专题08 第十二章全等三角形重难点检测卷（拔尖卷） 2024-2025学年人教版 数学八年级上册

第12章 全等三角形重难点检测卷（拔尖卷） 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，补充下列条件后不能证明的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，中，平分，于点E，若的面积是8，，，则的长度为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（3分）（23-24八年级·山东聊城·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 4．（3分）（23-24八年级·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 5．（3分）（23-24八年级·北京·期中）如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（23-24八年级·广西南宁·期中）如图所示，在中，，高，高交于点．若，，则的长度为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.8 7．（3分）（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在凸五边形ABCDE中，，，，，，则凸五边形ABCDE的面积等于（  ） A．2 B． C． D． 8．（3分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，AOOM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 (      ) A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化 9．（3分）（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 10．（3分）（23-24八年级·天津·期中）如图，中，、的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，，．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分；②；③；③． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·山东日照·期中）如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是 ． 12．（3分）（23-24八年级·重庆·期中）如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 13．（3分）（23-24八年级·河南南阳·期中）如图，在中，，，是的平分线上的一点，且，点沿折叠后与点重合，则的度数是 ． 14．（3分）（23-24八年级·安徽六安·期中）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于 E、 作于F，  当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 15．（3分）（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点是直线l上的点，以为边作等腰，使，则点Q的坐标是 ． 16．（3分）（23-24八年级·山东日照·阶段练习）如图，中，，角平分线相交于，，，则 ． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级·重庆江津·期中）已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．    18．（6分）（23-24八年级·黑龙江·单元测试）如图，已知．求证：F是的中点． 19．（6分）（23-24八年级·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    20．（8分）（23-24八年级·山东泰安·阶段练习）如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 21．（8分）（23-24八年级·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 22．（9分）（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，．    (1)①当时，点Q的坐标为______； ②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）； (2)当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由． 23．（9分）（23-24八年级·福建三明·期中）如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 24．（10分）（23-24八年级·湖北咸宁·期中）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 25．（10分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形重难点检测卷（拔尖卷） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，补充下列条件后不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据可得，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解： ， ， A，添加后，可得，利用可证； B，添加后，利用可证； C，添加后，仅满足，不能证明； D，添加后，利用可证； 故选C． 2．（3分）（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，中，平分，于点E，若的面积是8，，，则的长度为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：作于F，先利用角平分线的性质得到，再根据求解即可． 【详解】解：如图：作于F， ∵平分，、， ∴， ，，， ，即，解得：． 故选：D． 3．（3分）（23-24八年级·山东聊城·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可． 【详解】解：A、如图和的斜边都是，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； B、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D、，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（3分）（23-24八年级·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 5．（3分）（23-24八年级·北京·期中）如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，延长至点，使，连接，证明，得，在中，，代入数据即可得出结论．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∴， ∵点是的中点，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴线段的长度有可能是． 故选：C． 6．（3分）（23-24八年级·广西南宁·期中）如图所示，在中，，高，高交于点．若，，则的长度为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质，先由已知得到，根据三角形面积求出，证明，即可求得，进而可得答案． 【详解】解： ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．（3分）（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在凸五边形ABCDE中，，，，，，则凸五边形ABCDE的面积等于（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸五边形ABCDE的面积． 【详解】解：作EG⊥AC于点G，作BF⊥AC于点F，作DH⊥AC于点H， 则∠EGA＝∠AFB＝∠BFC＝∠CHD＝90°， ∴∠EAG＋∠AEG＝90°， ∵AB⊥AE，BC⊥CD， ∴∠EAB＝∠BCD＝90°， ∴∠EAG＋∠FAB＝90°， ∴∠AEG＝∠BAF， 在△EAG和△ABF中， ， ∴△EAG≌△ABF（AAS）， ∴AG＝BF，EG＝AF， 同理可证：△BFC≌△CHD， ∴BF＝CH，CF＝DH， 设AG＝x，EG＝y，CF＝z，则BF＝CH＝x，AF＝y，DH＝z， ∴S凸五边形ABCDE＝S△AEG＋S△AFB＋S△BFC＋S△CDH＋S梯形EGHD ＝ ＝， ∵y＋z＝AF＋FC＝AC＝m， ∴＝12m2， 即凸五边形ABCDE的面积等于12m2， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 8．（3分）（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，AOOM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 (      ) A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化 【答案】B 【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题． 【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N， ∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°， ∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°， ∴∠BAO=∠NBE， ∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形， ∴AB=BE，BF=BO； 在△ABO与△BEN中， ∴△ABO≌△BEN（AAS）， ∴BO=NE，BN=AO； ∵BO=BF， ∴BF=NE， 在△BPF与△NPE中， ∴△BPF≌△NPE（AAS）， ∴BP=NP=BN；而BN=AO， ∴BP=AO=×8=4， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答． 9．（3分）（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 10．（3分）（23-24八年级·天津·期中）如图，中，、的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，，．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分；②；③；③． