精品解析：广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024～2025学年度第一学期期中考试 高二级数学试题 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ） A. 与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B. 与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C. 与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D. 与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的性质即可求解. 【详解】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等, 故选：B 2. 某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（ ） A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 20万件 【答案】C 【解析】 【分析】确定这类产品的合格率是95%，然后利用样本估计总体的思想，即可求出该厂这20万件产品中合格品的件数． 【详解】因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格， 所以合格的有95件， 所以合格率为， ∴估计该厂这20万件产品中合格品约为万件， 故选C. 3. 若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程得直线的斜率和在轴上的截距，接着由斜率与倾斜角定义及其关系式即可得解. 【详解】由直线方程可得其斜率为，在轴上的截距为， 因为直线的倾斜角为，则且， 所以直线的倾斜角. 故选：B. 4. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 5. 给定数组，则错误的是（    ） A. 中位数为3 B. 标准差为 C. 众数为2和3 D. 第85百分位数为4 【答案】D 【解析】 【分析】求得数组的中位数判断选项A；求得数组的标准差判断选项B；求得数组的众数判断选项C；求得数组的第85百分位数判断选项D. 【详解】将数组从小到大依次排列为 则中位数为，故选项A判断正确； 平均数为 标准差为 ， 故选项B判断正确； 众数为2和3，故选项C判断正确； 由，可得第85百分位数为5. 故选项D判断错误. 故选：D 6. 已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算两次抽取卡片的所有基本事件，再由，即，找出满足的基本事件即可求解. 【详解】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个， 由，即， 故满足的基本事件有共个， 所以所求概率为. 故选：D. 7. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围. 【详解】如图： 问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C 8. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与平面垂直进行验证，垂直时再确认在平面内即可得． 【详解】， 当点O与H间的距离取最小值时，平面， A选项，，，错误； B选项，，，错误； C选项，，，， 此时，，即与共面，所以点在平面内，正确； D选项，，与选项C中的是相反向量，错误； 故选：C． 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数=中位数=众数 B. 图（2）的众数<中位数<平均数 C. 图（2）的众数<平均数<中位数 D. 图（3）的平均数<中位数<众数 【答案】ABD 【解析】 【分析】据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列事件中，是相互独立事件的是（ ） A. 一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B. 袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C. 掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D. 掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB：根据独立事件的定义分析判断；对于C：先求，根据独立事件的乘法公式分析判断；对于D：根据互斥事件与独立事件的关系分析判断. 【详解】对于选项A：把一枚硬币掷两次，对于每次而言结果都是相互独立的， 即其结果不受先后次序的影响．所有事件是相互独立事件，故A正确； 对于选项B：不放回地摸球，显然事件A与事件不相互独立，故B错误； 对于选项C：事件A为出现1，3，5点，， “出现点数为3或4”，则， “出现点数为3”，则， 因为，所以事件相互独立，故C正确； 对于选项D：可知两事件是互斥事件，所以事件不是相互独立事件，故D错误． 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ） A. 当时， B. 直线与所成的角不可能是 C. 若，则二面角平面角的正弦值为 D. 当时，点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出，，利用两点间距离公式求出答案；B选项，设，，根据得到方程，求出，不满足，故直线与所成的角不可能是；C选项，求出平面法向量，得到两法向量的夹角余弦值，进而求出二面角夹角正弦值；D选项，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 正方体棱长为2，，故，， ，A正确； B选项，， 设，， 则， 令，解得，不满足， 故直线与所成的角不可能是，B正确； C选项，，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， ， 设二面角平面角的大小为， 则，C错误； D选项，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出，由直线方向向量定义和向量平行得到方程，求出k的值. 【详解】， 由与平行可得，解得. 故答案为：2 13. 如图，在平行六面体中，，，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件将用表示，然后平方化简后再开方可求得结果. 【详解】在平行六面体中，， 因为，，， 所以 ， 所以. 故答案为：7 14. 由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，，且，要使得，即：，分类讨论当时，对应的的值，得出所有取法，即可求出的概率. 【详解】解：由题可知，，且， 要使得，即：，则有： 当时，或，有2种取法； 当时，的取值增加3、4、5，有2+3种取法； 当时，的取值增加6、7、8，有种取法； 当时，有种取法； 当时，都有1000种取法. 故 . 故答案为：. 【点睛】本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想和计算能力. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 已知的顶点分别为，，. （1）求边的中线所在直线的方程； （2）求边的垂直平分线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件中点的坐标，再求所在直线的方程； （2）根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求垂直平分线的方程. 【小问1详解】 设中点的坐标为， 则， 边的中线过点两点， 所在直线方程为，即； 【小问2详解】 的斜率， 的垂直平分线的斜率， 直线的方程为，即. 16. 为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格. （1）求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀. 【答案】（1），38.25小时 （2）42小时 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出，利用平均数的定义进行计算； （2）要获得优秀即求第70百分位数，第70百分位数之间，列出相应方程，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，解得. 因为， 所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时. 【小问2详解】 由题意得，因为， 那么第70百分位数位于之间. 设第70百分位数为，则，解得. 故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 18. 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． （1）分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； （2）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； （3）若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，） 【答案】（1）乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为 （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为，由，利用指数函数的性质及对数的运算性质计算得解. 【小问1详解】 记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件， 依题意，，所以， ，所以， 所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； 【小问2详解】 记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 则 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； 【小问3详解】 设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为， 令，所以， 所以， 又为正整数，所以，即甲至少要射击次. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 【答案】（1） （2） （3）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）先计算平面法向量，找到平面上一点，然后利用向量的投影计算即可； （3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内的图象，得到其二面角为钝角. 【小问1详解】 由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则有，所以， 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由题可知平面的法向量为，且过点， 因为，所以， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 （i）建立空间直角坐标系， 先分别画平面， 然后得到几何体为几何体是底面边长为的正方形，高为2的长方体， 故几何体的体积为， （ii）由（i）可知，的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，得，画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角， 计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为. 【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中考试 高二级数学试题 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ） A. 与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B. 与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C. 与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D. 与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定 2. 某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（ ） A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 20万件 3. 若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 5. 给定数组，则错误的是（    ） A. 中位数为3 B. 标准差为 C. 众数为2和3 D. 第85百分位数为4 6. 已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数=中位数=众数 B. 图（2）的众数<中位数<平均数 C. 图（2）的众数<平均数<中位数 D. 图（3）的平均数<中位数<众数 10. 下列事件中，是相互独立事件的是（ ） A. 一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B. 袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C. 掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D. 掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ） A. 当时， B. 直线与所成的角不可能是 C. 若，则二面角平面角的正弦值为 D. 当时，点到平面的距离为 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________． 13. 如图，在平行六面体中，，，则______． 14. 由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 已知的顶点分别为，，. （1）求边的中线所在直线的方程； （2）求边的垂直平分线的方程. 16. 为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格. （1）求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． （1）分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； （2）求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； （3）若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，） 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $