤40且n∈N*)；bm＝4m－3(m≤40且m∈N*)； 令an＝bm⇔3n＝2(2m－1)，2m－1必为3的倍数(或n必为2的倍数)，设2m－1＝3k(因左边为奇数，k必为奇数)，再设k＝2t－1， m＝3t－1，n＝4t－2(引入参变量t)， ⇒⇒≤t≤10， 即t＝1，2，3，…，10. ct＝a4t－2＝b3t－1＝12t－7(t≤10)， 即cn＝12n－7(n≤10且n∈N*)． 规律方法 求解两个等差数列公共项的方法 1．观察归纳法：通过观察归纳得到公共项的首项和公差，进而可得出公共项的通项公式，然后用通项公式求解． 2．引入参变量法：(1)分别写出两个等差数列的通项公式(变量分别用m，n表示)；(2)由两个通项相等得到m，n之间的关系式；(3)由m，n的关系式得到m或n的特点(如是2的倍数，3的倍数)；(4)依据m或n的特点引入参变量k；(5)依据k的特点再引入参变量求解． 对点练3.(1)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．15 B．16 C．17 D．18 (2)(2024·湖北武汉高二期末)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则b2 024＝(　　) A．4 044 B．4 046 C．4 048 D．4 050 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题意知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝2＋(n－1)×12＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16.故选B． (2)设数列的公差为d1，依题意知，b1＝a1，b5＝a2，b5－b1＝a2－a1＝8＝4d1，故d1＝2，故bn＝2＋(n－1)×2＝2n，则b2 024＝2×2 024＝4 048.故选C． 应用一　等差数列的设法与求解 已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 解：法一：设这三个数分别为a，b，c， 则解得 故这三个数分别为4，6，8. 法二：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知可得 由①得a＝6，代入②得d＝±2. 因为该数列是递增的， 所以d＝2， 所以这三个数分别为4，6，8. 规律方法 等差数列的常见设项方法和技巧 1．通项法：当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式． 2．对称项设法：(1)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项，7项，…时，可同理设出； (2)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项，8项，…时，可同理设出； (3)对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为常数． 学生用书↓第16页 对点练4.四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1， 所以d＝1，或d＝－1. 又这四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 应用二　等差数列的实际应用 (链教材P16例3)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 请你根据提供的信息回答问题． (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝an·bn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 所以得a2＝1＋0.2＝1.2； 由b1＝30，b6＝10，得 所以得b2＝30－4＝26. 所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只． (2)因为c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， 所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． 规律方法 解答数列实际应用问题的基本步骤 对点练5.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)， 所以每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损． 所以由an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损． 知识 1.等差数列的性质.2.由等差数列构造新等差数列 方法 1.等差数列运算：基本量法、巧用性质法、方程思想. 2.函数性质问题：整体代换思想. 3.求解两个等差数列公共项：观察归纳法、引入参变量法. 4.三项或四项等差数列的设法：对称项设法. 5.解答数列实际应用问题的基本步骤：审题、建模、判型、求解、还原 易错 误区 1.对等差数列的性质不理解而致错.2.不注意运用性质而出错或解法繁琐 学生用书↓第17页 1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3 B．－6 C．4 D．－3 答案：B 解析：由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝＝－6.故选B． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2an}是(　　) A．公差为d的等差数列 B．公差为2d的等差数列 C．非等差数列 D．以上说法均不正确 答案：B 解析：因为2an＋1－2an＝2(an＋1－an)＝2d(n∈N*)，所以数列{2an}是公差为2d的等差数列．故选B． 3．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为(　　 ) A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺 答案：D 解析：设等差数列为{an}，冬至，小寒，大寒，…，芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得，a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，又a12＝4.5，所以d＝＝＝－1.所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺)．故选D． 4．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于________． 答案：3 解析：由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝(a4＋a5)－a7＝15－12＝3. 课时测评4　等差数列的性质及实际应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．5 B．6 C．8 D．10 答案：A 解析：由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又因为a1＋a9＝10，即2a5＝10，所以a5＝5.故选A． 2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．5 B．6 C．16 D．32 答案：B 解析：因数2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，所以{an}为等差数列，故数列a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，…，a6＋a7＋a8构成一个新的等差数列，其首项为1，公差为1，所以a6＋a7＋a8＝1＋(6－1)×1＝6.故选B． 3．(2024·浙江温州高二期中改编)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 024＋b2 024＝(　　) A．4 045 B．4 047 C．4 049 D．4 051 答案：B 解析：由于{an}，{bn}均为等差数列，故数列{an＋bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a2 024＋b2 024＝1＋2 023×2＝4 047.故选B． 4．(2024·北京东城高二期末检测)哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名．已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为(　　) A．2041年～2042年 B．2061年～2062年 C．2081年～2082年 D．2101年～2102年 答案：B 解析：由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1 682，公差为76的等差数列，则等差数列的通项公式为an＝1 682＋76(n－1)＝76n＋1 606，所以a5＝76×5＋1 606＝1 986，a6＝76×6＋1 606＝2 062，所以可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2 062年．故选B． 5．(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　) A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝0 答案：CD 解析：由题意得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a51＝0，所以a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.故选CD． 6．(多选)三个互不相等的数成等差数列，较小的数的平方等于另外两个数的乘积，已知这三个数的和等于6，则此三个数可以为(　　 ) A．－4，2，8 B．－2，2，6 C．8，2，－4 D．6，2，－2 答案：AC 解析：设三个数分别为a－d，a，a＋d(d>0)，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝6，所以a＝2.所以(2－d)2＝2(2＋d)，解得d＝6，因此，三个数分别为－4，2，8或8，2，－4.故选AC． 7．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________． 答案：132 解析：在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.所以a45＝33＋3×33＝132. 8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，乙所得为________钱． 答案： 解析：由题意，设这五人所得钱分别为a＋2d，a＋d，a，a－d，a－2d，则a＋2d＋a＋d＝a＋a－d＋a－2d，且5a＝5，所以a＝1，d＝，所以乙所得为a＋d＝(钱)． 9．(链教材P16例4)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若数列{an}中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是___________________________ _____________________________________________． 答案：－ 解析：设新的等差数列的公差为d，由a1＝8，a5＝2，得a3＝＝＝5，a2＝＝＝，所以d＝＝＝－. 10．(10分)四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数． 解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，得 解得或 又因为四个数成递减等差数列， 所以d<0，所以d＝－， 故所求的四个数为11，8，5，2. (11—13每题5分，共15分) 11．(新情境)1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 023这2 023个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于(　　 ) A．190 B．211 C．232 D．253 答案：A 解析：由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，则an－1是21的倍数，即an－1＝21(n－1)，即an＝21n－20，所以a10＝21×10－20＝190.故选A． 12．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．{|an|} B．{an＋1－an} C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n} 答案：BCD 解析：数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，故A不成立；若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，故B成立；若{an}的公差为d，则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，故C成立；(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，故D成立．故选BCD． 13．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝________． 答案：1 解析：由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以＋＝＝＝＝1. 14．(10分)已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．(6分) 解：(1)因为a1＋a2＋a3＝12，即3a2＝12， 所以a2＝4. 