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ=PN，PQ=PM，求出PQ=PM=PN，求出∠PMA=∠PNC=∠PQA=∠PQC=90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可． 【详解】解：过P作PQ⊥AC于Q， ∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM=PQ，PQ=PN， ∴PM=PN， ∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA=∠PQA=90°，∠PQC=∠PNC=90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， ， ∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL）， ∴∠MPA=∠QPA， 同理Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴∠QPC=∠NPC， ∵∠PMA=∠PNC=90°， ∴∠ABC+∠MPN=360°-90°-90°=180°， ∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确； ∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN， 又∵∠PCN=∠ABC+∠CPB， ∴∠ABC+∠CAB=2（∠ABC+∠CPB）， ∴∠CAB=2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴S△PAC=S△MAP+S△NCP，故④正确； 即正确的个数是4， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·山东日照·期中）如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的证明，关键在于通过作辅助线构造全等三角形，同时注意坐标与线段长度之间的转化． 通过作辅助线构造全等三角形，然后利用全等三角形对应边相等的性质建立等式，得到关于、的等式，即可确定、之间的数量关系． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点． ． ． ． 在和中： ， ． ． ，． ． ． ． ． ． 故答案为：． 12．（3分）（23-24八年级·重庆·期中）如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接，根据角平分线的性质，可得点到的距离相等，则可得的面积，再根据，求得的面积，根据求得和的面积，即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得四边形的面积，即可解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 的平分线交于点， 点到的距离相等， ， ， 的面积为4， , ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 13．（3分）（23-24八年级·河南南阳·期中）如图，在中，，，是的平分线上的一点，且，点沿折叠后与点重合，则的度数是 ． 【答案】． 【分析】利用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质得出，再根据得到，再利用翻折变换的性质得出，，进而求出． 【详解】解：，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点沿折叠后与点重合， ，， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键． 14．（3分）（23-24八年级·安徽六安·期中）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于 E、 作于F，  当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【答案】或或6 【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，P在上，Q在上，则，， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，则，， 由①知：， ， ； 因为此时，所以此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ， ； ④当Q到A点停止，P在上时，，时，解得． ⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在； 综上，点P运动或或6秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等． 故答案为：或或6． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 15．（3分）（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点是直线l上的点，以为边作等腰，使，则点Q的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查坐标与图形，解答本题的关键在于构造合适的辅助线，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，要明确，只能为直角边作出等腰直角三角形，本题即可求解． 【详解】解：∵点，点， 又∵， ∴只能为直角边． 如图，过点作，使得， 过点作已知直线l的垂线交于点，过点作轴， 过点作已知直线l的垂线交于点． 为等腰直角三角形， ， ， 又， ， ． ， ． ． 同理，可证， ； ． ． 故答案为：或． 16．（3分）（23-24八年级·山东日照·阶段练习）如图，中，，角平分线相交于，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段上截取，，连接， ，过M作于H，于J，利用双角平分线证明，，，利用角平分线的性质证明，进而求出，，再根据面积关系，求出，即可求出． 【详解】解：在线段上截取，，连接， ，过M作于H，于J，如图； 平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级·重庆江津·期中）已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．首先证明，推出，再根据可以证明． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 18．（6分）（23-24八年级·黑龙江·单元测试）如图，已知．求证：F是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，关键是熟记全等三角形的判定定理；连接、，由全等三角形的判定定理“”证得，则，然后证明，进而得到，据此可得结论． 【详解】证明：连接，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴F是的中点． 19．（6分）（23-24八年级·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    【答案】见解析 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【详解】解：如图所示，（答案不唯一）    【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形． 20．（8分）（23-24八年级·山东泰安·阶段练习）如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）先由推导出，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由求得，再由全等三角形的对应角相等求得，则，再由求得的度数． 【详解】（1）， ， ， 在和中， ， ∴≌． （2）， ， ， ． 21．（8分）（23-24八年级·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)48 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 22．（9分）（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，．    (1)①当时，点Q的坐标为______； ②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）； (2)当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①  ② (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据，点Q在第二象限，写出点Q的坐标；②过点作于点，则有，求出点Q的坐标； （2）在上截取，连接，则有，即可得到，，然后证明，可以得到结论． 【详解】（1）①当时，点在原点处，如图， ， 又∵点Q在第二象限， ∴点Q的坐标为， 故答案为：；    ②过点作于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为；    （2），理由为：    在上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 23．（9分）（23-24八年级·福建三明·期中）如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)图见解析，见解析 【分析】（1）由，，可得，即得，即可证明；延长，交于点，由，，可得，故，由知，可得，因，即可证明； （2）根据作一个角等于已知角的步骤即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知点，，这三个点在同一直线上． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ②理由：分别延长，交于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． （2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交于M，交于N，②以B为圆心，的长为半径画弧交于K，③以K为圆心，的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线，则即为所求；    ∵， ∴， 由（1）②知，， ∴过B的直线都与平行， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，这三个点在同一直线上． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 24．（10分）（23-24八年级·湖北咸宁·期中）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 25．（10分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$