4.1 第1课时 数列的概念与表示-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 [学习目标] 知识 层面 1.借助实例了解数列的概念及数列的分类；了解数列的表示方法(列表、图象、通项公式)；了解数列是一种特殊函数．　 2.理解数列通项公式的概念及其应用. 素养 层面 在学习数列概念的过程中，提升数学抽象、直观想象的素养；通过对数列通项公式的学习，增强逻辑推理、数学运算的素养. 知识点一　数列的概念与分类 问题1.观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； (2)2023年杭州亚运会中国获得的奖牌总数、金牌、银牌、铜牌依次为：383，201，111，71； (3)2 024，2 024，2 024，2 024，2 024； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：2，0，2，5，2，0，2，5，2，0，2，5…； (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，… 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(2)(3)项数有限，(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化． 1．数列的概念 (1)定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． [微提醒]　表示数列时不要漏写“{ }”，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母．但不能将{an}视为一个集合，它只是数列的简单记法． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [微思考]　(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是相同的数列吗？ (2)若数列{an}满足a1<a2<a3，则数列一定是递增数列吗？ 提示：(1)它们不是相同的数列． (2)不一定，因为只有部分项满足大小关系，不能确定数列的单调性． 学生用书↓第2页 (多选)下列说法中正确的是(　　) A．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列 B．数列的第k项为1＋ C．数列{an}与an是相同的 D．an＝n2，数列{an}是递增数列 答案：BD 解析：对于A，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故A错误；对于B，因为an＝，则ak＝＝1＋，故B正确；对于C，数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项，故C错误；对于D，由于an＝n2满足an ＝n2＜(n＋1)2＝an＋1，故数列{an}是递增数列，故D正确．故选BD． 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1，0.84，0.842，0.843，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； (6)0，－1，2，－3，4，－5，… 解：(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列． 规律方法 数列及其分类的判定方法 1．判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． 2．判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析，而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限． 对点练1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？ (1)2 021，2 022，2 023，2 024，2 025； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1，0，－1，…，sin，…； (6)9，9，9，9，9，9. 解：(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列． 知识点二　数列的表示 问题2.如果以序号n为自变量，以项an 为函数值，可以将数列看成函数吗？ 提示：两者具有一一对应的关系，可以看作特殊的函数． 问题3.回顾函数的表示方法：列表、图象、解析法，数列可以用上面的方法表示吗？ 提示：可以，但是对于解析式来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义． 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为：an＝f(n)． 2．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 学生用书↓第3页 [微思考]　所有数列都能写出它的通项公式吗？当数列确定后，它的通项公式唯一吗？你能否各举出1个例子？ 提示：并不是所有数列都能写出通项公式，如π的近似值数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，….当数列确定后，它的通项公式也不一定唯一．如数列1，－1，1，－1，1，－1，…，可以用an＝也可以用an＝(－1)n＋1， an＝sin ，an＝cos[(n－1)π]表示等． (链教材P5例2)根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)，，，，…； (5)－，，－，，…； (6)4，0，4，0，4，0，…. 解：(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分数再观察，，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝. (2)数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． (3)各项加1后，分别变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1. (4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n－1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n＋1)2；分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an＝＝. (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n·. (6)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示通项公式，即an＝又因为数列可改写为2＋2，2－2，2＋2，2－2，2＋2，2－2，…，因此其通项公式又可表示为an＝2＋2×(－1)n＋1. 规律方法 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 1．先统一项的结构，如都化成分数、根式等． 2．分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． 3．对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． 4．对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 对点练2.根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)－3，0，3，6，9，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)0，2，0，2，0，2，…； (4)，，－，，－，，…. 解：(1)a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3， a3＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，…. 所以an＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*)． (2)a1＝2＋1，a2＝4＋1＝22＋1，a3＝8＋1＝23＋1，a4＝16＋1＝24＋1，…，所以an＝2n＋1(n∈N*)． (3)a1＝1－1，a2＝1＋1，a3＝1－1，a4＝1＋1，…. 所以an＝1＋(－1)n(n∈N*)． (4)a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，…，所以an＝(－1)n(n∈N*). 应用一　数列通项公式的应用 (链教材P5例3)已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 解：(1)a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7，或n＝(舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 令3n2－28n＝68，解得n＝－2，或n＝， 均不合题意，所以68不是该数列的项． 