精品解析：山东省烟台市福山区（五四制）2024-2025学年九年级第一学期期中数学试题

初四数学第一学期质量检测题 一、单选题（每题3分） 1. 在Rt△ABC中，已知a边及∠A，则斜边应为　　 （　　） A. asinA B. C. acosA D. 2. 一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ） A. 1米 B. 2米 C. 4米 D. 5米 3. △ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 15° 4. 若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 7. 已知为锐角，且，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 如图，要测量一条河两岸相对的两点，之间的距离，我们可以在岸边取点和，使点，，共线且直线与垂直，测得，，，则的长约为(　　) (参考数据，，，，，) A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，的值等于（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（　　）米． A. 25.5 B. 26 C. 28.5 D. 20.5 11. 如图，等边的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿的方向向点C移动（到达点C后停止），若的面积为，则下列最能反映与移动时间之间函数关系的大致图象是图2（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（包含端点），顶点坐标为．以下判断：①当时，；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题3分） 13. 如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB=4，BC=3，则tan的值为 ________． 14. 将二次函数图像向下平移个单位长度，平移后的解析式为___________． 15. 如图，已知二次函数的图象经过点，矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为________． 16. 二次函数的图象经过、、三点，则，，的大小关系是_________. （用“”连接） 17. 如图，是的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F，若，，则四边形的周长是__________． 18. 如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知cm，则这个展开图中正方形的边长是______cm． 三、解答题（66分） 19. 已知：如图，在中，，，，是边上的中线． （1）求的面积； （2）求的余切值． 20. 某数学综合实践活动小组在学校无人机社团的帮助下，在操场上对无人机进行了一次测高实验．如图，两台测角仪分别放在A，B位置，且离地面高均为1m（即），两台测角仪相距（即）．在某一时刻无人机位于点C（点A，B，C所在平面与地面垂直），点A处测得其仰角恰好为，点B处测得其仰角为． （1）求该时刻无人机离地面的高度；（单位：m，结果保留整数） （2）无人机沿方向水平飞行后到达点P（点P与点A，B，C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：，结果精确到）（参考数据：，，，，） 21. 某超市有甲、乙两种商品，若买1件甲商品和4件乙商品，共需元；若买2件甲商品和3件乙商品，共需元． （1）求甲、乙两种商品每件售价分别是多少元？ （2）甲商品每件的成本是元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该超市每天销售甲商品件，若销售单价每上涨1元，甲商品每天的销售量就减少5件．求甲商品每件售价为多少元时，甲商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标（4，3）． （1）求一次函数解析式； （2）若点P是直线AB下方，抛物线上第四象限内的一点，求S△PBA的最大值及此时点P的坐标． 23. 请先阅读这段内容.再解答问题 三角函数中常用公式.求的值， 即. 试用公式，求出的值. 24. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） （1）求图中到一楼地面的高度； （2）求日光灯到一楼地面的高度． 25. 如图，已知二次函数的图象交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点． （1）若，求这个二次函数的表达式； （2）若为的比例中项． ①设这个二次函数的顶点为P，求的面积； ②若M为y轴上一点，N为平面内一点，问：是否存在这样的M、N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学第一学期质量检测题 一、单选题（每题3分） 1. 在Rt△ABC中，已知a边及∠A，则斜边应为　　 （　　） A. asinA B. C. acosA D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义即可解答. 【详解】在Rt△ABC中，由锐角三角函数的定义可得，sinA=，所以斜边=. 故选B. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用锐角三角函数的定义是解决问题的关键. 2. 一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ） A. 1米 B. 2米 C. 4米 D. 5米 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：令y=3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5=3.05，解得：x=4或x=1（舍去）． 所以运行的水平距离为4米．故选C． 考点：二次函数的应用． 3. △ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D为BC上一点，且AD=2CD，则∠DAB=（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】在Rt△ADC中，由得到∠ADC＝60°，而∠ADC＝45°＝∠B＋∠DAB，根据等腰直角三角形即可求出∠ADC． 【详解】解：在Rt△ADC中，∠C=90°，sin∠CAD=， ∴∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝60° 而∠ADC＝∠B＋∠DAB ∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠B＝45° ∴∠DAB＝15°． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角和定理和等腰直角三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键． 4. 若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先利用抛物线的对称性写出抛物线与轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到关于的方程的解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与轴的一个交点坐标为， 即或时，函数值， 所以关于的方程的解为，． 故选：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 5. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 6. 若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可用x表示出y，再代入中，化为顶点式即得出答案． 【详解】由，得 ， ∴， ∴当x＝4时，的最大值是16． 故选：C． 【点睛】本题考查求二次函数的最值．根据题意将得出的二次函数化为顶点式是解题关键． 7. 已知为锐角，且，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】由为锐角，且，直接根据特殊角的三角函数值进行解答，即可得出结论． 【详解】解：∵为锐角，且， 又， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． 8. 如图，要测量一条河两岸相对的两点，之间的距离，我们可以在岸边取点和，使点，，共线且直线与垂直，测得，，，则的长约为(　　) (参考数据，，，，，) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，设，在中由知，在中由知，根据建立关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：设 ， 在中，， ， 在中，，且， ， 由得， 解得， 的长约为， 故选：B． 9. 如图，在的正方形网格中，的值等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据正切函数的定义求解即可. 【详解】解：如图，在直角三角形中，. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正切的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键. 10. 如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（　　）米． A. 25.5 B. 26 C. 28.5 D. 20.5 【答案】B 【解析】 【分析】作AE⊥BC，AF⊥BD，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，结合AD＝10，利用勾股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F， 由i＝3：4， 可设AF＝3x，DF＝4x， ∵AD＝10， ∴9x2+16x2＝100， 解得：x＝2（负值舍去）， 则AF＝BE＝6，DF＝8， ∴AE＝DF+BD＝8+12＝20， ∵∠CAE＝45°， ∴CE＝AE＝20， 则BC＝CE+BE＝20+6＝26， 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 11. 如图，等边的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿的方向向点C移动（到达点C后停止），若的面积为，则下列最能反映与移动时间之间函数关系的大致图象是图2（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形为等边三角形，得到，在三角形中，利用特殊角的三角函数值，勾股定理及三角形的面积公式列出关于S和t的函数，根据函数关系式判断其图像即可． 【详解】（1）如图1，当时，作垂直于于点H，即为的高，底为， ∵三角形为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，当时，作垂直于于点H，即为的高，底为， ∵等边的边长为2cm， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，关于S和t的函数图像应是C． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，借助二次函数和一次函数解决实际问题，难度较大，关键是分类列出面积S与t之间的函数关系式，根据函数的关系式判断函数的图像．此题还考查了等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理等知识点，利用了分类讨论及方程的思想， 12. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（包含端点），顶点坐标为．以下判断：①当时，；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①由抛物线的对称轴为直线，一个交点，得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是，将其代入，并判定其符号；③利用一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到，利用c的取值范围可以求得n的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴直线是， ∵抛物线与x轴交于点， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， 观察图象得：当时，，故①正确； 观察图象得：抛物线开口方向向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴，即，故②错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴方程的两根为，3， ∴，即， ∵抛物线与y轴的交点在、之间（包含端点）， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴当时，， ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键． 二、填空题（每题3分） 13. 