专题5.8 二次函数与一元二次方程（8类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.8 二次函数与一元二次方程（8类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 　【要点提示】 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 【要点提示】 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 【知识点二】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 　【要点提示】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 【知识点三】抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【知识点四】抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【要点提示】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【题型目录】 【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标.............................................5 【题型2】由二次函数值求自变量的值...........................................6 【题型3】图象法解一元二次方程或一元二次不等式...............................8 【题型4】利用不等式求自变量或函数值的取值范围..............................11 【题型5】抛物线与坐标轴交点求不等式的解集..................................13 【题型6】由抛物线与x轴交点确定相关的值....................................16 【题型7】直通中考..........................................................21 【题型8】拓展延伸..........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标 【例1】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像以为顶点，且过点． （1）求该函数图像与坐标轴的交点坐标； （2）将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点． 【答案】(1)与轴的交点坐标为；与轴的交点坐标为；(2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点. （1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； 当时，， 则抛物线与轴的交点坐标为； 当时，，解得， 则抛物线与轴的交点坐标为； （2）解：因为抛物线与轴的交点坐标为， 所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点． 【变式1】（2024·广西柳州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 6 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，即可求解． 解：当时，， 可得抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，，解得，， 可得抛物线与x轴的交点坐标为，， 将抛物线向上平移6个单位长度，或者向左平移3个单位长度，或者向右平移2个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点， 的最小值为2，最大值为6． 故答案为：2，6． 【题型2】由二次函数值求自变量的值 【例2】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点在该函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)B点坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入求解即可． 解：（1）设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）把代入得， 解得，， 点坐标为或． 【变式1】（2020·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当时，二次函数的值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】根据A、B两点纵坐标一样，且都在函数图像上，得出x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，由韦达定理得到，代入解析式即可得解． 解：∵二次函数的图象上有两点A（，2023）和B（，2023）， ∴、是方程的两个根， ∴， ∴当时，有：， 故选C． 【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理；关键在于能发现题干所给条件的特点，会运用韦达定理． 【变式2】（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线与轴正半轴只有一个交点，与轴平行的直线交抛物线于、，交轴于点． ①若抛物线经过，则 ． ②若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系的应用； ①抛物线与轴只有一个交点，则，抛物线过点，则，则故，即可求解； ②设、，则，且，即可求解． 解：①抛物线与轴只有一个交点，则， 抛物线过点，则， 故，解得舍去正值， 故， 故答案为； ②抛物线与轴只有一个交点，则， 设，、点的横坐标分别为、， 则：、， 当时，， 则：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【题型3】图象法解一元二次方程或一元二次不等式 【例3】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）二次函数中的x，y满足下表． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 0 … （1）观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为______； （2）求该抛物线的解析式，并求时x的值； （3）请直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)，直线 (2)；时，或 (3)或 （1）解：当时，， 由表可知，当时，， ∴， 由表可知，当，，当时，， ∴抛物线的对称轴为， 故答案为：,直线； （2）解：由表可知，抛物线经过， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 把代入得：， 解得：， 即时，或； （3）解：当时，， 解得：， 由表可知：当时，或3， 画出该抛物线的图象如图所示： 由图可知，当或时，． 【变式1】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 【题型4】利用不等式求自变量或函数值的取值范围 【例4】（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C．   （1）求点A，B，C的坐标； （2）直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键． （1）令得到，解方程得到，， 即可求出，，然后令，即可求出点C的坐标； （2）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可． 解：（1）令，则， 解得 ，， ∴， 令，则， ∴； （2）∵， ∴图像位于x轴下方， ∴x取值范围为． 【变式1】（2024·甘肃武威·二模）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ；（2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或，故答案为：或． 