学生用书↓第4页 [变式探究](变结论)若本例中的条件不变． (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？ (3)数列{an}中有多少个负数项？ 解：(1)因为an＝3n2－28n， 所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32. (2)令3n2－28n＝20， 解得n＝10，或n＝－(舍去)， 所以20是该数列的第10项． (3)由an＝3n2－28n，得an<0，所以0<n<，又因为n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}有9个负数项． 规律方法 求项或判断某数是否为数列项的方法 代入法 如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列的相应项 解方程法 判断某数值是否为该数列的项，先假设它是数列中的项，然后列出方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的项 对点练3.已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. (1)求a10； (2)是不是这个数列中的项？ (3)这个数列中有多少项是整数？ (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由． 解：(1)a10＝＝. (2)令＝，得n＝100，故是这个数列中的项． (3)易知an＝1＋，若an是整数，则n＝1，2，3，6， 故这个数列中共有4项是整数． (4)令＝n，得n2－n－6＝0， 解得n＝3，或n＝－2(舍去)． 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 应用二　数列的函数性质的应用 角度1　函数的单调性判断及应用 已知数列的通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断该数列的单调性． 解：法一：(作差法)因为an＝3n2－n，所以an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)， 所以an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0， 即an＋1>an，所以数列是递增数列． 法二：(做商法)因为an＝3n2－n，所以an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)， 所以＝＝·>1， 又易知an>0，即an＋1>an， 所以数列是递增数列． 法三：(图象法)令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝， 所以函数y＝3x2－x在上单调递增，所以数列是递增数列． [变式探究](变条件)若本例中的条件“an＝3n2－n(n∈N*)”变为“an＝n2＋tn(n∈N*)”，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是____________． 答案：(－3，＋∞) 解析：由数列{an}为递增数列，得an＋1>an，所以an＋1－an>0，所以(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)>0，所以2n＋1＋t>0恒成立，即t>－(2n＋1)恒成立，而n∈N*，所以t>－3，故t的取值范围是(－3，＋∞)． 角度2　数列的最大项与最小项问题 已知数列{an}的通项公式是an＝n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由． 解：法一：an＋1－an＝(n＋1)－n＝， 当n<4时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝4时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>4时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 则a1<a2<a3<a4＝a5>a6>a7>…， 所以数列{an}有最大项，为第4项或第5项，且a4＝a5＝＝. 法二：假设数列{an}有最大项，且最大项为第n项，根据题意，令 即解得4≤n≤5. 又n∈N*，则n＝4或n＝5.故数列{an}有最大项，为第4项或第5项，且a4＝a5＝＝. 规律方法 1．判断数列单调性的方法 作差法 对于数列中的任意相邻的两项an＋1，an，通过作差an＋1－an，判断其与0的大小关系，即可判断数列的单调性 作商法 数列的各项非零且同号，对其数列中的任意相邻的两项an＋1，an，通过作商，判断其与1的大小关系，即可判断数列的单调性 图象法 当an表达式与所学过的函数解析式相似时，可用函数的图象或复合函数判断单调性的方法来判断数列{an}的单调性 学生用书↓第5页 2．判断数列的最大项与最小项的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项； (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 对点练4.已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 答案：B 解析：因为an＝2＋，n∈N*，所以an＋1－an＝－＝<0，所以{an}是递减数列．故选B． 对点练5.已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 解：法一：an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 则a1<a2<a3<…<a9＝a10且a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第9项，或第10项，且a9＝a10＝10×. 法二：假设数列{an}有最大项，且最大项为第n项，根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N*，则n＝9，或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项，或第10项，且a9＝a10＝10×. 知识 1.数列的概念与分类. 2.数列的表示． 3．数列与函数的关系 方法 1.根据数列的前几项求通项公式：观察比较归纳法.2.求项或判断某数是否为数列的项：代入法、解方程法. 3.判断数列单调性：作差法、作商法、图象法.4.数列的最大项与最小项：函数的单调性法、不等式法 易错 误区 1.并非所有的数列都能写出它的通项公式. 2.并非所有的通项公式都唯一，如－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝ 1．(2024·重庆永川高二检测)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，…，，… B．sin ，sin ，sin ，…，sin ，… C．－1，－，－，－，…，－，… D．1，，，…， 答案：C 2．(多选)(2024·湖北武汉高二检测)下列说法不正确的是(　　) A．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8} B．一个数列的任意两项均不可能相同 C．数列的通项可以有限，也可以无限 D．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 答案：ABD 解析：{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，故A不正确；常数列的任意两项都相同，故B不正确；由数列按项的多少分类可知，数列的通项可以有限，也可以无限，故C正确；常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故D不正确．故选ABD． 3．数列，－，，－，…的通项公式可能是(　　 ) A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n－1 C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n－1 答案：D 解析：法一：将n＝1，2，3，4代入各选项验证易得答案．故选D． 法二：将数列，－，，－，…变为，－，，－，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n＋2，再结合正负的调节，可知其通项公式为an＝(－1)n－1.故选D． 4．已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 024－a2 023＝________，199是数列的第________项． 答案：27　4　50 解析：a7＝4×7－1＝27，a2 024－a2 023＝(4×2 024－1)－(4×2 023－1)＝4.令4n－1＝199，解得n＝50. 课时测评1　数列的概念与表示 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．下列各项表示数列的是(　　) A．△，○，☆，□ B．