设公差为d，则a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d， 所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. 所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列， 所以bn＝4＋4(n－1)＝4n. 15．(5分)(2024·河北邯郸高二期末)若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则公差d＝________，|m－n|＝________． 答案：　 解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2.再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，因为a1＝，所以d＝.所以a2＝＋＝，a3＝＋1＝，a4＝＋＝.所以|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝. 16．(15分)(新角度)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列． (1)若a20＝40，求d；(4分) (2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围；(5分) (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，依此类推，把已知数列推广为无穷数列，请对这个数列作简单概述．(6分) 解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 故a30＝10， 当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列． 4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习目标] 知识 层面 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．　 2.了解等差数列的前n项和公式与二次函数的关系. 素养 层面 通过掌握等差数列的前n项和公式及其应用，培养数学运算、逻辑推理的素养. 知识点一　等差数列的前n项和公式 问题1.据说，200多年前，高斯的算术老师提出了一个问题：1＋2＋3＋4＋…＋100＝？ 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： (1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？ 提示：对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5 050，可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51，这就是上一节学过的性质的应用，它使不同数的求和问题转化为相同数(即101)的求和，从而简化了运算． 问题2.对于一般的等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d.如何求其前n项和Sn? 提示：利用高斯算法． ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 等差数列的前n项和公式 等差数列的前 n项和公式 Sn＝或Sn＝na1＋d 推导方法 倒序相加法 学生用书↓第18页 推导 过程 设等差数列的前n项分别为a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2＋an－1＋an，① 又Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a3＋a2＋a1.② ①②两边分别相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…＋(an－1＋a2)＋(an＋a1)＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋(a1＋an) ＋…＋(a1＋an)＝n(a1＋an)，所以Sn＝ [微思考]　对于这两个求和公式，各有怎样的特点？ 提示：公式Sn＝反映了等差数列中的前n项和与a1，an，n的关系；公式Sn＝na1＋d反映了等差数列中的前n项和与a1，d，n的关系． (链教材P21例6)已知数列 是等差数列． (1)若a6＝10，S5＝5，求a1和Sn； (2)若a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12； (3)若a1＝－2 022，S6－2S3＝18，求d，S2 024； (4)若a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求n. 解：(1)解得 所以Sn＝na1＋d＝－5n＋×3＝n2－n. (2)因为Sn＝n×＋×＝－15，整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12，或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (3)设等差数列{an}的公差为d. 因为a1＝－2 022，S6－2S3＝18， 所以6a1＋·d－6a1－2×·d＝18， 整理可得9d＝18，解得d＝2. 则S2 024＝2 024×(－2 022)＋×2＝2 024. (4)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， 所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 又因为Sn＝＝210，所以n＝＝14. 规律方法 等差数列前n项和有关的基本计算方法与技巧 1．公式法(基本量法)：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量Sn，n，a1，an，d，这五个量可以“知三求二”，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题． 2．性质法：等差数列前n项和Sn＝与等差数列性质“若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性． [注意]　解题时要注意整体代换的思想． 对点练1.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若Sn＝242，求n. 解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d. 则 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n. (2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得方程242＝12n＋×2， 即n2＋11n－242＝0， 解得n＝11，或n＝－22(舍去)． 故n＝11. 知识点二　等差数列的前n项和的函数特性 问题3.在等差数列的前n项和Sn＝na1＋d中，Sn与n是以前学过的哪一个函数关系？ 提示：等差数列前n项和Sn＝na1＋d整理得，Sn＝n2＋n.当d＝0时，Sn＝na1，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数． 等差数列{an}的前n项和公式具有二次函数结构，可以写成Sn＝An2＋Bn，数列{an}的公差为2A． 特别地，当A＝0时，数列{an}是常数列． [微提醒]　Sn＝An2＋Bn＋C，若C＝0，则数列{an}是等差数列，此时首项为A＋B，公差为2A．若C≠0，则数列{an}不是等差数列． 学生用书↓第19页 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 解：当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式， 故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列． [变式探究]　(变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． 解：因为Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1] ＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列． 规律方法 利用等差数列前n项和公式判定等差数列的步骤 第一步：由Sn求an； 第二步：判定an－an－1(n≥2)是否是同一个常数． 对点练2.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解：当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， 所以数列{an}的通项公式是an＝ 因为a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2， 所以数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， 所以{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列． 求数列{|an|}的前n项和 (2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列的公差为d， 由题意可得 即解得 所以an＝13－2(n－1)＝15－2n. (2)因为Sn＝＝14n－n2， 令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N*， 当n≤7时，则an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2； 当n≥8时，则an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an) ＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2×(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98. 综上所述，Tn＝ 规律方法 求数列{|an|}的前n项和的步骤 第一步：确定通项公式an； 第二步：根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负； 第三步：去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，以直接利用数列{an}的前n项和公式； 第四步：将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式． 对点练3.(2024·黑龙江大庆高二期末)已知数列的前n项和为Sn，若Sn＝2n2－19n. 学生用书↓第20页 (1)求证：数列是等差数列； (2)若bn＝|an|，求数列的前n项和Tn. 解：(1)证明：因为Sn＝2n2－19n，① 所以n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－19(n－1)＝2n2－23n＋21，② 由①②相减可得，an＝4n－21，n≥2， 当n＝1时，an＝4n－21也满足题意， 故的通项公式为an＝4n－21. 所以n≥2时，an－1＝4(n－1)－21＝4n－25，所以n≥2时，an－an－1＝4总成立， 所以数列是等差数列． (2)因为bn＝，所以Tn＝＋＋＋…＋， 当an＝4n－21<0时，n≤5；当an＝4n－21>0时，n≥6， 由(1)中结论可知，当n≤5时，Tn＝－a1－a2－…－an＝－Sn＝－2n2＋19n； 当n≥6时，Tn＝－S5＋(Sn－S5)＝Sn－2S5＝2n2－19n＋90， 从而Tn＝ 知识 1.等差数列的前n项和公式.2.等差数列的前n项和的函数特性 方法 1.等差数列的前n项和公式推导：倒序相加法和分类讨论的思想.2.等差数列运算：公式法(基本量法)、巧用性质法、方程思想.3.等差数列的前n项和的函数特征：函数思想.4.求{|an|}的前n项和：分类讨论思想 易错 误区 1.由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.2.求{|an|}的前n项和时，一是易忽视分类讨论，二是最后结果未分段表示 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B． C．2 D．3 答案：C 解析：因为S3＝＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝＝2.故选C． 2．(2024·安徽临泉联考)在等差数列{an}中，若a3＋2a5＋a9＝10，则该数列的前10项和S10＝(　　) A．20 B．24 C．25 D．28 答案：C 解析：由a3＋2a5＋a9＝10，得2a5＋2a6＝10，即a5＋a6＝5，所以S10＝＝＝5(a5＋a6)＝25.故选C． 3．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则下列正确的是(　　) A．a1＝－2 B．a1＝2 C．d＝4 D．d＝－4 答案：AC 解析：因为所以故选AC． 4．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________． 答案：18 解析：由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列， 公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 课时测评5　等差数列的前n项和公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列公式中不是等差数列前n项和的是(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．Sn＝ B．Sn＝a1＋(n－1)d C．Sn＝na1＋d D．Sn＝n2＋n 答案：B 解析：由等差数列的前n项和公式得A、C、D正确．故选B． 2．