5.3.2 第3课时 利用导数解决与函数相关的问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第3课时　利用导数解决与函数相关的问题 　 第五章　5.3.2　函数的极值与最大(小)值 知识层面 1.进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．　 2.能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题. 素养层面 通过进一步利用导数研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题，提升数学运算、逻辑推理的素养；通过应用导数解决实际问题，培养数学运算、数学建模的素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 综合应用 返回 应用一　已知函数的最值求参数 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，x∈[－1，2]的最大值是3，最小值为－29，求a，b的值． 例1 解：求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，或x2＝4(舍去)． 因为a>0， 所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 f′(x)   ＋ 0 －   f(x) －7a＋b 单调递增 b 单调递减 －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，所以f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)， 所以f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2. 故a＝2，b＝3. 变式探究 (变条件)本例中“a＞0”改为“a＜0”，求a，b的值． 解：由例题解析知，当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值， 所以f(0)＝b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29, f(2)＝－16a－29>f(－1)， 所以f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 故a＝－2，b＝－29. 规律方法 已知函数的最值求参数的步骤 由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是： 第一步：求导数f′(x)，并求极值； 第二步：利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论； 第三步：利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可． 应用二　 函数图象的画法 (链教材P95例7)给定函数f(x)＝ex－x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； 例2 解：函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝ex－1， 令f′(x)＝0，解得x＝0. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 1 单调递增 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增． 当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值， 故函数f(x)的值域为[1，＋∞)． (2)画出函数f(x)的大致图象； 解：由(1)可知，函数的最小值为1. 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞； 当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0， 因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x. 根据上述信息，我们画出函数f(x)的大致图象如图所示． (3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]上的解的个数． 解：方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]上的解的个数为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m的交点个数． 截取函数f(x)在区间[－1，2]上的图象如图所示． 当m<1，或m>e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1，2]上无实数根． 规律方法 函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： 第一步：求出函数f(x)的定义域； 第二步：求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； 第三步：用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； 第四步：确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； 第五步：画出f(x)的大致图象． 解：对f(x)求导得f′(x)＝3ax2－b， (2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围． 解：由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)． 令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2. 所以当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0. 应用三　导数在解决实际问题中的应用 角度1　面积、容积最大(小)问题 (链教材P96例8，P98T8)如图所示，现有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积V(m3)是截下的小正方形边长x(m)的函数． 例3 (1)写出函数的解析式； 解：根据题意可知，容器底面的边长为(1.2－2x)m，高为x m，于是V＝(1.2－2x)2x， 又因为x的长度必须小于原有正方形边长的一半，因此0<x<0.6， 所以V＝(1.2－2x)2x，0<x<0.6. (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？ 解：由题意得V′＝2(1.2－2x)×(－2)x＋(1.2－2x)2＝12(x－0.6)(x－0.2)． 令V′>0，可解得x<0.2. 因此可知V在(0，0.2]上单调递增，在[0.2，0.6)上单调递减．故V在x＝0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值． 即截去的小正方形边长为0.2 m时，容器的容积最大． 规律方法 1．利用导数解决优化问题的基本思路 2．几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验． 注意　在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 对点练3.请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20. 因为当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0， 所以V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值， 角度2　费用最省、成本最低、利润最大问题 例4 (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 规律方法 利用导数求费用最省(成本最低)问题的步骤 第一步：分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； 第二步：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； 第三步：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值． 对点练4.某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长AB＝2千米，宽AD＝1千米，半圆的圆心P为AB中点．为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧AE、线段EF、FC组成的观光道路，其中线段EF经过圆心P，点F在线段CD上(不含线段端点C，D)，已知道路AE，FC的造价为每千米20万元，道路EF造价为每千米70万元，设∠APE＝θ，观光道路的总造价为y万元． (1)试求y与θ的函数关系式y＝f(θ)，并写出θ的取值范围； 解：由题意可知 ∠APE＝θ，过点 F 作 FO⊥AB， 垂足为 O，则∠FPB＝θ， (2)当θ为何值时，观光道路的总造价y最小． 即2cos2θ＋7cos θ－4＝0， 所以(2cos θ－1)(cos θ＋4)＝0， 当θ变化时，y′，y的变化情况如表所示． 返回 课堂小结 知识 1.由最值求参数的值或范围.2.函数图象的画法.3.导数在解决实际问题中的应用 方法 数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想 易错误区 不能正确分析函数图象的变化趋势从而不能正确得到函数零点的个数 随堂演练 返回 √ 2．函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 由题意得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)>0，得x>2，或x<－2；令f′(x)<0，得－2<x<2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)，所以函数的极大值为f(－2)＝0，极小值为f(2)＝－32，当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)>0，所以函数的零点个数为2.故选C． √ 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－ x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A．7万件 B．9万件 C．11万件 D．13万件 √ 4．已知某种圆柱形油料罐(有盖)的表面积为6π，则该圆柱形油料罐的容积最大时，底面圆的半径等于______． 1 返回 设底面圆半径为r，高为h，则S＝2πr2＋2πrh＝6π，即r2＋rh＝3，故rh＝3－r2.V＝πr2h＝πr(3－r2)＝π(3r－r3)，则V′＝π(3－3r2)．令V′＝0，得r＝1，或r＝－1(舍去)，当0<r<1时，V′>0，当r>1时，V′<0，所以r＝1时V取得最大值． 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是 A．(－∞，－4) B．(－4，0) C．(－∞，－4)∪(0，＋∞) D．(0，＋∞) 设f(x)＝x3－6x2＋9x，可得f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＞0，即(x－1)(x－3)＞0，解得x＜1，或x＞3，令f′(x)＜0，即(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，所以函数f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，则当x＝1时，函数f(x)取得极大值f(1)＝4，当x＝3时，函数f(x)取得极小值f(3)＝0，要使得方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三个不等的实根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有三个不同的交点，所以0＜－m＜4，解得－4＜m＜0.故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上．设∠BOC＝θ，则征地面积S最大时，θ的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以S＝2SOBCE＝(Rsin θ＋R)·Rcos θ ＝R2(sin θcos θ＋cos θ)． S′＝R2(cos2θ－sin2θ－sin θ)＝－R2(2sin2θ＋sin θ－1)＝－R2(2sin θ－1)(sin θ＋1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是____________． 令y＝f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数f(x)＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2. (－2，2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围为____________． (－1，2] 由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． 由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜ .又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2，所以a≤2.综上，实数a的取值范围为－1＜a≤2. x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 －2 单调递增 2 单调递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然当x>1时，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0；当x＝1时， g(1)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2022年全国粮食总产量达68 653万吨，创历史新高．粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定．某粮食加工企业设计了一种容积为63 000π立方米的粮食储藏容器，如图①所示，已知该容器分上下两部分，上部分是底面半径和高都为r(r≥10)米的圆锥，下部分是底面半径为r米、高为h米的圆柱体，如图②所示．经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为a元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为____________________． {a|a<－27，或a>5} f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x＝－1， 或x＝3.当f′(x)>0时，－1<x<3；当f′(x)<0时， x<－1，或x>3，所以当x＝－1时，f(x)取得极 小值为f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)取得极大 值为f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图①)或极小值大于0(如图②)，所以a＋27<0，或a－5>0，解得a<－27，或a>5，故实数a的取值范围为{a|a<－27，或a>5}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a<0，所以f′(x)>0，故函数在(0，＋∞)上单调递增． 所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈[1，e]时，分如下情况讨论： ②当1<a<e时，函数f(x)在[1，a)上有f′(x)<0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f′(x)>0，f(x)单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新定义)设I是函数y＝f(x)的定义域，若存在x0∈I，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间I上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R 上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是 A．(－2，0)∪(0，2) B．(－2，2) C．(－1，0)∪(0，1) D．[－1，1] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)(2024·江苏苏州高二期中)《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍甍”字面意思为茅草屋顶，图①是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上射影分别为H，M，已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍． 设∠FMH＝θ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式．(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k>0)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？(10分) 解：在Rt△FHM中，FH＝5tan θ，所以下部主体高度为h＝6－5tan θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如表所示． 返回 → → 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 f ＝－ln 4，f(1)＝－，而f －f(1)＝－＝－ln 4＞0， 所以f ＞ f(1)，即f(x)在上的最大值为－ln 4. x∈时，f(x)＜c恒成立，等价于f(x)max＜c，即－ln 4＜c， 由图象知，当f(0)<m≤f(－1)，即当m∈时， f(x)与y＝m恰有两个不同的交点，即当m∈ 时，方程f(x)＝m在区间[－1，2]上恰有两个不同的实 数根； 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． 所以y＝20＋70 ＝20θ＋90＋. θ y′ － 0 ＋ y ↘ 极小值 ↗ y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，易知当－1<x<0时，y′<0，当－2<x<－1，或0<x<1时，y′>0，所以函数y＝x3＋x2＋m在(－2，－1)，(0，1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又当x＝－1时，y＝m＋，当x＝1时，y＝m＋，所以最大值为m＋＝，解得m＝2.故选C． V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，此时V(x)单调递增；当40<x<60时，V′(x)<0，此时V(x)单调递减，所以V(40)是V(x)的极大值也是最大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.故选B． 因为f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)， 令f′(x)＝0，则x＝1，或x＝－1(舍去)，当0≤x<1时， f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递 减．因为函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为 0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，所以1≤m≤.故选A． 连接OE(图略)，可得OE＝R，OB＝Rcos θ，BC ＝Rsin θ，θ∈， 对于A，由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，解得x＝ ，故A正确；对于B，f′(x)＝－＝ －，当f′(x)>0时，－1<x<2；当f′(x)<0 时，x<－1，或x>2，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，函数的单调递增区间为(－1，2)，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确； 对于C，当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，f(2)＝，再根据单调性可知，当－e<k<0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，故C正确；对于D，由图象可知，t的最大值是2，故D不正确．故选ABC． 由题意知，x>0，f′(x)＝－2ax＝，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，无最大值，故C错误；当a>0时，在上，f′(x)>0，f(x)单调递增； y′＝r－＝，当10≤r<30时，y′<0，函数y＝r2＋单调递减，当30<r<30时，y′>0，函数y＝r2＋单调递增，所以当r＝30时，y取得最小值，最小值为×302＋＝6 300aπ，故D正确．故选BCD． f′(x)＝－＝， f′(x)＝－＝， 因为函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点x0”，所以ax－3x－x0＋1＝－x0在R上有三个解，即ax－3x＋1＝0在R上有三个解，设g(x)＝ax3－3x2＋1，则g′(x)＝3ax2－6x，由已知a≠0，令g′(x)＝0， θ f′(θ) － 0 ＋ f(θ)   $$