【题型5】抛物线与坐标轴交点求不等式的解集 【例5】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象回答：当时，的取值范围； （3）当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设抛物线解析式为，再代入，解出，即可作答． （2）运用数形结合思想，即可作答． （3）先化为顶点式得，结合，得出的取值范围，即可作答． （1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：依题意，结合图象，当或时，． （3）解：∵二次函数解析式为． ∴， ∴当时，y有最小值； 当时，； 当时，y的取值范围为． 【变式1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：   ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点拨】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数 自变量和对应函数值的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式． 的解集为 x 0 1 2 y 13 8 5 4 5 8 13 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与不等式解集等知识，由，即，由题意可知，当，时，，且时，二次函数 有最小值4，可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合二次函数的图像即可得出答案． 解：，即， 由题意可知，当，时，， 且时，二次函数 有最小值4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当解集为：， 故答案为：． 【题型6】由抛物线与x轴交点确定相关的值 【例6】（2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． （1）求m的值； （2）如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； （3）将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)或 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识； （1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可； （2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解； （3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可； （1）解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C， ∴顶点 ∵为等腰直角三角形．过点C作， ∴， ∴ 当时， 解得：；， ∴； ∴，解得：； （2）由（1）得：抛物线 ∴当时，，解得：， ∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧） ∴， ∵时，， ∴ ∵，， ∴ ∴为直角三角形；， ∴ （3）∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为 ∵直线与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： ①当直线与抛物线相切时，故联立得 整理得： ∵直线与抛物线相切 ∴方程有两个相等实数根 即： 解得：，（舍）， ②当当直线经过点时，，解得，故联立得 整理得：，解得，．满足题意． 综上所述：或． 【变式1】（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为和，下列说法正确的是（　　） A． B．时，y的值随x值增大而减小 C．对称轴是直线 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，可根据题意画出大致图象，根据图象和性质逐项分析判断即可． 解：由题意可得二次函数的图象大致如图所示： A．由题意可知，抛物线与x轴有两个不同的交点和，所以，因此选项A不符合题意； B．由二次函数的图象可知，当时，y的值随x值增大而增大，因此选项B不符合题意； C．抛物线的对称轴为直线，因此选项C不符合题意； D．当时，，所以二次函数的图象过点，由图象可知，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）已知二次函数与轴交于点，现有下列结论：①方程有两个不相等的实数根；②当时，；③当时，；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，求x轴与抛物线的截线长，一元二次方程根与系数关系． 由二次函数与一元二次方程关系可判断①；直接代入函数解析式可判断②；分的正负，结合二次函数的图象与性质可判断③；由一元二次方程根与系数关系可判断④；最后可确定问题答案． 解：∵二次函数与轴交于点， ∴方程有两个不相等的实数根；故①正确； 当时，；故②正确； 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴时，； 当时，抛物线开口向下， ∵， ∴时，； 故③错误； ∵方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴ ； 故④错误； 即正确的有①②； 故答案为：①②． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1)； (2)；(3)见解析 【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答； （2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答； （3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论． （1）解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． （2）∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． （3）∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图 像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024·四川成都·一模）抛物线与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C． （1）求点A、点B的坐标； （2）如图1，连接，过点B作，交抛物线于点D，直线交于点P，求的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线上一动点（不含C点），作交抛物线于另一点N，直线交于点E，若，求点E的坐标（用含h的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，解方程即可； （2）分别求直线的表达式，再求出点P的坐标，过点P作轴于点E，由，即可求解； （3）设，设，可求，联立，求得，求出，同理可求，联立：，求得点，过点E作轴交于点F，则，由，得，即：，解得，则，故． （1）解：当时，， 解得：， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设，代入A、C， 得：， 解得：， ∴， ∵， ∴设， 代入点B，得：， ∴， ∴， 联立， 解得：或（舍）， ∴， 同理，可求，， 联立， 解得， ∴， 过点P作轴于点E， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：设， ∵，， ∴设， 代入点得，， ∴， ∴， 联立， 得：， 整理得：， ∴， ∴， 设，代入点A、N得， ， 解得：， ∴， 同理可求， 联立：， 解得：， ∴点， 过点E作轴交于点F， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点坐标，三角形的面积等，熟练掌握知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.8 二次函数与一元二次方程（8类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 　【要点提示】 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 【要点提示】 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 【知识点二】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 　【要点提示】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 【知识点三】抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【知识点四】抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【要点提示】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【题型目录】 【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标.............................................5 【题型2】由二次函数值求自变量的值...........................................6 【题型3】图象法解一元二次方程或一元二次不等式...............................8 【题型4】利用不等式求自变量或函数值的取值范围..............................11 【题型5】抛物线与坐标轴交点求不等式的解集..................................13 【题型6】由抛物线与x轴交点确定相关的值....................................16 【题型7】直通中考..........................................................21 【题型8】拓展延伸..........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标 【例1】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像以为顶点，且过点． （1）求该函数图像与坐标轴的交点坐标； （2）将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点． 【答案】(1)与轴的交点坐标为；与轴的交点坐标为；(2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点. （1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； 当时，， 则抛物线与轴的交点坐标为； 当时，，解得， 则抛物线与轴的交点坐标为； （2）解：因为抛物线与轴的交点坐标为， 所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点． 【变式1】（2024·广西柳州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 6 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，即可求解． 解：当时，， 可得抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，，解得，， 可得抛物线与x轴的交点坐标为，， 将抛物线向上平移6个单位长度，或者向左平移3个单位长度，或者向右平移2个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点， 的最小值为2，最大值为6． 故答案为：2，6． 【题型2】由二次函数值求自变量的值 【例2】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点在该函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)B点坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入求解即可． 解：（1）设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）把代入得， 解得，， 点坐标为或． 【变式1】（2020·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当时，二次函数的值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】根据A、B两点纵坐标一样，且都在函数图像上，得出x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，由韦达定理得到，代入解析式即可得解． 解：∵二次函数的图象上有两点A（，2023）和B（，2023）， ∴、是方程的两个根， ∴， ∴当时，有：， 故选C． 【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理；关键在于能发现题干所给条件的特点，会运用韦达定理． 【变式2】（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线与轴正半轴只有一个交点，与轴平行的直线交抛物线于、，交轴于点． ①若抛物线经过，则 ． ②若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系的应用； ①抛物线与轴只有一个交点，则，抛物线过点，则，则故，即可求解； ②设、，则，且，即可求解． 解：①抛物线与轴只有一个交点，则， 抛物线过点，则， 故，解得舍去正值， 故， 故答案为； ②抛物线与轴只有一个交点，则， 设，、点的横坐标分别为、， 则：、， 当时，， 则：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【题型3】图象法解一元二次方程或一元二次不等式 【例3】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）二次函数中的x，y满足下表． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 0 … （1）观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为______； （2）求该抛物线的解析式，并求时x的值； （3）请直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)，直线 (2)；时，或 (3)或 （1）解：当时，， 由表可知，当时，， ∴， 由表可知，当，，当时，， ∴抛物线的对称轴为， 故答案为：,直线； （2）解：由表可知，抛物线经过， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 把代入得：， 解得：， 即时，或； （3）解：当时，， 解得：， 由表可知：当时，或3， 画出该抛物线的图象如图所示： 由图可知，当或时，． 【变式1】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 【题型4】利用不等式求自变量或函数值的取值范围 【例4】（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C．   （1）求点A，B，C的坐标； （2）直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键． （1）令得到，解方程得到，， 即可求出，，然后令，即可求出点C的坐标； （2）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可． 解：（1）令，则， 解得 ，， ∴， 令，则， ∴； （2）∵， ∴图像位于x轴下方， ∴x取值范围为． 