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于(　　 ) A．10 B．15 C．20 D．30 答案：C 解析：因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍去)．故选C． 3．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　 ) A． B． C． D． 答案：C 解析：由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3(n－1)＝3n－3，n≥2，所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝.故选C． 4. (2023·全国甲卷)记Sn为等差数列的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A． 25 B． 22 C． 20 D． 15 答案：C 解析：法一：设等差数列的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20.故选C． 法二：a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.故选C． 5．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝72，a7＝10，则(　　 ) A．an＝n＋3 B．an＝2n－4 C．Sn＝n2＋n D．Sn＝n2－n 答案：AC 解析：因为S9＝72，a7＝10， 所以解得所以an＝4＋(n－1)×1＝n＋3，则Sn＝＝n2＋n.故选AC． 6．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn图象的是(　　 ) 答案：ABC 解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A、B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．故选ABC． 7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________． 答案：27 解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27. 8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝272，则2a10－a11＝________． 答案：16 解析：因为数列{an}是等差数列，所以S17＝17a9＝272，所以a9＝16，则2a10－a11＝(a9＋a11)－a11＝a9＝16. 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝________，T30＝________． 答案：24　650 解析：因为Sn＝10n－n2，所以当n＝1时，a1＝S1＝9.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝11－2n.又a1＝9适合上式，所以an＝11－2n.当n≤5时，an>0，bn＝an；当n>5时，an<0，bn＝－an＝2n－11.故T4＝S4＝10×4－42＝24，T30＝S5－(a6＋a7＋…＋a30)＝2S5－S30＝2(10×5－52)－10×30＋302＝650. 10．(10分)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn. (1)设Sk＝2 550，求a和k的值；(4分) (2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．(6分) 解：(1)由已知得，2×4＝a－1＋2a，解得a＝3， 所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝2， 因为Sk＝2 550，所以2k＋×2＝2 550， 即k2＋k－2 550＝0， 解得k＝50，或k＝－51(舍去)，所以a＝3，k＝50. (2)由(1)知，Sn＝2n＋×2＝n2＋n，bn＝＝＝n＋1， 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， 所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n. (11—13每题5分，共15分) 11．(新角度)已知数列中，an＝，则S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝(　　) A．96 B．97 C．98 D．99 答案：C 解析：S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝＋＋…＋＋①，S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1＝＋＋…＋＋②，①＋②，得2S＝＋＝＋＋…＋＋＝2×98，所以S＝98.故选C． 12．(多选)(2024·山东日照高二联考)已知{an}是等差数列，其公差为d，前n项和为Sn，a10＝10，S10＝70，则下列结论正确的是(　　) A．a1＝4 B．d＝ C．数列{an}是递减数列 D．数列{Sn}是等差数列 答案：AB 解析：由题意知，解得故A、B正确；因为d>0，所以数列{an}是递增数列，故C错误；Sn－Sn－1＝an＝4＋(n－1)×＝n＋(n≥2)，不是常数，故数列{Sn}不是等差数列，故D错误．故选AB． 13．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，现有下列4个命题： ①若S8<S9，则S9<S10； ②若S11＝0，则a2＋a10＝0； ③若S13>0，S14<0，则中S7最大； ④若S2＝S10，则使Sn>0的n的最大值为11. 其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③④ 解析：若S8<S9，则a9>0，不能推出a10>0，即不能推出S9<S10，故①错误；若S11＝0，则S11＝＝0，即a1＋a11＝0，则a2＋a10＝a1＋a11＝0，故②正确；若S13>0，S14<0，则S13＝＝13a7>0，S14＝＝<0，所以a7>0，a8<0，则中S7最大，故③正确；若S2＝S10，则2a1＋d＝10a1＋45d，即2a1＋11d＝a1＋5d＋a1＋6d＝a6＋a7＝0，因为首项为正数，则公差小于0，则a6>0，a7<0，则S11＝＝11a6>0，S12＝＝6(a6＋a7)＝0，则使Sn>0的n的最大值为11，故④正确．故答案为②③④. 14．(10分)已知在各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn满足8Sn＝(an＋2)2. (1)求证：数列{an}是等差数列；(4分) (2)若bn＝an－30，求数列的前n项和Tn.(6分) 解：(1)证明：由8Sn＝(an＋2)2，得当n＝1时，8a1＝(a1＋2)2，解得a1＝2； 当n≥2时，8Sn－1＝(an－1＋2)2，所以8Sn－8Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2， 所以8an＝a－a＋4an－4an－1，整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝4， 所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)知，an＝2＋4(n－1)＝4n－2， 因为bn＝an－30，所以bn＝2n－31， 因为bn＋1－bn＝2，所以是等差数列． 又b1＝－29， 所以Tn＝＝＝n2－30n. 15．(5分)(新定义)把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的数是________． 答案：35 解析：设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，则由 解得 16．(15分)(开放题)已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn.数列{bn}为等差数列且满足b2＝12，b5＝30，再从①a＋an＝2Sn，②a1＝9，a2＝2，当n≥2时，an＋1＝an＋2这两个条件中任选一个作为已知条件，求解下列问题： (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(5分) (2)若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立，求实数k的取值范围．(10分) 解：方案一　选条件①. (1)由a＋an＝2Sn， 得a＋an－1＝2Sn－1(n≥2)， 两式相减可得a－a＋an－an－1＝2an， 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0. 又an>0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1， 所以数列{an}为等差数列． 当n＝1时，a1＝1， 所以an＝a1＋(n－1)×1＝n， 所以Sn＝＝. (2)因为数列为等差数列，设公差为d， 由b2＝12，b5＝30得， 所以解得b1＝d＝6， 所以bn＝6＋6(n－1)＝6n. 若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立， 则k·≥6n，即k≥＝对任意n∈N*恒成立， 所以k≥6. 方案二　选条件②. (1)因为当n≥2时，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2， 所以当n≥2时，数列{an}为等差数列， 又a2＝2，所以当n≥2时，an＝a2＋(n－2)×2＝2n－2，所以an＝ Sn＝9＋＝n2－n＋9. (2)因为数列为等差数列，设公差为d， 由b2＝12，b5＝30得， 所以解得b1＝d＝6， 所以bn＝6＋6(n－1)＝6n. 若对任意n∈N*，不等式kSn≥bn恒成立， 则k≥＝对任意n∈N*恒成立． 因为n＋－1≥2－1＝5，当且仅当n＝3时取等号， 所以≤，所以k≥. 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [学习目标] 知识 层面 1.理解等差数列前n项和的性质并学会运用．　2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 素养 层面 通过对等差数列前n项和的性质的应用，培养数学运算、逻辑推理的素养. 知识点一　等差数列前n项和的性质 问题1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n的关系吗？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列． 问题2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则数列是等差数列吗？ 提示：由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)，所以数列是以a1为首项，以为公差的等差数列，且点(n＝1，2，3，…)共线． 学生用书↓第21页 问题3.公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？ 提示：(1)若数列共有2n项，则S2n＝＝＝n(an＋an＋1)， S奇＝＝＝nan，S偶＝＝＝nan＋1. (2)若数列共有(2n＋1)项，则S2n＋1＝＝＝(2n＋1)an＋1，S奇＝＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝＝＝nan＋1. 等差数列前n项和的性质 性质1： “片段和” 性质 (1)若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d． (2)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，公差为 性质2： “奇偶项” 性质 (1)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)． (2)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0) 性质3： 其它性质 (1)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． (2)若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·. [微提醒]　(1)上述性质可用于小题，大题中要先证再用．(2)性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列，不能误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列． (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若－＝100，则d的值为(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B． C． D． (2)(2024·宁夏中宁月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为(　　 ) A．0 B．2　 C．3 D．4 (3)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：(1)A　(2)B　(3)C 解析：(1)根据Sn＝，得－＝＝100，则d＝1.故选A． (2)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)，解得Sn＝2.故选B． (3)由题知S偶－S奇＝5d，所以d＝＝3.故选C． 规律方法 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1．在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求是基本解法，但有时运算量大些． 2．等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． 