4.3.1 第2课时 等比数列的性质及实际应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

4.3.1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的性质及实际应用 　 第四章　4.3　等比数列 知识层面 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这 些性质简化运算并解决简单的数列问题． 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式． 素养层面 通过对等比数列性质的应用，培养逻辑推理的素养. 知识点一　等比数列的性质 1 知识点二　由等比数列生成的新等比数列 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　等比数列的性质 返回 问题导思 问题1.在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是在这两类数列之间无形之中产生了类比思想．类比等差数列中an＝am＋(n－m)d，能否发现等比数列中相似的性质吗？ 问题2.结合上面的类比，你能把等差数列中am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示：类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝a qm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝a qk＋l－2，因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 新知构建 等比数列项的运算性质 1．等比数列通项公式的推广和变形an＝___________(m，n∈N*)． 2．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝________． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a ；当m＋n＋s＝p＋q＋t(m，n，p，q，s，t∈N*)时，amanas＝apaqat. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. am·qn－m ap·aq 微提醒 (1)下标的和相等，且左右两侧项数相同；性质2可以推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz.(2)若m，p，n 成等差数列，则am，ap，an 成等比数列． 例1 已知{an}为等比数列． (1)(2024·黑龙江大庆高二期末)若{an}为递增数列，a2＝3，a1＋a3＝ ，求 解：设等比数列{an}的公比为q， 因为a2＝3，a1＋a3＝ ， 所以a1q＝3，a1＋a1q2＝ ， 解得a1＝ ，q＝2，或a1＝6，q＝ (舍)， 所以 ＝q＋q2＋q3＝2＋22＋23＝14. (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； 解：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a ＋2a3a5＋a ＝(a3＋a5)2＝25， 因为an>0，所以a3＋a5>0，所以a3＋a5＝5. (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. 变式探究 1．(变条件，变设问)在本例(2)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由本例(2)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4，或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝ ，an＝25－n. 2．(变条件)把本例(3)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，即a1a2a3…a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0. 规律方法 1．解答等比数列问题的基本方法是基本量法 (1)基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解； (2)优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁． 2．利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 对点练1.(1)在正项等比数列{an}中，若a1a9＝64，a4＋a6＝20，则an＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2n－2 B．28－n C．2n－2或28－n D．22－n或2n－2 √ √ 因为a7，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a7a2 018＝3，又在等比数列 中，a1a2 024＝a2a2 023＝…＝a7a2 018＝3，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 024＝log3(a1a2a3…a2 021a2 024)＝log331 012＝1 012.故选D． 返回 知识点二　由等比数列生成的新等比数列 返回 问题导思 新知构建 1．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0) ， 都是等比数列，公比分别为___________________． 2．若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别为p和q，则数列 {an·bn}， 也为__________，公比分别为______． 3．子数列的性质：对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为__________，首项为ak＋1，公比为___；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为__________，首项为____，公比为____． 等比数列 等比数列 等比数列 ak qk q 在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝ －1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列． 微提醒 例2 (链教材P34练习T2)(1)如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C．{an·an＋1} D．{an＋an＋1} √ 取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质．故选D． (2)若数列{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝_____． 易知{an·bn}为等比数列，则有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)，所以a9b9＝ ＝ ＝12. 12 规律方法 由等比数列构造新的等比数列时，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况． 对点练2.(1)(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是 A．{a }是等比数列 B．{anan＋1}是等比数列 C． 是等比数列 D．{lg |an|}是等比数列 √ √ √ (2)(2024·江苏常熟高二调研)已知各项均为正数的等比数列{an}，若a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝ A．5 B．7 C．6 D．4 √ 返回 综合应用 返回 例3 应用一　等比数列中项的设法 (链教材P30例3)(2024·山东青岛高二期末)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和是16，中间两个数的和是12.求这四个数． 所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16； 法三：设四个数依次为x，y，12－y，16－x. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 变式探究 1．(变条件)将本例中的条件改为“有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80”，再求这四个数． 解：由题意，设这四个数分别为 ，b，bq，a， 所以这四个数分别为1，－2，4，10或－ ，－2，－5，－8. 2．(变条件，变设问)将本例条件改为有四个数成等比数列，其积为 ，第二个数与第三个数的和为 ，求这个等比数列的公比． 解：设这四个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)， 规律方法 几个数成等比数列的设法 1．三个数成等比数列设为 ，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…， ，a，aq，aq2，… 2．四个符号相同的数成等比数列设为， ，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…， aq，aq3，aq5，… 3．四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 对点练3.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是____． 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 45 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 应用二　等比数列的实际应用 (链教材P31例4)某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； 解：从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. 所以n年后这辆车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元． 例3 (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元． 规律方法 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有： 1．构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解； 2．通过归纳得到结论，再用数列知识求解． 对点练4.