【变式1】（2024·甘肃武威·二模）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【题型5】抛物线与坐标轴交点求不等式的解集 【例5】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象回答：当时，的取值范围； （3）当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设抛物线解析式为，再代入，解出，即可作答． （2）运用数形结合思想，即可作答． （3）先化为顶点式得，结合，得出的取值范围，即可作答． （1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：依题意，结合图象，当或时，． （3）解：∵二次函数解析式为． ∴， ∴当时，y有最小值； 当时，； 当时，y的取值范围为． 【变式1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：   ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点拨】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数 自变量和对应函数值的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式． 的解集为 x 0 1 2 y 13 8 5 4 5 8 13 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与不等式解集等知识，由，即，由题意可知，当，时，，且时，二次函数 有最小值4，可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合二次函数的图像即可得出答案． 解：，即， 由题意可知，当，时，， 且时，二次函数 有最小值4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当解集为：， 故答案为：． 【题型6】由抛物线与x轴交点确定相关的值 【例6】（2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． （1）求m的值； （2）如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； （3）将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)或 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识； （1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可； （2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解； （3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可； （1）解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C， ∴顶点 ∵为等腰直角三角形．过点C作， ∴， ∴ 当时， 解得：；， ∴； ∴，解得：； （2）由（1）得：抛物线 ∴当时，，解得：， ∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧） ∴， ∵时，， ∴ ∵，， ∴ ∴为直角三角形；， ∴ （3）∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为 ∵直线与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： ①当直线与抛物线相切时，故联立得 整理得： ∵直线与抛物线相切 ∴方程有两个相等实数根 即： 解得：，（舍）， ②当当直线经过点时，，解得，故联立得 整理得：，解得，．满足题意． 综上所述：或． 【变式1】（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为和，下列说法正确的是（　　） A． B．时，y的值随x值增大而减小 C．对称轴是直线 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，可根据题意画出大致图象，根据图象和性质逐项分析判断即可． 解：由题意可得二次函数的图象大致如图所示： A．由题意可知，抛物线与x轴有两个不同的交点和，所以，因此选项A不符合题意； B．由二次函数的图象可知，当时，y的值随x值增大而增大，因此选项B不符合题意； C．抛物线的对称轴为直线，因此选项C不符合题意； D．当时，，所以二次函数的图象过点，由图象可知，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）已知二次函数与轴交于点，现有下列结论：①方程有两个不相等的实数根；②当时，；③当时，；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，求x轴与抛物线的截线长，一元二次方程根与系数关系． 由二次函数与一元二次方程关系可判断①；直接代入函数解析式可判断②；分的正负，结合二次函数的图象与性质可判断③；由一元二次方程根与系数关系可判断④；最后可确定问题答案． 解：∵二次函数与轴交于点， ∴方程有两个不相等的实数根；故①正确； 当时，；故②正确； 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴时，； 当时，抛物线开口向下， ∵， ∴时，； 故③错误； ∵方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴ ； 故④错误； 即正确的有①②； 故答案为：①②． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1)； (2)；(3)见解析 【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答； （2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答； （3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论． （1）解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． （2）∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． （3）∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图 像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024·四川成都·一模）抛物线与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C． （1）求点A、点B的坐标； （2）如图1，连接，过点B作，交抛物线于点D，直线交于点P，求的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线上一动点（不含C点），作交抛物线于另一点N，直线交于点E，若，求点E的坐标（用含h的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，解方程即可； （2）分别求直线的表达式，再求出点P的坐标，过点P作轴于点E，由，即可求解； （3）设，设，可求，联立，求得，求出，同理可求，联立：，求得点，过点E作轴交于点F，则，由，得，即：，解得，则，故． （1）解：当时，， 解得：， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设，代入A、C， 得：， 解得：， ∴， ∵， ∴设， 代入点B，得：， ∴， ∴， 联立， 解得：或（舍）， ∴， 同理，可求，， 联立， 解得， ∴， 过点P作轴于点E， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：设， ∵，， ∴设， 代入点得，， ∴， ∴， 联立， 得：， 整理得：， ∴， ∴， 设，代入点A、N得， ， 解得：， ∴， 同理可求， 联立：， 解得：， ∴点， 过点E作轴交于点F， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点坐标，三角形的面积等，熟练掌握知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$