3．设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 对点练1.(1)(2024·陕西西安月考)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为165，所有的偶数项之和为150，则n＝________． (2)(2024·江苏镇江高二期中)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 022，－＝6，则S2 024＝________． 答案：(1)10　(2)2 024 解析：(1)因为等差数列共有2n＋1项，所以由＝得，＝，解得n＝10. (2)由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 023d＝－2 022＋2 023＝1，所以S2 024＝1×2 024＝2 024. 对点练2.(2024·湖北鄂南高二检测)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解：法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为S10＝100，S100＝10， 所以 解得 所以S110＝110a1＋d ＝110×＋×＝－110. 法二：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，所以该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， 所以前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110. 法三：由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，b10＝＝， 则d＝(b10－b1)＝＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1， 所以S110＝－110. 法四：直接利用性质若Sn＝m，则Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110. 学生用书↓第22页 知识点二　等差数列前n项和的最值 问题4.根据上节课所学，若一个数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋5n，你能说明数列{an}的单调性吗？该数列的前n项和有最值吗？ 提示：由Sn＝－n2＋5n求得an＝－2n＋6，d＝－2<0，故数列{an}是递减数列，由an＝－2n＋6知，a1>a2>0，a3＝0，0>a4>a5>…，则该数列的前n项和Sn在n＝2或n＝3时取到最大值． 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． [微思考]　在求等差数列前n项和的最值中，Sn取得最大或最小值时的n唯一吗？是否也一定在顶点处取到呢？ 提示：由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一(例如人教A版教材P23例9在n＝5，或n＝6时取最大值)，同时也不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取正整数的点处取到最值． (链教材P23例9)数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2){an}的前多少项和最大． 解：(1)法一(公式法)： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝33n－n2－33(n－1)＋(n－1)2＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二(结构特征法)： 由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2， 所以an＝32＋(n－1)×(－2)＝34－2n. (2)法一(公式法)： 令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零，又a17＝0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二(函数性质法)： 由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝， 距离最近的整数为16，17. 由Sn＝－n2＋33n的图象可知： 当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． [变式探究] 1．(一题多解)(变条件)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝25，S9＝S17”，求{an}的前多少项和最大及最大和的值． 解：法一：因为S9＝S17，a1＝25， 所以9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 由得 又因为n∈N*，所以当n＝13时，可得Sn有最大值169. 法三：因为S9＝S17，所以a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1＞0，所以d＜0.所以a13＞0，a14＜0. 所以当n＝13时，可得Sn有最大值169. 法四：因为S9＝S17，所以二次函数对称轴为n＝＝13，且开口方向向下， 所以当n＝13时，Sn取得最大值169. 2．(变条件，变设问)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－11，a3＋a7＝－6”，求Sn的最小值． 解：由题设，知解得d＝2， 则Sn＝－11n＋×2＝n2－12n， 所以当n＝6时，Sn取得最小值，Sn的最小值为－36. 规律方法 求等差数列前n项和的最值的方法 1．二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2．邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 对点练3.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n. (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是不是等差数列； (2)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值． 解：(1)当n＝1时，有a1＝S1＝－28. 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 又因为4×1－32＝－28，所以n＝1时an＝4n－32也成立， 因此数列的通项公式为an＝4n－32. 因为an＋1－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4， 所以{an}是等差数列． (2)法一：因为Sn＝2n2－30n＝2(n2－15n)＝2－， 又因为n是正整数，所以当n＝7或8时，Sn最小，最小值是2×72－30×7＝－112. 法二：由an＝4n－32可知数列{an}是递增的等差数列，而且首项a1＝－28<0. 令an≤0，可得4n－32≤0，解得n≤8，而且a8＝0. 由此可知，n＝7或8时，Sn最小，最小值是＝－112. 学生用书↓第23页 等差数列前n项和的实际应用 (链教材P23例8)从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，以后每天售出的该款服装都比前一天多15件，直到4月12日销售量达到最大，然后每一天售出的该款服装都比前一天少9件． (1)记从4月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1≤n≤30，求an关于n的函数关系式； (2)求4月份该款服装的总销售量； (3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，该款服装在社会上就开始流行；当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则不再流行．试问该款服装在社会上流行是否超过10天？请说明理由． 解：(1)设从4月1日起该款服装日销售量构成数列. 由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列， 所以an＝10＋(n－1)×15＝15n－5(1≤n≤12，n∈N*)． 而a13，a14，a15…，a30是首项为a13＝a12－9＝166，公差为－9的等差数列， 所以an＝166＋(n－13)×(－9)＝－9n＋283(13≤n≤30，n∈N*)． 所以an＝ (2)4月份该款服装的总销售量为＋ ＝＋＝2721(件)． (3)4月1日至4月12日的销售总量＝＝1 110(件)<1 200(件)， S13＝S12＋a13＝1 110＋166＝1 276(件)>1 200(件)， 故4月13日前该款服装在社会上还没有流行，但日销量不低于100件， 由－9n＋283<100，得n>. 故从4月21日开始该款服装在社会上不再流行，即该款服装在社会上流行没有超过10天． 规律方法 应用等差数列解决实际问题的一般思路 对点练4.(1)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如象招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．9 B．16 C．18 D．20 (2)(链教材P55T3(2))《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为________． 答案：(1)B　(2) 解析：(1)根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，设该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程．故选B． (2)设5个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为d，则(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，S5＝100 ，所以解得a1＝，d＝. 知识 1.等差数列前n项和的性质.2.等差数列前n项和的最值 方法 1.等差数列前n项和的性质：简化运算，整体代换思想.2.等差数列前n项和的最值：二次函数法、邻项变号法、性质法、数形结合思想.3. 解决等差数列前n项和实际应用问题的思路：建模、解模、还原 易错 误区 1.对性质不熟导致运算繁琐.2.由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取正整数的点处取到最值 1．(2024·九省适应性测试)记等差数列的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． 120 B． 140 C． 160 D． 180 答案：C 解析：因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160.故选C． 2．(2024·四川成都高二月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．63 B．45 C．36 D．27 答案：B 解析：由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9＝3S6－3S3，又S3＝9，S6＝36，所以S9＝3×36－3×9＝81，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝81－36＝45.故选B． 3．(2024·天津滨海高二期末)若数列{an}的通项公式为an＝45－3n，则该数列的前n项和取得最大值时，n＝(　　) A．13 B．14 C．13或14 D．14或15 答案：D 解析：由an＝45－3n＝0，得n＝15，又a1＝42，a2>0，…，a14>0，故n＝14，或15时，Sn取得最大值．故选D． 4．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　　 ) A．10 B．100 C．110 D．120 答案：B 解析：因为{an}是等差数列，a1＝1，所以也是等差数列且首项为＝1.又－＝2，所以的公差是1，所以＝1＋(10－1)×1＝10，所以S10＝100.故选B． 课时测评6　等差数列前n项和的性质及应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝12，S10＝48，则S15为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．84 B．108 C．144 D．156 答案：B 解析：由等差数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10也构成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108.故选B． 2．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于(　　 ) A．35 B．32 C．23 D．38 答案：A 解析：由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.故选A． 3．等差数列的前n项和为Sn，且S2 023>0，S2 024<0，则Sn取得最大值时，n＝(　　) A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．1 013 答案：C 解析：由S2 023>0，可得S2 023＝＝2 023a1 012>0，即a1 012>0.由S2 024<0，可得S2 024＝＝1 012(a1 012＋a1 013)<0，即a1 012＋a1 013<0，故a1 013<0，则数列是前1 012项为正数，从第1 013项开始为负数的递减数列，故Sn取得最大值时，n＝1 012.故选C． 4．(2024·福建莆田期中)已知等差数列的前n项和为Sn且S7＝7，S15＝75，则的前n项和为(　　) A．Tn＝＋ B．Tn＝－ C．Tn＝＋ D．Tn＝－ 答案：B 解析：设等差数列的公差为d，因为S7＝7，S15＝75，所以解得所以an＝－2＋(n－1)＝n－3，Sn＝＝，设bn＝＝，所以当n≥2时，bn－bn－1＝－＝，所以数列是等差数列，首项为－2，公差为.则其前n项和Tn＝＝＝－.故选B． 5．(多选)记Sn为等差数列的前n项和，则(　　) A．S6＝2S4－S2 B．S6＝3(S4－S2) C．S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列 D．，，成等差数列 答案：BCD 解析：由已知得Sn＝a1n＋，对于A，S6＝6a1＋15d，S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，所以2S4－S2＝6a1＋11d≠S6，故A错误；对于B，3(S4－S2)＝6a1＋15d＝S6，故B正确；对于C，根据片段和的性质即可得到，故C正确；对于D，根据成等差数列， 故D正确．故选BCD． 6．(多选)等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是(　　 ) A．d＞0 B．a1＜0 C．当n＝5时Sn最小 D．Sn＞0时n的最小值为8 答案：ABD 解析：由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d.又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A、B正确；因为Sn＝n2＋n＝n2－n，由n＝－＝可知，当n＝3，或n＝4时Sn最小，故C错误；令Sn＝n2－n＞0，解得n＜0或n＞7(n∈N*)，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确．故选ABD． 7．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________． 答案：10 解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．所以钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190，当n＝20时，S20＝210>200，所以当n＝19时，剩余钢管根数最少，为200－190＝10(根)． 8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是____________． 答案： 解析：由题意，当且仅当n＝8时，Sn有最大值，可知即解得－1<d<－. 9．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＋＝________． 答案： 解析：因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝＝. 10．(10分)某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解：设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元． 由题知，20个月贷款还清． 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝×20＝1 105(元)， 即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)． (11—13每题5分，共15分) 11．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：C 解析：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d，则＝a1＋d＝n＋a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即－＝D，＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，当n≥2时，上两式相减得：Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，即an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．故选C． 12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn<nSn＋1.若<－1，则(　　 ) A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8 C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7 答案：D 解析：由(n＋1)Sn<nSn＋1，得<，整理可得an<an＋1，所以等差数列{an}为递增数列．又<－1，所以a8>0，a7<0，所以当n≤7时，an<0；当n≥8时，an>0.所以Sn有最小值，最小值为S7.故选D． 13．(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n可以是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．6 答案：ABC 解析：＝＝＝＝＝＝＝7＋.当n＝1，2，3，5，11时，为整数，即当n＝1，2，3，5，11时，为整数．故选ABC． 14．(10分)已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________． (1)判断2 024是否是数列{an}中的项，并说明理由；(4分) (2)求Sn的最小值． 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．(6分) 解：若选①， (1)设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－17＋(n－1)×3＝3n－20. 令3n－20＝2 024，得n＝681∉N*， 所以2 024不是数列{an}中的项． (2)令an＝3n－20>0，解得n>， 所以当n≤6时，an<0. 故当n＝6时，Sn取到最小值， 为S6＝6a1＋15d＝－57. 若选②， (1)设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12. 令2n－12＝2 024，解得n＝1 018∈N*， 所以2 024是数列{an}中的项． (2)令2n－12>0，得n>6， 所以当n≤6时，an≤0. 故当n＝6，或n＝5时，Sn取到最小值， 为S5＝S6＝6×(－10)＋×2＝－30. 15．(5分)(2024·江苏连云港期末)风雨桥(如图①所示)是侗族最具特色的民间建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形．图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，…，AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，其中B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*.已知该风雨桥亭共5层，若A0B0＝8 m，B0B1＝0.5 m，则图②中的五个正六边形的周长总和为(　　) A．120 m B．210 m C．130 m D．310 m 答案：B 解析：由已知得AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn (n≤4且n∈N*)，B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝0.5 m，易知图②中五个正六边形的边长(单位：m)构成以a1＝8为首项，d＝－0.5为公差的等差数列.设数列(k∈N*，1≤k≤5)的前5项和为S5，则S5＝5a1＋×5×4×d＝5×8－×5×4×0.5＝35，所以图②中的五个正六边形的周长总和为6S5＝6×35＝210 m．故选B． 16．(15分)在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23. (1)求数列{an}的通项公式；(5分) (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．(10分) 解：(1)由an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)， 得an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44， 所以an＋2－an＝2. 又a2＋a1＝2－44＝－42，所以a2＝－19. 同理可得a3＝－21，a4＝－17. 由an＋2－an＝2可得a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝ (2)当n为偶数时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44] ＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－×44 ＝－22n＝(n－22)2－242， 故当n＝22时，Sn取得最小值－242. 当n为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44] ＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋×(－44) ＝－23＋－22(n－1) ＝－22n－＝(n－22)2－， 故当n＝21，或n＝23时，Sn取得最小值－243. 综上，当n为偶数时，Sn取得最小值－242；当n为奇数时，Sn取得最小值－243. 学生用书↓第24页 4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [学习目标] 知识 层面 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念、等比中项的意义．　2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题(判断、证明、计算等)．　3.体会等比数列与指数函数的关系． 素养 层面 通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养数学抽象、数学运算的素养. 知识点一　等比数列的概念 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”． 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……，依次排成一列数：－，，－，，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律． 提示：　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，＝，…；对于(3)，＝－，…；也有相同的取值规律． 等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 符号 语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) [微提醒]　(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)．(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项．(3)比必须是同一个常数．(4)等比数列中任意一项都不能为0.(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. (链教材P31练习T1)判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它们的公比： (1)1，，，，，…； (2)，，，，…； (3)1，0，1，0，1，0，…； (4)1，－4，16，－64，256，…. 解：(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为；(3)不是等比数列；(4)是等比数列，公比为－4. 学生用书↓第25页 规律方法 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参数的数列需要分类讨论． 对点练1.以下条件中，能判定数列是等比数列的有(　　 ) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，…，a，…； ④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 解析：①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选A． 知识点二　等比中项 问题2.我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． [微思考]　当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 提示：当G2＝ab时，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0. (1)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，求实数x的值． (2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a1和a5的等比中项． 解：(1)因为等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2， 解得x＝－1，或x＝－4. 又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4. (2)因为{an}是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即a＝a2a4，所以a＝64，解得a3＝4，从而a6＝32. 设{an}的公比为q，则解得 所以a5＝a1q4＝16. 设a1和a5的等比中项为G，则G2＝a1a5＝16， 所以G＝±4，故a1和a5的等比中项是±4. 