(1)(2024·北京西城区月考)音乐与数学有着密切的联系，我国古代有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 ，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得 A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列 √ (2)一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．55 989 B．46 656 C．216 D．36 √ 设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂．故选B． 返回 课堂小结 知识 1.等比数列的性质.2.由等比数列构造新等比数列 方法 1.等比数列运算：基本量法、巧用性质法、方程思想.2.函数性质问题：整体代换思想.3.求解两个等比数列公共项：观察归纳法、引入参变量法. 4.等比数列中项的设法：对称设法. 5.解答数列实际应用问题的基本步骤：审题、建模、判型、求解、还原 易错 误区 1.对等比数列的性质不理解而致错.2.不注意运用性质而出错或解法繁琐.3.构造新的等比数列易忽视有等于0的项 随堂演练 返回 √ 1．在等比数列{an}中，如果a6＝8，a9＝16，那么a3＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．4 B． C． D．2 根据等比数列的性质，a3，a6，a9成等比数列，所以16a3＝82，所以a3＝4.故选A． 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．故选C． √ 2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么下列结论正确的是 A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 √ 3．三个实数成等比数列，它们的和为14，且它们的积为64，则这三个数分别为 A．2，4，8 B．8，4，2 C．2，4，8或8，4，2 D．以上都不对 每3 min病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据内存64 MB时自身复制了n次，则2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而所求时间为15×3＝45(min)． 返回 4．某种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后____min，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)． 45 课时测评 返回 √ 1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是 A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝ .所以a5＝a1·24＝ ·24＝1.故选A． 2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．2 C．4 D．8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．(2024·安徽六安高二期中)标准对数视力表(如图)采用的 “五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行 均为“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上， 每一行“E”的“边长”都是下方一行“E”的“边长”的 倍，若视力4.2的视标“边长”为a1，则视力5.1的视标 “边长”为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，以视力4.2的视标“边长”为首项a1，则公比q＝10－ ，视力5.1的视标“边长”为a10，故a10＝a1q9，即a10＝a1×10－ ＝10－ a1.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．(2024·江西五市九校联考)已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则 的值为 A．8 B．10 C．12 D．16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6．(多选)(2024·河南南阳高二期中)已知递增数列{an}满足a2·a8＝18，a3＋a7＝9，则下列说法正确的有 A．若数列{an}为等差数列，则a14＝9 B．若数列{an}为等差数列，则a11＝9 C．若数列{an}为等比数列，则a11＝12 D．若数列{an}为等比数列，则a14＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}是正项等比数列，所以a3·a7＝a ＝4，所以a5＝2，又公比q≠1，不妨令q＝2，则an＝a5qn－5＝2×2n－5＝2n－4(答案不唯一)． 7．(开放题)各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3·a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an＝_______________． 2n－4(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98 石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324(n≥2)，则n＝_____． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)(1)已知等比数列{an}满足a1＝ ，a3a5＝4(a4－1)，求a2的值；(4分) 解：设等比数列{an}的公比为q，由a3a5＝4(a4－1)，得a ＝4(a4－1)，解得a4＝2， 所以q3＝ ＝8，所以q＝2，所以a2＝a1q＝ . (2)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(a4＋a6)＝5a5，求数列{an}的公比q.(6分) 解：由2(a4＋a6)＝5a5，得2(a4＋a4q2)＝5a4q，易知a4≠0， 所以2＋2q2＝5q，即(2q－1)(q－2)＝0，解得q＝2，或q＝ . 因为等比数列{an}为递增数列，且a1>0， 所以q>1，所以q＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为 A．2 B． C．3 D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12．在正项等比数列{an}中，a3＝2，16a ＝a2a6，则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是 A．T3 B．T4 C．T5 D．T6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(新角度)已知在等比数列{an}中，an>0，a ＋a ＝900－2a1a5，a5＝9a3，则a2 024的个位数字是_____． 7 由等比数列的性质可得a1a5＝a2a4，因为a ＋a ＝900－2a1a5＝900－2a2a4，所以a ＋a ＋2a2a4＝(a2＋a4)2＝900，又因为an＞0，所以a2＋a4＝30，又由a5＝9a3，所以a1(q＋q3)＝30，a3q2＝9a3，且q＞0，解得a1＝1，q＝3，所以a2 024＝a1q2 023＝32 023＝(34)505×33，所以a2 024的个位数字是7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． (1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(参考数据：lg 2≈0.301 0)(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以n＞5.1，所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(5分) 解：设{an}的公差为d， 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*)． 设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 c1＝a1－b1＝2－1＝1， c4＝a4－b4＝14－6＝8， 设{cn}的公比为q，则q3＝ ＝8，故q＝2. 则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1. 所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N*)． 故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N*)． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若任意n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值．(10分) 解：由题意得，bk应为数列{bn}的最大项． 由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*)． 当n<3时，bn＋1－bn>0，bn<bn＋1， 即b1<b2<b3； 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4； 当n>3时，bn＋1－bn<0，bn>bn＋1，即b4>b5>b6>…，所以k＝3或k＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 数 列 返回 提示：类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. ＋＋； 因为在等比数列{an}中，a1a9＝64，所以a4a6＝a1a9＝64，所以解得或当a4＝4，a6＝16时，an>0，q2＝＝4，所以q＝2，a1＝＝，所以an＝×2n－1＝2n－2；当a4＝16，a6＝4时，an>0，q2＝＝，所以q＝，a1＝＝128，所以an＝128× ＝28－n.综上所述，an＝2n－2或an＝28－n.故选C． 证明：设数列的公比为q，则＝＝q，故数列是以q为公比的等比数列． pq， ，{a}，， q，，q2，，q2 ， ， ，， ＋＋＋ 因为数列{an}是正项等比数列，所以＝＋≥2＝2，可得a7≥2，当且仅当＝时取等号，结合选项可知B、D符合题意．故选BD． 解：由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－ 0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋， 若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列．则b4＝2×＝.故选B． $$