某种树木的分枝生长规律如图所示，树木第1年至第五年的分枝数 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D．a＋b，a－b，a·b，λa 答案：B 解析：数列是指按照确定的顺序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合．故选B． 2．数列{an}中，若an＝，则a4＝(　　) A． B． C．2 D．8 答案：B 解析：因为数列{an}中，an＝，所以a4＝＝.故选B． 3．(2024·广东深圳高二测试)数列，，，，…，则该数列的第n项为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设该数列为，则a1＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…以此类推可得an＝＝.故选D． 4．(2024·福建福州高二月考)已知数列满足an＝，n为正整数，则该数列的最大项是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为函数y＝＝，在x∈(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以当1≤n≤2时，数列递增，当n≥3时，数列递减，又a1＝，结合an＝，得a2＝，a3＝，所以该数列的最大项是.故选B． 5．(多选)下列式子中不能作为数列1，0，1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有(　　 ) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案：ACD 解析：对于A，当n＝1时，a1＝0，故错误；对于B，奇数项为1，偶数项为0，正确；对于C，当n＝1时，a1＝，故错误；对于D，当n＝1时，a1＝0，故错误．故选ACD． 6．(多选)满足下列条件的数列{an}(n∈N*)是递增数列的为(　　 ) A．an＝ B．an＝n2＋n C．an＝1－2n D．an＝2n＋1 答案：BD 解析：an＝，a1＝1，a2＝，不是递增数列，故A不符合题意；an＝n2＋n，当n≥2时，an－an－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n＞0，是递增数列，故B符合题意；an＝1－2n，当n≥2时，an－an－1＝(1－2n)－[1－2(n－1)]＝－2，不是递增数列，故C不符合题意；an＝2n＋1，函数y＝2x＋1为增函数，则an＝2n＋1是递增数列，故D符合题意．故选BD． 7．已知数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为________． 答案：674 解析：由an＝2 024－3n>0，得n<＝674，又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为674. 8．(开放题) (2024·江西南昌高二月考)已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝________． 答案：(答案不唯一) 解析：符合三个条件的数列有，，，….(答案不唯一) 9．给出下列命题： ①已知数列{an}，an＝，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，－，2，－，…的一个通项公式是an＝(－1)n＋1； ③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29； ④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}为递增数列． 其中正确命题的个数为________． 答案：4 解析：对于①中，令＝，解得n＝10，且数列{an}为递减数列，所以最大项为第1项，故①正确；对于②中，数列，，，，…的一个通项公式是an＝，所以原数列的一个通项公式是an＝(－1)n＋1，故②正确；对于③中，由an＝kn－5，且a8＝11，即8k－5＝11，解得k＝2，所以an＝2n－5，所以a17＝29，故③正确；对于④中，由an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3>0，即an＋1>an，所以数列{an}为递增数列，故④正确．综上，正确命题的个数为4. 10．(10分)写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…；(3分) (2)，，，，，…；(3分) (3)－1，，－，，….(4分) 解：(1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*. (2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，…，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N*. (3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－，则每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式． 所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*. (11—13每题5分，共15分) 11．(原创题)正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例如a4，3＝9，则a64，8等于(　　) 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 …　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 答案：C 解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝＋1＝1，第2行第1列的数为2，此时a2，1＝＋1＝2，第3行第1列的数为4，此时a3，1＝＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1＝＋1＝2 017，则a64，8＝2 024.故选C． 12．(多选)(2024·山东潍坊月考)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则下列说法正确的是(　　) A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是182 C．此数列的通项公式为an＝ D．84不是此数列中的项 答案：AC 解析：观察此数列，n为偶数时，an＝，n为奇数时，an＝，所以此数列的通项公式为an＝所以C正确；a20＝＝200，故A正确；a19＝＝180，故B错误；a14＝＝98，所以a13＝98－14＝84，故D错误．故选AC． 13．(2024·陕西西安检测)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是____________． 答案：(2，3) 解析：结合函数的单调性，要使数列{an}递增，则应有解得2<a<3. 14．(10分)(2024·安徽阜阳一中月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)30是不是数列{an}中的项？70呢？(3分) (2)数列中有多少项是负数？(3分) (3)当n为何值时，an有最小值？并求出这个最小值．(4分) 解：(1)根据题意，an＝n2－5n＋4， 若an＝n2－5n＋4＝30，即n2－5n－26＝0，没有正整数解，则30不是数列{an}中的项． 若an＝n2－5n＋4＝70，即n2－5n－66＝0， 解得n＝11，或n＝－6(舍)，则70是数列{an}中的第11项． (2)根据题意，an＝n2－5n＋4，由an＝n2－5n＋4<0，解得1<n<4， 又n∈N*，则n＝2，或n＝3，则数列中有2项是负数． (3)根据题意，an＝n2－5n＋4＝－，故当 n＝2，或n＝3时，an有最小值，其最小值为－2. 15．(5分)(新情境)如图①所示是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　 ) A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N* C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N* 答案：C 解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….故选C． 16．(15分)(2024·江苏扬州高二期中)已知数列的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列中的项；(4分) (2)判断数列中的项是否都在区间(0，1)内；(5分) (3)判断在区间内有没有数列中的项．(6分) 解：(1)因为an＝＝＝， 所以由an＝＝，解得n＝.因为不是正整数，所以不是数列中的项． (2)因为an＝＝＝1－，n∈N*，0<<1，所以0<an<1，所以数列中的项都在区间(0，1)内． (3)令<an<，即<<，则解得<n<.又n∈N*， 所以n＝2.故在区间内有数列中的项，且只有一项，是第二项，即a2＝. 学生用书↓第6页 学科网（北京）股份有限公司 $$