4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　数列的递推公式及前n项和 [学习目标] 知识 层面 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项；了解用累加法、累乘法求通项公式． 2．会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式. 素养 层面 通过对递推公式的理解，培养数学抽象的素养；通过递推公式求通项与由数列的前n项和求通项，培养逻辑推理、数学运算的素养. 知识点一　数列的递推公式 问题1.如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片； (2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？ 提示：其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号针，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号针，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号针，需要an步，故an＋1＝2an＋1. [微提醒]　数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法． (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 (链教材P6例5)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6. 解：a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2， a6＝＝＝－3. [变式探究](变设问)在例1的条件下，求a2 024. 解：由例1知，a5＝2＝a1，a6＝－3＝a2，…， 所以{an}是周期为4的周期数列， 所以a2 024＝a4×506＝a4＝. 规律方法 由递推公式写出数列的项的方法 1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． 2．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 3．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． 对点练1.(链教材P9T4)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． 解：(1)因为an＝an－1＋an－2(n≥3)， 且a1＝1，a2＝2， 所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)因为bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， 所以b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 学生用书↓第7页 知识点二　数列的前n项和 问题2.如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它表示a2吗？a6＋a7＋a8＋a9＋a10怎么表示？an呢？ 提示：a2＝S2－S1，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S5，an＝ 问题3.已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4? 提示：a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 1．定义 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系 an＝ [微提醒]　(1)注意等式成立的条件．(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项．(3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn－1，然后作差求得． (链教材P7思考)已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 解：因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32，n∈N*. [变式探究](变条件)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 当n＝1时不符合上式． 所以an＝ 规律方法 由Sn求通项公式an的步骤 对点练2.已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1， 又a1＝7不适合上式，所以an＝ (2)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式， 所以an＝2×3n－1(n∈N*)． 学生用书↓第8页 由递推公式求通项公式 (1)(2024·安徽马鞍山高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋，求数列{an}的通项公式； (2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 解：(1)法一：(归纳法)数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋＝，a3＝＋＝，a4＝＋＝，a5＝＋＝， 又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝(n∈N*)． 法二：(迭代法)因为an＋1＝an＋， 所以an＋1＝an＋－， 所以a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2)． 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． 法三：(累加法) 因为an＋1－an＝－，a1＝1，所以a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)， 以上各项相加得an＝1＋＋＋…＋. 所以an＝(n≥2)．因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． (2) 法一：(累乘法)把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. 因为an＞0，所以an＋1＋an＞0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0， 所以＝，所以···…·＝×××…×， 所以＝.又因为a1＝1，所以an＝a1＝. 法二：(迭代法)同法一，得＝，所以an＋1＝an， 所以an＝·an－1＝··an－2＝···an－3＝…＝···…·a1＝a1.又因为a1＝1，所以an＝. 法三：(构造特殊数列法)同法一，得＝，所以(n＋1)an＋1＝nan，所以数列{nan}是常数列，所以nan＝1·a1＝1，所以an＝. 规律方法 由递推公式求通项公式的常用方法 1．归纳法：根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) 2．迭代法、累加法或累乘法适合的递推公式类型 (1)an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； (2)an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； (3)an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第(2)类解决． 对点练3.(1)已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n∈N*且n≥2)，则数列{an}的通项公式为________________． (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________________． (3)已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为______________． 答案：(1)an＝　(2)an＝en－1　(3)an＝ 解析：(1)因为an＝an－1＋(n≥2)，所以an－an－1＝＝－，所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝－(n≥2)，所以an＝a1＋－＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，又a1＝适合an＝，故数列{an}的通项公式为an＝. (2)因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1，即＝e(n≥2)．所以an＝··…··a1＝e·e·…·e·1＝en－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，故数列{an}的通项公式an＝en－1，n∈N*. (3)因为anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，所以－＝1.所以当n≥2时，＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.所以＝n＋1，所以当n≥2时，an＝.因为a1＝也符合上式，故数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)． 知识 1.数列的递推公式.2.数列的前n项和Sn与an的关系 方法 1.由递推公式求通项公式：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.2.由前n项和Sn求通项公式：公式法 易错 误区 1.累加法、累乘法解题时不注意验证首项是否符合通项公式.2.由Sn求an时易忽视验证n＝1时的情况 1．已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝an＋，则该数列的第3项等于(　　 ) A．1 B． C． D． 答案：C 解析：a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.故选C． 2．