如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB=4，BC=3，则tan的值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】过C作CF⊥于点F，交于点E，设CB交于点G，证△CEG∽△CFB，得，则GB＝CG＝，再由平行线的性质得∠α＝∠GAB，然后由锐角三角函数定义求出tan∠BAG＝，即可求解． 【详解】解：过C作CF⊥于点F，交于点E，设CB交于点G， 由题意得：GEBF，CE＝EF， ∴△CEG∽△CFB， ∴， ∵BC＝3， ∴CG＝BC＝1， ∴GB＝CG＝， ∵， ∴∠α＝∠GAB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4， ∴∠ABG＝90°， ∴tan∠BAG＝， ∴tanα＝tan∠BAG＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明△CEG∽△CFB是解题的关键． 14. 将二次函数图像向下平移个单位长度，平移后的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移的规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解． 【详解】解：二次函数图像向下平移个单位长度， ∴， ∴平移后的解析式为， 故答案为： ． 15. 如图，已知二次函数的图象经过点，矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点（0,10）求出抛物线的解析式，根据矩形长和宽的比为2∶1判断四边形OECD是正方形，求出C点的坐标，根据抛物线的对称性，阴影部分的面积等于正方形OECD的面积， 即可求得阴影部分的面积. 【详解】∵此二次函数的图象经过点， ∴． ∵此二次函数图象的对称轴是y轴，且矩形ABCD的长和宽的比为，阴影部分的面积等于正方形OECD的面积， 设点C的坐标为， ∵四边形OECD是正方形， ∴，解得（舍去负值），， ∴点C的坐标是， ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握抛物线的对称性及其性质是关键. 错因分析：中等题．失分原因：①没有掌握二次函数图象对称的性质；②解一元二次方程出错． 16. 二次函数的图象经过、、三点，则，，的大小关系是_________. （用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，得到对称轴为直线，再利用对称性得到的对称点坐标为，最后利用增减性即可得到答案． 【详解】解：， 对称轴为直线， 的对称点坐标为， ， 抛物线开口向上，有最小值，在对称轴左侧，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题关键是掌握二次函数的对称性及增减性． 17. 如图，是的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F，若，，则四边形的周长是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查是三角形角平分线及菱形性质和判定，解直角三角形，解题的关键是掌握平行线性质，证明四边形是菱形．连接交于，证明四边形是菱形，可得，，，在中，可得，故四边形的周长是． 【详解】解：连接交于，如图： ， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， 在中， ， 四边形的周长是， 故答案为：4． 18. 如图，在直角三角形ABC纸片上剪出如图所示的正方体的展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边重合，斜边恰好经过两个正方形的顶点．已知cm，则这个展开图中正方形的边长是______cm． 【答案】##1.5## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 设这个展开图中正方形的边长为，然后延长交于点D，根据三角函数的性质，可求得的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：如图，设这个展开图中正方形的边长为， 延长交于点D， 则，，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即这个展开图中正方形的边长为． 故答案为：． 三、解答题（66分） 19. 已知：如图，在中，，，，是边上的中线． （1）求的面积； （2）求的余切值． 【答案】（1）42 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，三角形中位线定理． （1）作，垂足为点H．先由，可设，那么，根据勾股定理得出，在直角中，由，得出，再根据，列出关于x的方程，解方程求出，得到，然后根据的面积即可求解； （2）作，垂足为点M．先由，得到，由D为中点，得出M为的中点，由三角形中位线定理得出，则，然后在直角中根据余切函数的定义即可求出的余切值． 【小问1详解】 解：过点C作，点H为垂足， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：过点D作，点M为垂足， ， ， ， D为中点， ， 由（1）知：， ， ， 在中，， ． 20. 某数学综合实践活动小组在学校无人机社团的帮助下，在操场上对无人机进行了一次测高实验．如图，两台测角仪分别放在A，B位置，且离地面高均为1m（即），两台测角仪相距（即）．在某一时刻无人机位于点C（点A，B，C所在平面与地面垂直），点A处测得其仰角恰好为，点B处测得其仰角为． （1）求该时刻无人机离地面的高度；（单位：m，结果保留整数） （2）无人机沿方向水平飞行后到达点P（点P与点A，B，C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：，结果精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】（1）约为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等角对等边的性质，一元一次方程的应用． （1）过点C作，垂足为点H，由等角对等边可得出，设，则，解可得出，再根据列出关于x的一次方程，求解后再加上距离地面的高度即可得出答案． （2）过点P作，垂足为点M，根据题意可得，解求出，再根据等量代换以及线段的和差求出，最后根据速度等于距离除以时间即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点C作，垂足为点H， ， ． 设，则． 在中，． ， ， ． ． 答：无人机离地面高度约为． 【小问2详解】 过点P作，垂足为点M， 无人机沿水平飞行， ． 在中，． ． 又． ． 答：无人机水平飞行的平均速度约为． 21. 某超市有甲、乙两种商品，若买1件甲商品和4件乙商品，共需元；若买2件甲商品和3件乙商品，共需元． （1）求甲、乙两种商品每件售价分别是多少元？ （2）甲商品每件的成本是元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该超市每天销售甲商品件，若销售单价每上涨1元，甲商品每天的销售量就减少5件．求甲商品每件售价为多少元时，甲商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种商品每件售价是元，乙种商品每件售价是元 （2）甲商品每件售价为元时，甲商品每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】(1)设甲、乙两种商品每件售价分别是x元，y元，根据题意列方程组即可得到结论； (2)设甲商品每件售价为m元时，每天的销售利润为n元，由题意列出关于m，n的函数关系式；把函数关系式配方即可得到结果． 【小问1详解】 解：设甲种商品每件售价是x元，乙种商品每件售价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：甲种商品每件售价是元，乙种商品每件售价是元． 【小问2详解】 解：设甲商品每件售价为m元时，每天的销售利润为n元， ， ∴此二次函数的图象的开口向下， ∴当时，n有最大值，最大值为元， 答：甲商品每件售价为元时，甲商品每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，准确分析题意，列出二次函数关系式是解题关键． 22. 如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标（4，3）． （1）求一次函数解析式； （2）若点P是直线AB下方，抛物线上第四象限内的一点，求S△PBA的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）y＝x+1；（2）（1，-3）， 【解析】 【分析】（1）将A代入二次函数解析式中，求得b的值，当y等于0时求得B坐标，将A和B的坐标代入y＝mx+n中，求出m和n的值即可； （2）设点P的坐标为 ，过点A作AD⊥x轴于点D，过P作PH垂直于x轴交AB于H点，则H ，利用求出即可得出答案． 【详解】解：将A（4，3）代入y＝x2+bx﹣3中得， 3= ×42+4b﹣3， b= -, ∴y＝x2-x﹣3 当y=0时 x2-x﹣3=0， 解得x1=3 x2=-2 ∴B(-2，0)、C(3，0) 将A（4，3）、B(-2，0)代入y＝mx+n得： 解得 ∴y＝x+1 （2）设点P的坐标为 ，过点A作AD⊥x轴于点D，过P作PH垂直于x轴交AB于H点，则H， ∴， ∴ ∴， ∴当t=1，坐标为（1，-3）时，最大，此时； 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式，三角形的面积，两点间的距离公式，平面直角坐标系内的点到坐标轴的距离等重要知识点，难度不是很大．运用数形结合及方程思想是解题的关键． 23. 请先阅读这段内容.再解答问题 三角函数中常用公式.求的值， 即. 试用公式，求出的值. 【答案】. 【解析】 【分析】将75°化为30°和45°两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来解答． 【详解】， 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答． 24. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） （1）求图中到一楼地面的高度； （2）求日光灯到一楼地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案； （2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可． 【小问1详解】 解：过点作于，如图（2）所示： 设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，． 答：到一楼地面的高度为； 【小问2详解】 解：过点作于交于，过点作于交于， 则，四边形、四边形是矩形，， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ， ， 答：日光灯到一楼地面的高度约为． 25. 如图，已知二次函数的图象交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点． （1）若，求这个二次函数的表达式； （2）若为的比例中项． ①设这个二次函数的顶点为P，求的面积； ②若M为y轴上一点，N为平面内一点，问：是否存在这样的M、N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；；②点N的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据，，可知，利用待定系数法可求出二次函数的表达式； （2）①根据为的比例中项，可推出，求出B、A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的表达式．点P的坐标可求，的面积可求． ②分两种情况讨论，再根据相似求出线段长度，再利用平移规律得到点N的坐标． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ ∴， 把，代入得到 则有 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）①∵ ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 ∴若设点A的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∵为的比例中项． ∴， ∵， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴，， 把，代入得到 则有 ， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， 则有 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 过点P作y轴的平行线交于点Q， 则， ∴， ∴S=， ②存在，分两种情况． 情况一：如图2所示， 此时M于O重合， ∴． 情况二：如图3所示， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 线段可以从平移得到， 点B与点C为对应点，点M与点N为对应点， 点B向左移动个单位，向上移动3个单位得到点C， ∴点M到点N也是同样得平移规律， ∴）． 综上，点N的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形与二次函数的结合，找到相似三角形为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $