4.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

4.2.1　等差数列的概念　 第2课时 等差数列的性质及实际应用 　 第四章　4.2　等差数列 知识层面 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意 义，体会等差数列与一元一次函数的关系．　 2.掌握等差中项的概念、等差数列的通项公式、等差数列的 判断与证明方法. 素养层面 通过理解等差数列的概念，培养数学抽象的素养；通过等差数列通项公式的应用及等差数列的判断与证明培养数学运算、逻辑推理的素养. 知识点一　等差数列的性质 1 知识点二　由等差数列构造新等差数列 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　等差数列的性质 返回 问题导思 问题1.如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 提示：由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d. 问题2.若数列{an}是等差数列，公差为d，如果m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，那么am＋an与ap＋aq有什么样的数量关系？ 提示：由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，所以am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq. 新知构建 1．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)． (2)an＝am＋_________(m，n∈N*)． (3)d＝________(m，n∈N*，且m≠n)． (n－m)d 2．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝________． 特别地，①若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝_____． ②在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和都______，即a1＋an＝a2＋an－1＝…. ③推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝____________．该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． ap＋aq 2ap 相等 ax＋ay＋az 微思考 若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？ 提示：不一定．如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4. (1)(2024·陕西西安月考)已知{an}是等差数列，若a15＝8，a60＝20，则a75＝________． 例1 24 法三：(利用隔项成等差数列)因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24. (2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝________． 14 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. 变式探究　 (变条件)在本例(1)中改变条件，在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 解：法一：设数列{an}的公差为d. 则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d) ＝4a10＝40， 所以a10＝10. 法二：因为a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，所以a10＝10. 规律方法 1.灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担． 2．等差数列运算的两种常用思路 (1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量； (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 对点练1.(1)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝77，则公差d＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 √ 因为a4＋a7＋a10＝3a7＝17，所以a7＝ .因为a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝ 11a9＝77，所以a9＝7，所以公差d＝ 故选D． (2)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________． 8 返回 知识点二　由等差数列构造新等差数列 返回 问题导思 问题3.若数列{an}为等差数列，则数列 是等差数列吗？ 提示：设数列{an}的公差为d，则(3an＋1－2)－(3an－2)＝3(an＋1－an)＝3d，所以数列 是以3a1－2为首项，以3d为公差的等差数列． 问题4.若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 提示：设新数列为{bn}，公差为d′，则有b1＝a1，b5＝a2，所以b5－b1＝a2－a1＝d，故有4d′＝d，所以d′＝ d. 新知构建 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 2.若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列． 数列 结论 {c＋an} 公差为___的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为____的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为____的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为__________的等差数列(p，q为常数) d cd 2d pd＋qd′ 例2 角度1　等差数列的构造 (1)由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是 A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 √ 因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．故选C． (2)(链教材P25T6)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0 B．37 C．100 D．－37 √ 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.故选C． 规律方法 对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： 1．定义：an－an－1(n≥2)是否为常数． 2．其通项公式是否为关于n的一次函数． 对点练2.(1)已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为 A．7 B．5 C．3 D．1 √ 由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝2×2－3×1＝1.故选D． (2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 35 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35. 角度2　等差数列的公共项 (链教材P25T8)等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…均为40项，求它们的公共项构成的数列{cn}的通项公式． 解：法一(观察归纳法)：{an}：2，5，8，…的公差为3；{bn}：1，5，9，…的公差为4； 观察归纳可知他们的相同项是以5为首项，12为公差(3，4的最小公倍数)的等差数列， 所以cn＝5＋12(n－1)＝12n－7，a40＝3×40－1＝119，b40＝4×40－3＝157，cn≤119⇒n≤10 ， 所以{cn}的通项公式为cn＝12n－7(n≤10且n∈N*)． 例3 法二(引入参变量法)：an＝3n－1(n≤40且n∈N*)；bm＝4m－3(m≤40且m∈N*)； 令an＝bm⇔3n＝2(2m－1)，2m－1必为3的倍数(或n必为2的倍数)，设2m－1＝3k(因左边为奇数，k必为奇数)，再设k＝2t－1， m＝3t－1，n＝4t－2(引入参变量t)， 即t＝1，2，3，…，10. ct＝a4t－2＝b3t－1＝12t－7(t≤10)， 即cn＝12n－7(n≤10且n∈N*)． 规律方法 求解两个等差数列公共项的方法 1．观察归纳法：通过观察归纳得到公共项的首项和公差，进而可得出公共项的通项公式，然后用通项公式求解． 2．引入参变量法：(1)分别写出两个等差数列的通项公式(变量分别用m，n表示)；(2)由两个通项相等得到m，n之间的关系式；(3)由m，n的关系式得到m或n的特点(如是2的倍数，3的倍数)；(4)依据m或n的特点引入参变量k；(5)依据k的特点再引入参变量求解． 对点练3.(1)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．15 B．16 C．17 D．18 √ 由题意知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝2＋(n－1)×12＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤ ，而n∈N*，所以n的最大值为16.故选B． (2)(2024·湖北武汉高二期末)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ，则b2 024＝ A．4 044 B．4 046 C．4 048 D．4 050 √ 返回 设数列 的公差为d1，依题意知，b1＝a1，b5＝a2，b5－b1＝a2－a1＝8＝4d1，故d1＝2，故bn＝2＋(n－1)×2＝2n，则b2 024＝2×2 024＝4 048.故选C． 综合应用 返回 应用一　等差数列的设法与求解 已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 解：法一：设这三个数分别为a，b，c， 故这三个数分别为4，6，8. 法二：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知可得 由①得a＝6，代入②得d＝±2. 因为该数列是递增的， 所以d＝2， 所以这三个数分别为4，6，8. 例4 法二：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知可得 由①得a＝6，代入②得d＝±2. 因为该数列是递增的， 所以d＝2， 所以这三个数分别为4，6，8. 规律方法 等差数列的常见设项方法和技巧 1．通项法：当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式． 2．对称项设法：(1)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项，7项，…时，可同理设出； (2)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项，8项，…时，可同理设出； (3)对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为常数． 对点练4.四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为 －8，求这四个数． 解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1， 所以d＝1，或d＝－1. 又这四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 应用二　等差数列的实际应用 (链教材P16例3)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 例5 请你根据提供的信息回答问题． (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为 ，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为 ，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝an·bn. 由a1＝1，a6＝2，得 所以 得a2＝1＋0.2＝1.2； 由b1＝30，b6＝10，得 所以 得b2＝30－4＝26. 所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只． (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为 ，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为 ，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝an·bn. 因为c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， 所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． 规律方法 解答数列实际应用问题的基本步骤 对点练5.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)， 所以每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损． 所以由an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损． 返回 课堂小结 知识 1.等差数列的性质.2.由等差数列构造新等差数列 方法 1.等差数列运算：基本量法、巧用性质法、方程思想. 2.函数性质问题：整体代换思想. 3.求解两个等差数列公共项：观察归纳法、引入参变量法. 4.三项或四项等差数列的设法：对称项设法. 5.解答数列实际应用问题的基本步骤：审题、建模、判型、求解、还原 易错 误区 1.对等差数列的性质不理解而致错.2.不注意运用性质而出错或解法繁琐 随堂演练 返回 √ 1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3 B．－6 C．4 D．－3 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝ ＝－6. 故选B． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2an}是 A．公差为d的等差数列 B．公差为2d的等差数列 C．非等差数列 D．以上说法均不正确 √ 因为2an＋1－2an＝2(an＋1－an)＝2d(n∈N*)，所以数列{2an}是公差为2d的等差数列．故选B． 3．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为 A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺 √ 设等差数列为{an}，冬至，小寒，大寒，…，芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得，a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，又a12＝4.5，所以d＝ ＝－1.所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺)．故选D． 4．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于____． 由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝(a4＋a5)－a7＝15－12＝3. 返回 3 课时测评 返回 √ 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．5 B．6 C．8 D．10 由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又因为a1＋a9＝10，即2a5＝10，所以a5＝5.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因数2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，所以{an}为等差数列，故数列a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，…，a6＋a7＋a8构成一个新的等差数列，其首项为1，公差为1，所以a6＋a7＋a8＝1＋(6－1)×1＝6.故选B． 2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝ A．5 B．6 C．16 D．32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由于{an}，{bn}均为等差数列，故数列{an＋bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a2 024＋b2 024＝1＋2 023×2＝4 047.故选B． 3．(2024·浙江温州高二期中改编)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 024＋b2 024＝ A．4 045 B．4 047 C．4 049 D．4 051 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．(2024·北京东城高二期末检测)哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名．已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为 A．2041年～2042年 B．2061年～2062年 C．2081年～2082年 D．2101年～2102年 由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1 682，公差为76的等差数列 ，则等差数列 的通项公式为an＝1 682＋76(n－1)＝76n＋1 606，所以a5＝76×5＋1 606＝1 986，a6＝76×6＋1 606＝2 062，所以可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2 062年．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a51＝0，所以a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.故选CD． √ √ 5．(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有 A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 设三个数分别为a－d，a，a＋d(d>0)，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝6，所以a＝2.所以(2－d)2＝2(2＋d)，解得d＝6，因此，三个数分别为－4，2，8或8，2，－4.故选AC． 6．(多选)三个互不相等的数成等差数列，较小的数的平方等于另外两个数的乘积，已知这三个数的和等于6，则此三个数可以为 A．－4，2，8 B．－2，2，6 C．8，2，－4 D．6，2，－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.所以a45＝33＋3×33＝132. 7．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________． 132 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，设这五人所得钱分别为a＋2d，a＋d，a，a－d，a－2d，则a＋2d＋a＋d＝a＋a－d＋a－2d，且5a＝5，所以a＝1，d＝ ，所以乙所得为a＋d＝ (钱)． 8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少 钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，乙所得为_____钱． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．(链教材P16例4)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若数列{an}中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公 差是______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数． 解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 又因为四个数成递减等差数列， 所以d<0，所以d＝－ ， 故所求的四个数为11，8，5，2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11．(新情境)1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 023这2 023个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于 A．190 B．211 C．232 D．253 由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，则an－1是21的倍数，即an－1＝21(n－1)，即an＝21n－20，所以a10＝21×10－20＝190.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．{|an|} B．{an＋1－an} C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，故A不成立；若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，故B成立；若{an}的公差为d，则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，故C成立；(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，故D成立．故选BCD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) 解：因为a1＋a2＋a3＝12，即3a2＝12， 所以a2＝4. 设公差为d，则a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d， 所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．(6分) 解：a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. 所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列， 所以bn＝4＋4(n－1)＝4n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(2024·河北邯郸高二期末)若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四 个根组成一个首项为 的等差数列，则公差d＝_____，|m－n|＝____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)(新角度)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列． (1)若a20＝40，求d；(4分) 解：依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3. (2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围；(5分) 解：a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，依此类推，把已知数列推广为无穷数列，请对这个数列作简单概述．(6分) 解：所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 数 列 返回 ＝＝. 法一：因为{bn}为等差数列，所以可设其公差为d，则d＝＝＝2，所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.所以b8＝2×8－8＝8. 法二：由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. ＝ － $$