规律方法 等比中项应用需注意的问题 1．由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． 2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． 3．a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)． 对点练2.(1)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．6 B．－6 C．±6 D．±12 (2)(多选)已知a＞0，b＞0，若a与b的等差中项为M，等比中项为G，则下列结论正确的是(　　 ) A．M与G可能相等 B．M大于G C．M小于G D．M不小于G 答案：(1)C　(2)AD　 解析：(1)因为a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，所以ab＝±6.故选C． (2)由于a＞0，b＞0时，≥，当且仅当a＝b时，等号成立．由a与b的等差中项为M＝，等比中项为G＝±，当a＝b，G＞0时，M＝G；当a≠b时，M＞G.故选AD． 学生用书↓第26页 知识点三　等比数列的通项公式 问题3.类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：能．设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 思路一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 思路二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1(n≥2)， 当n＝1时，上式也成立． 1．通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a． (3)从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的一些孤立的点． [微提醒]　(1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列． (2)当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列． (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列． (4)当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列． (5)当q＝1时，数列{an}为常数列． (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 在等比数列{an}中： (1)若a4＝27，q＝－3，求an； (2)若a1＝2，q＝，an＝，求项数n； (3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3； (4)(2023·全国乙卷改编)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，求a7. 解：(1)由a4＝a1·q3，得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1， 故an＝(－1)×(－3)n－1＝－(－3)n－1. (2)由已知得，an＝a1qn－1＝2×n－1＝，即n－1＝＝4， 所以n－1＝4，所以n＝5. (3)由已知得由得＝， 故q＝，或q＝2， 当q＝时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4. (4)设{an}的公比为q(q≠0)， 则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1， 因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2， 则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 规律方法 关于等比数列基本量的运算 1．公式法：等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1. 2．整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 对点练3.在等比数列{an}中： (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； (2)若a2＝4，a5＝－，求an； (3)若a2＝4，q＝2，an＝128，求n. 解：(1)因为a5＝a1q4， 而a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝5×(－3)4＝405. (2)由题意可知 所以q＝－，a1＝－8， 所以an＝a1qn－1＝－8×＝(－2)4－n. (3)由a2＝4，q＝2，得a1＝2，所以2·2n－1＝128，解得n＝7. 学生用书↓第27页 等比数列的判定与证明 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)． (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1， 所以bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn， 又因为b1＝a1＋1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，an＋1＝2×2n－1＝2n， 所以an＝2n－1. [变式探究](变条件，变设问)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 解：(1)由S1＝(a1－1)， 得a1＝(a1－1)， 所以a1＝－. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)， 得a2＝. (2)证明：当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－.又a1＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 规律方法 判定与证明一个数列是等比数列的常用方法 定义法 若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，n∈N*，q为常数且不为零)⇔数列{an}是等比数列 通项公 式法 若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)⇔数列{an}是等比数列 等比 中项法 若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔数列{an}为等比数列 构造法 在条件中出现an＋1＝kan＋b，kb(k－1)≠0的关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可 对点练4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1， 得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*. 又a1－1＝1≠0， 所以an－n≠0， 所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)，可知an－n＝4n－1， 于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n. 知识 1.等比数列的概念.2.等比中项.3等比数列的通项公式 方法 1.等比中项的应用策略：定义法. 2.等比数列的通项公式：公式法、方程(组)思想、整体思想.3.等比数列的判定与证明：定义法、等差中项法、通项公式法、构造法 易错 误区 1.在等比数列的定义中，应该把握好三个关键：即“第二项起”、“后一项与前一项的比”、“同一个常数”．同时在证明中应注意验证“第一项”也满足条件.2.x，G，y成等比数列⇒G2＝ab，但G2＝ab⇒/ x，G，y成等比数列 学生用书↓第28页 1．(多选)下面各数列一定是等比数列的有(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1，－2，－4，－8 B．1，2，3，4 C．x，x，x，x D．，，， 答案：AD 解析：根据等比数列的定义，A、D是等比数列，B不是等比数列，C中x可能为0，故C不一定是等比数列．故选AD． 2．(2024·安徽芜湖高二质量监控)等比数列中，a1＝2，a2·a3＝32，则a4为(　　) A． 2 B． 4 C． 8 D． 16 答案：D 解析：设数列的公比为q，依题意解得q＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.a4＝24＝16.故选D． 3．(2024·湖北新高考协作体联考)若b≠0，则“b＝”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由b＝，得b2＝ac，又b≠0，所以a，b，c成等比数列．若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，所以b＝±，所以“b＝”是“a，b，c成等比数列”的充分不必要条件．故选A． 4．已知数列{an}满足an＋1＝λan＋2，若{an＋3}是等比数列，则公比λ＝________． 答案： 解析：因为{an＋3}是等比数列，an＋1＝λan＋2，所以an＋1＋3＝λ(an＋3)，即an＋1＝λan＋3λ－3，所以3λ－3＝2，所以λ＝. 课时测评7　等比数列的概念及通项公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知数列的通项公式为an＝3×n，则数列是(　　) A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 答案：A 解析：因为a1＝1，＝＝，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．故选A． 2．(2024·北京丰台高二期末)已知等比数列{an}满足a1＝－1，a4＝8，则a7等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．32 B．－32 C．64 D．－64 答案：D 解析：法一：由题意知，a4＝a1q3＝－q3＝8，所以q＝－2，所以a7＝a1q6＝－(－2)6＝－64.故选D． 法二：由题意知，a4是a1，a7 的等比中项 ，所以a＝a1×a7 ，所以 a7＝－64.故选D． 3．在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是(　　 ) A．1 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 答案：C 解析：法一：由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，所以q＝－1，或q＝2.故选C． 法二：因为a5＝a4q，a6＝a4·q2，所以由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，所以q＝－1，或q＝2.故选C． 4．已知a，b，c均为正数，若a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c成等比数列，且公比为q，则q3＋q2＋q的值为(　　 ) A．0 B．1 C．3 D．不确定 答案：B 解析：依题意，有q3＋q2＋q＝＋＋＝1.故选B． 5．(多选)下列说法中不正确的是(　　 ) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 答案：ABD 解析：对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A不正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选ABD． 6．(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是(　　 ) A．q>1⇒{an}为递增数列 B．{an}为递增数列⇒q>1 C．0<q<1⇔{an}为递减数列 D．q>1⇒/ {an}为递增数列且{an}为递增数列⇒/ q>1 答案：ABC 解析：若a1＝－2，q＝2>1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，故A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…是递增数列，则q＝<1，故B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈(0，1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，故C不正确．故选ABC． 7．(开放题)(2024·北京丰台高二期中)等比数列满足如下条件：①a1>0；②单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式an＝________． 答案：2n(答案不唯一) 解析：满足上述所有条件的一个数列的通项公式an＝2n. 8．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为____________． 答案：80，40，20，10 解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，所以q5＝，所以q＝.所以这4个数依次为80，40，20，10. 9．已知a，1，b成等差数列，a2，1，b2成等比数列，则＝________． 答案：1或 解析：因为a，1，b成等差数列，所以a＋b＝2.又因为a2，1，b2成等比数列，所以a2b2＝1，所以ab＝±1，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝2或6，所以＝1或＝. 10．(10分)在各项均为负数的数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？