第十二章全等三角形 找全等（二）全等证角推位置2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十二章全等三角形 找全等（二）全等证角推位置 【方法技巧】 证明两直线平行或垂直时,经常将问题转化成证角相等,而证明角相等的问题往往 转化成证明两个角所在的三角形全等. 【题型剖析】 1.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，点、在线段上，且，，，判定与的位置关系，并说明理由． 2.（23-24八年级·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在，中，，，，，，三点在同一条直线上，连结． 求证：； ，有何位置关系？请证明你的结论． 3.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，在中，于，于，、交于，且． 求证：． 判断与的位置关系． 4. （23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图，中，，且、、分别是、、边上的点，，，点是的中点，猜想和的位置关系，并说明理由． 5.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）已知：如图，在中，，于点，点为上的一点，且，连结并延长交于点，连结． 求证：； 判断与的数量关系和位置关系，并给出证明； 求证：6.（23-24八年级·天津西青·期中）如图，在中，，是上一点，且，连接并延长交于点，． 求证：≌； 猜想与的位置关系，并证明． 7.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是、的中点． 求证：； 与有怎样的位置关系？请说明理由． 8.（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图在和中，，，． 求证：≌； 判断与的数量与位置关系，并证明． 9.（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，线段与相交于点，连接，，若，，． 请说明点是的中点； 猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． 10.（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，为斜边延长线上一点，连接，在外作等腰直角，，连接． 请在图中找出一对全等三角形，并加以证明不得在图中添加辅助线及字母； 试判断与的位置关系，并加以说明． 11..（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，，， 求证： 过点作于点交直线于点，连接 ，判断与的位置关系，并说明理由． 12.（23-24八年级·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在中，，是上的一点，于点，于点若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 13.（23-24八年级·江苏常州·期末）等腰直角三角形中，，，为射线上的一个动点不与点，重合，连接，以为直角边，为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，使，连接． 如图，当点在线段上时，求证：≌； 如图，当点在线段的延长线上时，请写出线段和的数量关系与位置关系，并证明． 14.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图，等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接． 和全等吗？请说说你的理由； 与的位置关系是：          ； 如图，当图中动点运动到边的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有？说明理由． 15.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接则的度数为______度，线段与的数量关系为______用几何语言填写． 如图，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接若，求与的位置关系． 16.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在中，，，点是的中点，点是边上一点． 直线垂直于于点，交于点如图求证：； 直线垂直于，垂足为，交的延长线于点如图试猜想与有怎样的数量和位置关系？并证明你的猜想． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章全等三角形 找全等（二）全等证角推位置 【方法技巧】 证明两直线平行或垂直时,经常将问题转化成证角相等,而证明角相等的问题往往 转化成证明两个角所在的三角形全等. 【题型剖析】 1.（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，点、在线段上，且，，，判定与的位置关系，并说明理由． 【答案】解：． 理由：， ， 即， ， ， 在和中， ， ≌， ， ．  2.（23-24八年级·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在，中，，，，，，三点在同一条直线上，连结． 求证：； ，有何位置关系？请证明你的结论． 【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌， ； ， 证明：≌， ， 又， ，即， ．  3.（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，在中，于，于，、交于，且． 求证：． 判断与的位置关系． 【答案】证明：如图，于，于， ，， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ． ，理由如下： ≌， ， ≌， ， ， ， ， ．  4. （23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图，中，，且、、分别是、、边上的点，，，点是的中点，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】解：垂直平分，理由如下： ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又点是的中点， 垂直平分．  5.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）已知：如图，在中，，于点，点为上的一点，且，连结并延长交于点，连结． 求证：； 判断与的数量关系和位置关系，并给出证明； 求证： 【答案】证明：，， ， ， ； 解：；；证明如下： 如图， 在和中， ≌， ，， ， ， ； 证明：过点作交于点， ， 即． 又， ， 在和中， ≌， ， 又， ．  6.（23-24八年级·天津西青·期中）如图，在中，，是上一点，且，连接并延长交于点，． 求证：≌； 猜想与的位置关系，并证明． 【答案】证明：于， ， 在和中， ， ≌， 解：． 证明：≌， ， ， ， ， ．  7.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是、的中点． 求证：； 与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】证明：，， ， 在和中 ， ≌， ， ，分别是、的中点， ． ； 解：，理由如下： ≌， ， ， ，， ， ， ．  8.（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图在和中，，，． 求证：≌； 判断与的数量与位置关系，并证明． 【答案】解：， ， ， 在和中， ， ≌； ，，理由： 如图，延长交于，交于， ， 由知，≌， ，， ， ， ， ， ． 与的数量与位置关系为，．  9.（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，线段与相交于点，连接，，若，，． 请说明点是的中点； 猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】证明：， ， 在和中 ， ≌， ， 即点是的中点． ，． 理由：，， ， 在和中 ， ≌， ， ．  10.（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，为斜边延长线上一点，连接，在外作等腰直角，，连接． 请在图中找出一对全等三角形，并加以证明不得在图中添加辅助线及字母； 试判断与的位置关系，并加以说明． 【答案】证明：是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； 解：；理由如下： 由得：≌， ， 在中， ，即 ．  11..（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，，， 求证： 过点作于点交直线于点，连接 ，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】证明：， ， ， ，， 又， ． 解：理由如下： 过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，   12.（23-24八年级·辽宁辽阳·阶段练习）如图，在中，，是上的一点，于点，于点若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】解：理由如下： ，，， ． 在和中， ． ． ， ． ， 即． ． 13.（23-24八年级·江苏常州·期末）等腰直角三角形中，，，为射线上的一个动点不与点，重合，连接，以为直角边，为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，使，连接． 如图，当点在线段上时，求证：≌； 如图，当点在线段的延长线上时，请写出线段和的数量关系与位置关系，并证明． 【答案】证明：在等腰直角三角形与等腰直角三角形中，， ， ， 在与中， ， ≌． ；． 证明：在等腰直角三角形与等腰直角三角形中，， ， ， 在与中， ≌， ，， ， ，即， ， 综上：；．  14.（23-24八年级·重庆云阳·阶段练习）如图，等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接． 和全等吗？请说说你的理由； 与的位置关系是：          ； 如图，当图中动点运动到边的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有？说明理由． 【答案】(1)解：和全等． 理由：∵等边和等边， ∴，，，， ∴，，即． 在和中， ∴；  (2)  (3)． 理由：∵，为等边三角形． ∴，，． ∴， 即． 在和中， ∴， ∴． 又， ∴． ∴．  15.（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接则的度数为______度，线段与的数量关系为______用几何语言填写． 如图，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接若，求与的位置关系． 【答案】    【解析】解：和均为等腰三角形，且， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， 故答案为：；； ， 理由：和均为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ， ． 16.（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在中，，，点是的中点，点是边上一点． 直线垂直于于点，交于点如图求证：； 直线垂直于，垂足为，交的延长线于点如图试猜想与有怎样的数量和位置关系？并证明你的猜想． 【答案】解：点是中点，， ， ，， ， ， 又， ， 又， ， 在和中， ≌， ； ，． 证明：，， ，， ， 又， 在和中， ≌， ． ，点是的中点， ，即．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$