5.2.3 简单复合函数的导数-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

5.2.3　简单复合函数的导数 　 第五章　5.2　导数的运算 知识层面 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．　 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如y＝f(ax＋b)的导数)．　 3.会解决与复合函数有关的简单问题. 素养层面 通过复合函数导数的运算，培养数学运算、逻辑推理的素养. 知识点一　复合函数的概念 1 知识点二　复合函数的求导法则 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　复合函数的概念 返回 问题1.函数y＝ln(2x－1)和y＝(2x－1)ln x分别是如何构成的？ 提示：y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思． 问题导思 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝_________． 内、外层函数通常为基本初等函数． 新知构建 微提醒 f(g(x)) 函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是 A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin(2x－1) 例1 y＝sin(2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.故选C． √ 规律方法 判断复合函数的复合关系的一般方法 从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数． 对点练1.(多选)下列哪些函数是复合函数 根据复合函数的定义可以选ACD． √ √ √ 返回 知识点二　复合函数的求导法则 返回 问题2.如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示：y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 问题导思 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于_________________________________． (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构．(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则．(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 新知构建 微提醒 y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积 (链教材P79例6)求下列函数的导数： 例2 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. (2)y＝cos(x2)； 解：令u＝x2，则y＝cos u，所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2). (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 解：设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2. 规律方法 1．求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简洁．　　 对点练2.求下列函数的导数： (2)y＝e－xsin 2x； 解：y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x ＝e－x(2cos 2x－sin 2x)． (4)y＝cos (－2x)＋32x＋1. 解：y′＝2sin(－2x)＋(2x＋1)′32x＋1ln 3 ＝－2sin 2x＋2·32x＋1ln 3. 返回 综合应用 返回 简单复合函数的导数的综合应用 曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 例3-1 √ 设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，求a的值． 例3-2 解：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2. 因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax， 所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. 变式探究 2．(变条件，变设问)把本例3－1条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln (x＋1)的切线”，求b的值． 规律方法 利用导数的几何意义解题时的注意点 1．求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出． 2．切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组． 3．如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件． 4．与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个． 解：由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x， 得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x， 由y＝x3得y′＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3. 又x＝1时y＝1， 所以所求切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. 解：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)， 所以f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)， 又因为函数y＝g(x)为奇函数， 所以g(x)＝－2sin x. 返回 课堂小结 知识 1.复合函数的概念.2.复合函数的求导法则.3.复合函数的导数的应用 方法 转化法 易错误区 求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化 随堂演练 返回 1．(2024·重庆高二期末)函数y＝cos 2x的导函数为 A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x C．y＝2sin 2x D．y＝－2sin 2x y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x.故选D． √ √ 3．(多选)(2024·山东德州高二期中)下列求函数的导数正确的是 √ √ 4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为_____． 2 返回 课时测评 返回 1．函数y＝(2 024－8x)3的导数y′等于 A．3(2 024－8x)2 B．－24x C．－24(2 024－8x)2 D．24(2 024－8x)2 y′＝3(2 024－8x)2×(2 024－8x)′＝3(2 024－8x)2×(－8)＝－24(2 024－8x)2.故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．若f(x)＝ex ln 2x，则f′(x)＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．曲线y＝2xex－2在点(2，4)处切线的斜率等于 A．2e B．e C．6 D．2 √ 因为y＝2xex－2，所以y′＝2ex－2＋2xex－2，所以k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．(多选)下列结论中不正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(2024·河南驻马店高二期中)已知函数f(x)＝cos 2x·ln x，则f(x)的导函数为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知函数f(x)＝(2x－1)2＋5x，则f′(x)＝_________；曲线y＝f(x)在点(2，19)处的切线方程是__________________． f′(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1.又f′(2)＝17，故切线方程是y－19＝17(x－2)，即17x－y－15＝0. 8x＋1 17x－y－15＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 e2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)求下列函数的导数： (1)y＝a2x－3；(2分) 解：因为y＝a2x－3， 所以y′＝a2x－3ln a·(2x－3)′＝2a2x－3ln a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)y＝e－xln x；(3分) 解：因为y＝e－xln x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·吉林延边高二期中)若f(x)＝x2e1－mx＋mx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则m＝ A．1 B．1或2 C．－1或2 D．2 √ f′(x)＝2xe1－mx＋x2·e1－mx·(－m)＋m＝2xe1－mx－mx2e1－mx＋m，根据导数的几何意义可得f′(1)＝2e1－m－me1－m＋m＝2，所以(e1－m－1)(2－m)＝0，所以e1－m－1＝0，或2－m＝0，所以m＝1，或m＝2.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．设f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f(1＋n)(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 025(x)＝ A．22 025(cos 2x－sin 2x) B．22 024(－cos 2x－sin 2x) C．22 025(cos 2x＋sin 2x) D．22 024(－cos 2x－sin 2x) √ 因为f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，所以f1(x)＝f′0(x)＝2(cos 2x－sin 2x)，f2(x)＝f′1(x)＝22(－sin 2x－cos 2x)，f3(x)＝f′2(x)＝23(－cos 2x＋sin 2x)，f4(x)＝f′3(x)＝24(sin 2x＋cos 2x)，通过以上可以看出fn(x)满足以下规律：对任意n∈N，fn＋4(x)＝24fn(x)．故f2 025(x)＝f506×4＋1(x)＝22 025(cos 2x－sin 2x)．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(新情境)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一，借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ex2，则f′(x)＝________，其在点(0，1)处的切线方程为________． 2xex2 y＝1 因为f(x)＝ex2，故f′(x)＝(x2)′ex2＝2xex2，则f′(0)＝0，故曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)(2024·上海松江高二期中)已知函数f(x)＝sin2x＋sin 2x. (1)求f′(x)的解析式；(4分) 解：f′(x)＝2sin xcos x＋2cos 2x＝sin 2x＋2cos 2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(开放题)(2024·江苏南通高二期末)写出一个同时具有性质①②的 函数f(x)＝____________________．(f(x)不是常值函数)．① f′(x)为偶函数；② f ′(x＋π)＝f′(x)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：因为f(x)＝eπx sin πx， 所以f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx ＝πeπx(sin πx＋cos πx)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 解：设切点坐标为P(x0，y0)， 由题意可知y′|x＝x0＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1. 即切点坐标为P(0，1)，切线方程为y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 　 一 元 函 数 的 导 数 及 其 应 用 返回 对点练3.已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f′(x)是f(x)的导函数，且a＝f′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程． f′(x)＝，则f′(1)＝1.故选B． f′(x)＝ex ln 2x＋ex×＝ex ln 2x＋.故选C . sin 2x(答案不唯一) 所以f′＝πe＝πe. $$