(6分) 解：(1)因为2an＝3an＋1， 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列， 又a2·a5＝， 所以a＝，由于各项均为负， 故a1＝－，an＝－(n∈N*)． (2)设an＝－，则－＝－，＝，所以n＝6， 所以－是该数列的项，为第6项． (11—13每题5分，共15分) 11．(多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为(　　) A．－ B．－2 C．1 D．－1 答案：AC 解析：由题意知2a3＝a1＋a2，所以2a1q2＝a1＋a1q，又a1≠0，则2q2－q－1＝0，解得q＝1，或－，故选AC． 12．设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则＋的最小值为(　　) A．8 B．4 C．1 D． 答案：B 解析：因为是5a与5b的等比中项，则()2＝5a·5b，所以a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B． 13．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于__________． 答案：11 解析：因为am＝a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，所以－q10＝－qm－1，所以10＝m－1，所以m＝11. 14．(16分)已知在数列{an}中，a1＝1且2an＋1＝6an＋2n－1(n∈N*)． (1)求证：数列为等比数列；(6分) (2)求数列{an}的通项公式．(10分) 解：(1)证明：因为2an＋1＝6an＋2n－1(n∈N*)，所以an＋1＝3an＋n－， 所以＝＝＝3. 因为a1＋＝1＋＝， 所以为等比数列，首项为，公比为3. (2)由(1)得，an＋＝×3n－1＝×3n， 所以an＝×3n－. 15．(7分)(新情境)如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为(　　 ) A． B． C． D． 答案：C 解析：第一列数构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝.故选C． 16．(7分)(多选)(新定义)在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比．下列说法正确的是(　　 ) A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 答案：BCD 解析：对于等差数列{an}，考虑an＝1，an＋1＝1，an＋2＝1，无意义，故A错误；若等差比数列的公差比为0，＝0，则an＋2－an＋1＝0，则an＋1－an＝0与题目矛盾，故B正确；若an＝－3n＋2，则＝＝＝3，数列{an}是等差比数列，故C正确；若等比数列是等差比数列，则an＝a1qn－1，q≠1，＝＝＝q，故D正确．故选BCD． 第2课时　等比数列的性质及实际应用 [学习目标] 知识 层面 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算并解决简单的数列问题．　2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．　3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式． 素养 层面 通过对等比数列性质的应用，培养逻辑推理的素养. 知识点一　等比数列的性质 问题1.在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是在这两类数列之间无形之中产生了类比思想．类比等差数列中an＝am＋(n－m)d，能否发现等比数列中相似的性质吗？ 提示：类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. 问题2.结合上面的类比，你能把等差数列中am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示：类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝aqk＋l－2，因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 等比数列项的运算性质 1．等比数列通项公式的推广和变形an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a；当m＋n＋s＝p＋q＋t(m，n，p，q，s，t∈N*)时，amanas＝apaqat. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. [微提醒]　(1)下标的和相等，且左右两侧项数相同；性质2可以推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz.(2)若m，p，n 成等差数列，则am，ap，an 成等比数列． 学生用书↓第29页 已知{an}为等比数列． (1)(2024·黑龙江大庆高二期末)若{an}为递增数列，a2＝3，a1＋a3＝，求＋＋； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为a2＝3，a1＋a3＝， 所以a1q＝3，a1＋a1q2＝， 解得a1＝，q＝2，或a1＝6，q＝(舍)， 所以＋＋＝q＋q2＋q3＝2＋22＋23＝14. (2)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a ＝(a3＋a5)2＝25， 因为an>0，所以a3＋a5>0，所以a3＋a5＝5. (3)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. [变式探究] 1．(变条件，变设问)在本例(2)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由本例(2)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4，或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n. 2．(变条件)把本例(3)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，即a1a2a3…a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0. 规律方法 1．解答等比数列问题的基本方法是基本量法 (1)基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解； (2)优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁． 2．利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 对点练1.(1)在正项等比数列{an}中，若a1a9＝64，a4＋a6＝20，则an＝(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2n－2 B．28－n C．2n－2或28－n D．22－n或2n－2 (2)若等比数列中的a7，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 024＝(　　) A． B．1 011 C． D．1 012 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)因为在等比数列{an}中，a1a9＝64，所以a4a6＝a1a9＝64，所以解得或当a4＝4，a6＝16时，an>0，q2＝＝4，所以q＝2，a1＝＝，所以an＝×2n－1＝2n－2；当a4＝16，a6＝4时，an>0，q2＝＝，所以q＝，a1＝＝128，所以an＝128×＝28－n.综上所述，an＝2n－2或an＝28－n.故选C． (2)因为a7，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a7a2 018＝3，又在等比数列中，a1a2 024＝a2a2 023＝…＝a7a2 018＝3，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 024＝log3(a1a2a3…a2 021a2 024)＝log331 012＝1 012.故选D． 知识点二　由等比数列生成的新等比数列 问题3.若是等比数列，那么是等比数列吗？呢？ 提示：是等比数列，一般不是等比数列． 证明：设数列的公比为q，则＝＝q，故数列是以q为公比的等比数列． 由＝，若an不是常数，则该式子不是定值，故一般不是等比数列． 问题4.若是等比数列，那么a1，a4，a7，a10，…是等比数列吗？ 提示：是等比数列，因为＝＝＝…＝q3为常数． 学生用书↓第30页 1．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}，，都是等比数列，公比分别为q，，q2，，q2． 2．若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别为p和q，则数列{an·bn}，也为等比数列，公比分别为pq，． 3．子数列的性质：对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk． [微提醒]　在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列． (链教材P34练习T2)(1)如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C．{an·an＋1} D．{an＋an＋1} (2)若数列{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝__________． 答案：(1)D　(2) 12 解析：(1)取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质．故选D． (2)易知{an·bn}为等比数列，则有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)，所以a9b9＝＝＝12. 规律方法 由等比数列构造新的等比数列时，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况． 对点练2.(1)(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　) A．{a}是等比数列 B．{anan＋1}是等比数列 C．是等比数列 D．{lg |an|}是等比数列 (2)(2024·江苏常熟高二调研)已知各项均为正数的等比数列{an}，若a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．4 答案：(1)ABC　(2)A 解析：(1)由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n>1)．对于A，＝＝q2为常数，故A正确；对于B，＝＝q2，故B正确；对于C，＝＝为常数，故C正确；对于D，不一定为常数，故D错误．故选ABC． (2)由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝＝＝5.故选A． 应用一　等比数列中项的设法 (链教材P30例3)(2024·山东青岛高二期末)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和是16，中间两个数的和是12.求这四个数． 解：法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，由条件， 得 解得或 所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 法二：设这四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)， 由条件，得 解得或 当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q＝，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1. 法三：设四个数依次为x，y，12－y，16－x. 由条件，得 解得或 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. [变式探究] 1．(变条件)将本例中的条件改为“有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80”，再求这四个数． 解：由题意，设这四个数分别为，b，bq，a， 则解得或 所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. 学生用书↓第31页 2．(变条件，变设问)将本例条件改为有四个数成等比数列，其积为，第二个数与第三个数的和为，求这个等比数列的公比． 解：设这四个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)， 由题意得 所以 所以＝±，整理得q2－6q＋1＝0，或q2＋10q＋1＝0， 解得q＝3±2，或q＝－5±2. 规律方法 几个数成等比数列的设法 1．三个数成等比数列设为，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，… 2．四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，… 3．四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 对点练3.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 答案：45 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即 整理得解得 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 应用二　等比数列的实际应用 (链教材P31例4)某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. 所以n年后这辆车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元． 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有： 规律方法 1．构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解； 2．通过归纳得到结论，再用数列知识求解． 对点练4.(1)(2024·北京西城区月考)音乐与数学有着密切的联系，我国古代有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得(　　 ) A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列 (2)一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．55 989 B．46 656 C．216 D．36 答案：(1)A　(2)B　 解析：(1)设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a×＝a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a×＝a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a×＝a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．故选A． (2)设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂．故选B． 知识 1.等比数列的性质.2.由等比数列构造新等比数列 方法 1.等比数列运算：基本量法、巧用性质法、方程思想.2.函数性质问题：整体代换思想.3.求解两个等比数列公共项：观察归纳法、引入参变量法. 4.等比数列中项的设法：对称设法. 5.解答数列实际应用问题的基本步骤：审题、建模、判型、求解、还原 易错 误区 1.对等比数列的性质不理解而致错.2.不注意运用性质而出错或解法繁琐.3.构造新的等比数列易忽视有等于0的项 学生用书↓第32页 1．在等比数列{an}中，如果a6＝8，a9＝16，那么a3＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．4 B． C． D．2 答案：A 解析：根据等比数列的性质，a3，a6，a9成等比数列，所以16a3＝82，所以a3＝4.故选A． 2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么下列结论正确的是(　　) A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 答案：C 解析：当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．故选C． 3．三个实数成等比数列，它们的和为14，且它们的积为64，则这三个数分别为(　　 ) A．2，4，8 B．8，4，2 C．2，4，8或8，4，2 D．以上都不对 答案：C 解析：设所求的三个数分别为，a，aq，则有解得或当a＝4，q＝时，这三个数分别为8，4，2；当a＝4，q＝2时，这三个数分别为2，4，8.因此，这三个数分别为2，4，8或8，4，2.故选C． 4．某种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________min，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)． 答案：45 解析：每3 min病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据内存64 MB时自身复制了n次，则2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而所求时间为15×3＝45(min)． 课时测评8　等比数列的性质及实际应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　 ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案：D 解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q3＝＝，即a3，a6，a9成等比数列．同理可知A，B，C错误．故选D． 2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．2 C．4 D．8 答案：A 解析：法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝.所以a5＝a1·24＝·24＝1.故选A． 法二：由等比数列的性质，知a＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4.又a7＝a5×q2，则a5＝＝1. 故选A． 3．(2024·安徽六安高二期中)标准对数视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的“边长”都是下方一行“E”的“边长”的倍，若视力4.2的视标“边长”为a1，则视力5.1的视标“边长”为(　　 ) A．10－a1 B．10－a1 C．10a1 D．10a1 答案：A 解析：由题意可得，以视力4.2的视标“边长”为首项a1，则公比q＝10－，视力5.1的视标“边长”为a10，故a10＝a1q9，即a10＝a1×10－＝10－a1.故选A． 4．(2024·江西五市九校联考)已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则＋＋＋的值为(　　) A．8 B．10 C．12 D．16 答案：B 解析：因为{an}是等比数列，所以a2·a8＝a4·a6＝2，＋＋＋＝＋＝＝＝10.故选B． 5．(多选)(2024·安徽黄山高二测试)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a7的值可能是(　　 ) A． B． C． D． 答案：BD 解析：因为数列{an}是正项等比数列，所以＝＋≥2＝2，可得a7≥2，当且仅当＝时取等号，结合选项可知B、D符合题意．故选BD． 6．(多选)(2024·河南南阳高二期中)已知递增数列{an}满足a2·a8＝18，a3＋a7＝9，则下列说法正确的有(　　) A．若数列{an}为等差数列，则a14＝9 B．若数列{an}为等差数列，则a11＝9 C．若数列{an}为等比数列，则a11＝12 D．若数列{an}为等比数列，则a14＝9 答案：AC 解析：若数列{an}为等差数列 ，则a3＋a7＝a2＋a8＝9 ，又a2·a8＝18，所以a2＝3，a8＝6，或a2＝6，a8＝3(舍)，所以d＝＝，所以a14＝a8＋6d＝9，a11＝a8＋3d＝，故A正确，B错误；若数列{an}为等比数列 ，则a3·a7＝a2·a8＝18 ，又a3＋a7＝9，所以a3＝3，a7＝6，或a3＝6，a7＝3(舍)，所以q4＝＝2，所以a11＝a7q4＝12，a14＝a7q7＝6×2×2＝12×2，故C正确，D错误．故选AC． 7．(开放题)各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3·a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an＝________． 答案：2n－4(答案不唯一) 解析：因为数列{an}是正项等比数列，所以a3·a7＝a＝4，所以a5＝2，又公比q≠1，不妨令q＝2，则an＝a5qn－5＝2×2n－5＝2n－4(答案不唯一)． 8．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________． 答案： 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q石，所以＋28＋28q＝98，所以q＝2，或.又0<q<1，所以q＝. 9．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324(n≥2)，则n＝________． 答案：14 解析：设数列{an}的公比为q.因为a1a2a3＝4＝aq3，a4a5a6＝12＝aq12，所以q9＝3.又因为an－1anan＋1＝aqn－2＋(n－1)＋n＝aq3n－3＝324，所以q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，解得n＝14. 10．(10分)(1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，求a2的值；(4分) (2)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(a4＋a6)＝5a5，求数列{an}的公比q.(6分) 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由a3a5＝4(a4－1)，得a＝4(a4－1)，解得a4＝2， 所以q3＝＝8，所以q＝2，所以a2＝a1q＝. (2)由2(a4＋a6)＝5a5，得2(a4＋a4q2)＝5a4q，易知a4≠0， 所以2＋2q2＝5q，即(2q－1)(q－2)＝0，解得q＝2，或q＝. 因为等比数列{an}为递增数列，且a1>0， 所以q>1，所以q＝2. (11—13每题5分，共15分) 11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　) A．2 B． C．3 D． 答案：D 解析：法一：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.故选D． 法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝a＝27.所以a5＝.故选D． 12．在正项等比数列{an}中，a3＝2，16a＝a2a6，则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是(　　) A．T3 B．T4 C．T5 D．T6 答案：A 解析：依题意，数列{an}是等比数列，所以16a＝a2a6＝a，所以q2＝.又因为数列{an}为正项等比数列，所以q＝，所以an＝a3qn－3＝2·43－n＝27－2n，令an>1，即27－2n>1，得n<，因为n∈N*，所以n≤3，数列{an}的前n项积Tn中T3最大．故选A． 13．(新角度)已知在等比数列{an}中，an>0，a＋a＝900－2a1a5，a5＝9a3，则a2 024的个位数字是________． 答案：7 解析：由等比数列的性质可得a1a5＝a2a4，因为a＋a＝900－2a1a5＝900－2a2a4，所以a＋a＋2a2a4＝(a2＋a4)2＝900，又因为an＞0，所以a2＋a4＝30，又由a5＝9a3，所以a1(q＋q3)＝30，a3q2＝9a3，且q＞0，解得a1＝1，q＝3，所以a2 024＝a1q2 023＝32 023＝(34)505×33，所以a2 024的个位数字是7. 14．(10分)我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． (1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系；(3分) (2)判断是否是等比数列，并说明理由；(3分) (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(参考数据：lg 2≈0.301 0)(4分) 解：(1)由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋， 所以an＝an－1＋(n≥2)． (2)由(1)得an＝an－1＋， 所以an－＝，且a1－＝－＝－≠0， 所以是公比为的等比数列． (3)由(2)有an－＝， 又a1＝，所以a1－＝－， 所以an－＝－， 即an＝－＋. an＝－＋＞，即＜，两边取常用对数得(n－1)lg＜lg， 所以n－1＞＝＝＝＝＝≈4.1， 所以n＞5.1，所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%. 15．(5分)(新定义)(2024·山东济南高二月考)若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列．则b4＝2×＝.故选B． 16．(15分)已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(5分) (2)若任意n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值．(10分) 解：(1)设{an}的公差为d， 则d＝＝＝4， 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*)． 设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列． c1＝a1－b1＝2－1＝1， c4＝a4－b4＝14－6＝8， 设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2. 则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1. 所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N*)． 故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N*)． (2)由题意得，bk应为数列{bn}的最大项． 由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*)． 当n<3时，bn＋1－bn>0，bn<bn＋1， 即b1<b2<b3； 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4； 当n>3时，bn＋1－bn<0，bn>bn＋1，即b4>b5>b6>…，所以k＝3或k＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$