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 答案：n 解析：由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝1＋1＋…＋1(n－1)个＝n－1，因为a1＝1，则an＝n(n≥2)，又a1＝1也满足an＝n，所以数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)． 3．(2024·江苏苏州高二测试)若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则a100＝________． 答案：5 050 解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1，得＝(n≥2，n∈N*)，则a100＝a1···…·＝1×××…×××＝＝5 050. 4．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N*)，则S3＝________，数列{an}的通项公式an＝________． 答案：12　2n 解析：由Sn＝n2＋n，所以S3＝9＋3＝12.当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，得a1＝2成立，所以an＝2n. 课时测评2　数列的递推公式及前n项和 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．(2024·山东淄博高二期中)在数列{an}中，an＋2＝an＋1－an，a1＝3，a2＝5，则a4＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－3 B．9 C．－5 D．13 答案：A 解析：由an＋2＝an＋1－an，a1＝3，a2＝5，可得a3＝a2－a1＝2，a4＝a3－a2＝2－5＝－3.故选A． 2．(2024·北京东城高二期末检测)已知Sn是数列的前n项和，Sn＝n2＋2n，则a2＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．3 C．5 D．8 答案：C 解析：由题意知Sn＝n2＋2n，所以a2＝S2－S1＝(4＋4)－(1＋2)＝5，故C正确．故选C． 3．在数列中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 024等于(　　 ) A． B．－1 C．2 D．3 答案：B 解析：当n＝1时，a2＝1－＝－1；当n＝2时，a3＝1－＝2；当n＝3时，a4＝1－＝＝a1；a5＝1－＝－1＝a2；a6＝2；…所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2 024＝a3×674＋2＝a2＝－1.故选B． 4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n 答案：A 解析：a2＝a1＋ln，a3＝a2＋ln，…，an＝an－1＋ln(n≥2)，则an＝a1＋ln＝2＋ln n(n≥2)．又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n．故选A． 5．(多选)符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　 ) A．1，2，3，4，… B．1，，2，2，… C．，2，2，4，… D．0，，2，2，… 答案：BC 解析：B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.在A中，后一项与前一项之差为1，递推公式an－an－1＝1.在D中，无法推出递推公式．故选BC． 6．(多选)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　) A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列 C．a2 023＋a2 024＝ D．a2 023＋a2 024＝ 答案：BC 解析：a2＝f＝－1＝；a3＝f＝－1＝；a4＝f＝＋＝；a5＝f＝2×－1＝；a6＝f＝2×－1＝；a7＝f＝＋＝；…，所以从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 023＋a2 024＝a4＋a5＝＋＝，所以C正确，D错误．故选BC． 7．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，则a4＝________． 答案：16 解析：当n≥2时，an－an－1＝2n－1，所以a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，所以a4－a1＝15.又a1＝1，所以a4＝16. 8．(2024·河南创新联盟高二联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n，则a3＝________． 答案：9 解析：a3＝S3－S2＝32＋23－(22＋22)＝9. 9．已知在数列{an}中，a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝________，an＝________． 答案：　 解析：由题意n＝1时，a1＝1，所以由a1a2a3…an＝n2得，a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，则a3＝＝，a5＝＝，故a3＋a5＝.当n≥2时，a1a2a3…an＝n2，所以a1a2a3…an－1＝(n－1)2，两式相除得an＝，故an＝ 10．(10分)已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an. 解：根据条件可得Sn＝2n＋1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n－1－1 ＝2n－1(2－1) ＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21－1， 所以an＝ (11—13每题5分，共15分) 11．(新情境)(链教材P9T5)传说毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如三角形数、正方形数、五边形数、六边形数等．如图所示，将所有六边形数按从小到大的顺序排列成数列，前3项依次为1，6，15，则此数列的递推公式可以是(　　) A．an＋1＝an＋4n－3 B．an＋1＝an＋4n－1 C．an＝an－1＋4n＋1(n≥2) D．an＝an－1＋4n－3(n≥2) 答案：D 解析：由题意，知a1＝1，a2＝a1＋5，a3＝a2＋9，a4＝a3＋13，…，以此类推，an＝an－1＋4(n－1)＋1＝an－1＋4n－3(n≥2)．故选D． 12．(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A．Tn有最大值 B．an无最大值 C．T2 024＝4 D．a2 024＝2 答案：AD 解析：因为a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n≥3)，所以a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…，因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an，所以an有最大值2，a2 024＝a2＝2，故B错误，D正确；又因为T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…，所以{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn，所以Tn有最大值4，T2 024＝T2＝2，故A正确，C错误．故选AD． 13．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝________，an＝________． 答案：－12　－2n 解析：由条件知，a2＝a1＋a1＝－4，所以a1＝－2.a3＝a2＋a1＝－4－2＝－6，a4＝a3＋a1＝－6－2＝－8，a5＝a4＋a1＝－8－2＝－10，所以a6＝a5＋a1＝－10－2＝－12，依次类推可知an＝－2n. 14．(16分)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求实数λ的取值范围．(10分) 解：(1)法一：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以＝＝…＝＝1， 所以an＝n. 法二：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以当n≥2时，an＝a1···…·＝1×××…×＝n. 又a1＝1也满足an＝n， 所以数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知bn＝3n－λn2， 由bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)， 因为数列{bn}为递增数列， 所以2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<. 令cn＝，则＝·＝>1， 所以{cn}为递增数列，所以λ<c1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2)． 15．(7分)(新情境)公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 0 24等于(　　) A．a2 024 B．a2 025 C．a2 026 D．a2 027 答案：B 解析：由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a5＋a6＋…＋a2 024＝a2 023＋a2 024＝a2 025.故选B． 16．(7分)(新情境)(2024·江苏常州高二段考)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．雪花曲线是一种模样古怪的曲线，但它是真实存在的．这条曲线可以从一个等边三角形开始来画．你可以想象，有一位可爱的小天使正在画雪花曲线，她把一个蓝色的等边三角形的每边分成相同的三份，再在中间的那个三分之一上向外画出一个粉红色的等边三角形，这样一来就做成了一个六角星，六角星的每一条边再向外画一个绿色等边三角形，…，以此类推．设第n个雪花曲线的边数为an，则a3＝________，an＋1与an的关系是________． 答案：48　an＋1＝4an 解析：a1＝3，a2＝3×4＝12，a3＝3×42＝48，…，an＋1＝4an. 学生用书↓第9页 学科网（北京）股份有限公司 $$