24.2.2.2切线的判定与性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第24章 圆 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 24.2.2.2 切线的 判定与性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 知识回顾 图形 公共点个数 直线与圆的 位置关系 公共点名称 直线名称 2 个 交点 割线 1 个 切点 切线 0 个 相离 相切 相交 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 思考：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的? 思考：如何判断一条直线是切线？ 都是沿切线方向飞出的. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 A B C 思考：已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？ 思考： （1） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的 半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ O BY YUSHEN BY YUSHEN 直线与圆相切的判定定理 新知探究 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ∵ l⊥OA 且OA为圆O的半径 ∴ l是⊙O的切线 几何语言表示: Ｏ A B C BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ 不是，没有垂直. 不是，没有经过半径的外端点 O. A O. A O A 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. BY YUSHEN BY YUSHEN 判断一条直线是一个圆的切线有三种方法 新知探究 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 l A l O l r d BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． B C D A E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB = r. ∴ AC 是⊙O 的切线. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，且AC： AB ：BC：2.求证：AC 是☉O 的切线. 证明：∵AC： AB ：BC：2， 设AC=x,则 AB =x，BC=2x， 则+=, 根据勾股定理的逆定理， 得 ∠BAC = 90°，即 AB⊥AC. ∵ AB 是☉O 的直径， ∴ AC 是☉O 的切线. A O C B BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 新知探究 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O 反证法 你能证明吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 切线的性质 新知探究 思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？ A l O 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． ∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点， ∴直线 l⊥OA. 应用格式 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作 OM⊥CD，垂足为 M； 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的 距离小于⊙O 的半径，因此，CD 与⊙O 相交. 这与已知条件“直线 与⊙O 相切”相矛盾； C D B O A （3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直. M 证法：反证法 性质定理的证明 BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 新知探究 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. BY YUSHEN BY YUSHEN 切线的性质 新知探究 1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于半径. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. A l O BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理. 解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行. 则连接两切点之间的线段就是圆的 直径，利用图中刻度尺就可以测量 出圆形工件的直径. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？ O P B A 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 证明：连接OP. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP， ∴∠B=∠OPB ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线. 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线. O A B C E P A B C P E O BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切． 证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC. 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线 AC上一点， ∴OM＝ON， ∴CD与⊙O相切． M N BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 如图， AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论. 解： l1 ∥ l2.理由如下： ∵直线l1，l2是⊙O的切线， ∴ AB⊥l1 ， ∴ AB⊥l2， ∴ l1∥l2. A B . O l2 l1 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 如图，AB是⊙O的直径, AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线,交AC的延长线于点E. 求证：DE⊥AC. 证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠EAD=∠DAO. 又∵OA=OD. ∴∠DAO=∠ODA. ∴∠ODA=∠EAD. ∴OD∥AC. 又∵DE是⊙O的切线, ∴∠ODE=90°. ∴∠E=90°.即DE⊥AC. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例9 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、C 两点，∠P = 30°，连接 AO、AB、AC. 求证：△ACB≌△APO. O A B P C 证明：∵ PA 为⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠OAP＝90°. 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°. 又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形. ∴ AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵ BC 为 ⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB 和 △APO 中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP， ∴△ACB≌△APO (ASA). BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于( ) A.24° B.25° C.28° D.30° C 2. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P，则∠ADP 的度数为 （ ） A．40° B．35° C．30° D．45° C P O D A B C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于_______时，AC才能成为⊙O的切线． 4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C. 若∠A＝25°，则∠D＝__________． 60° 40° BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为 cm. 6. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 . A P O 相切 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB. 求证：AT是⊙O的切线. 证明： ∵ AT=AB， ∴∠T=∠ABT=45°， ∴∠TAB=90°， ∴BA⊥AT， ∴AT是⊙O的切线. A B . O T BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP. O A B P 证明：连接OP. ∵AB切⊙O于点P， ∴OP⊥AB. ∴AP=BP(垂径定理). BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数. B O P A 解：如图，连接 OA. ∵ PA 是⊙O 的切线， ∵∠AOP = 2∠B = 50°， ∴∠P = 90° - 50° = 40°. ∴∠OAP = 90°. BY YUSHEN BY YUSHEN $$