专题07 第十二章 全等三角形重难点检测卷（培优卷）2024-2025学年人教版数学八年级上册

第12章 全等三角形重难点检测卷（培优卷） 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·辽宁锦州·期末）如图，，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（23-24八年级·河南商丘·期中）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（   ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 3．（3分）（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，点A在上，，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在中，是它的角平分线，，，，则 （     ） A． B． C． D． 5．（3分）（23-24八年级·四川雅安·期末）如图，厘米，，厘米，点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（秒）．设点Q的运动速度为v厘米/秒，如果与全等，那么v的值为（   ） A．2 B．3 C．2或 D．1或3 6．（3分）（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（　　） A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米 7．（3分）（23-24八年级·河北衡水·期末）对于题目：“已知，用直尺和圆规作出的平分线”，有以下四种作法，其中作法错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（    ） A．180° B．200° C．210° D．240° 9．（3分）（23-24八年级·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 10．（3分）（23-24八年级·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 12．（3分）（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在三角形钢架中，，是连接点与中点的支架．若，则的大小为 度． 13．（3分）（2024八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为 cm． 14．（3分）（23-24八年级·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 15．（3分）（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是 ． 16．（3分）（23-24八年级·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，．求证：． 18．（6分）（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． (1)求证：； (2)若点D是的中点，的面积是20，求的面积， 19．（6分）（23-24八年级·四川广元·阶段练习）把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形． 20．（8分）（23-24八年级·重庆·期末）在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（8分）（23-24八年级·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 22．（9分）（23-24八年级·甘肃张掖·期末）已知 ，点D、F分别为线段、上两点，连接、交于点E． (1)若，，如图1所示， 度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 23．（9分）（23-24八年级·福建龙岩·期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 24．（10分）（23-24八年级·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（10分）（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形重难点检测卷（培优卷） 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·辽宁锦州·期末）如图，，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“全等三角形对应角相等，对应边相等”依次判断即可． 本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 故A选项正确； ∵中，， ， ， ∴， 故B选项正确； ∵中，， ， ， ， ， ∴， 故C选项正确； ∵， ， ， 故D选项错误． 故选：D 2．（3分）（23-24八年级·河南商丘·期中）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（   ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图所示：过点作，， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 3．（3分）（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，点A在上，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 先利用三角形内角和，由得到，再由得到，于是利用“”可证明，然后根据全等三角形的性质可对各选项进行判断． 【详解】解：令、交于点， 则 ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 故选：B． 4．（3分）（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在中，是它的角平分线，，，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，可得出的边上的高与的上的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出与的面积之比． 【详解】解：∵是的角平分线，设的边上的高与的上的高分别为 ∴， ∴与的面积之比 故选：B． 5．（3分）（23-24八年级·四川雅安·期末）如图，厘米，，厘米，点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（秒）．设点Q的运动速度为v厘米/秒，如果与全等，那么v的值为（   ） A．2 B．3 C．2或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，分情况讨论，当时，当时，，，再根据时间、路程、速度之间的关系即可求解． 【详解】解：分两种情况： 当时，可得：， ∵运动时间相同， ∴P，Q的运动速度也相同， ∴． 当时，，， ∴， ∴， ∴， 综上可知，v的值为2或， 故选C． 6．（3分）（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（　　） A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米 【答案】B 【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG=4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE． 【详解】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G， ∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°， ∠AOF+∠OAF=90°， ∴∠COG=∠OAF， 在△AOF与△OCG中， ， ∴△AOF≌△OCG（AAS）， ∴OG=AF=BD=4米， 设AO=x米， 在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2， 解得x=8.5． 则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）． 故选：B． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 7．（3分）（23-24八年级·河北衡水·期末）对于题目：“已知，用直尺和圆规作出的平分线”，有以下四种作法，其中作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的尺规作图方法可直接判断A作法正确；根据全等三角形的判定与性质可判断B作法正确；根据角平分线的判定与性质可判断C作法正确；根据作图方法无法判断D作法正确． 【详解】解：A选项中，由作图痕迹可知是的平分线， 故A选项作法正确，不符合题意； B选项中，如图， 由作法可知，点P是垂直平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B选项作法正确，不符合题意； C选项中，点P为与的平分线的交点， ∴点P到线段的距离都相等， ∴为的平分线， 故C选项作法正确，不符合题意； D选项中，点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点， 无法说明为的平分线， 故D选项作法不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 8．（3分）（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（    ） A．180° B．200° C．210° D．240° 【答案】A 【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到． 【详解】解：过点作于，如图， 是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键． 9．（3分）（23-24八年级·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题． 【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．    ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE＝∠AB′E， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′＝∠AB′E， ∴∠ABE＝∠AHC′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′＝∠ACD， ∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD， ∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC， ∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°， ∴∠C′AH＝120°， ∴∠C′＋∠AHC′＝60°， ∴∠BFC＝60°＋40°＝100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 10．（3分）（23-24八年级·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为， 或， 当， ∵， ∴这种情况不存在， 当， ∴． 故答案为：10． 12．（3分）（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在三角形钢架中，，是连接点与中点的支架．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查利用三角形全等求角度，涉及三角形全等的判定与性质、中点定义，利用判断，结合全等性质即可得到答案，熟练掌握三角形全等判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解： 的中点是， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（3分）（2024八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为 cm． 【答案】17 【分析】首先连接EF，由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，再根据平行线的性质，得出∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，然后利用ASA，证明△CEF≌△DFE，再利用全等三角形的性质，得出DE＝CF，进而得出AF＝CF＝DE＝3cm，再根据中点的性质，得出EC＝EB＝DF＝5.5cm，然后即可求出四边形DECF的周长． 【详解】解：连接EF． 由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC， ∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF， 在△CEF和△DFE中， ， ∴△CEF≌△DFE（ASA）， ∴DE＝CF， ∴AF＝CF＝DE＝3cm ∵E是BC的中点， ∴EC＝EB＝DF＝5.5cm， ∴四边形DECF的周长＝2（3+5.5）＝17cm． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、平移的性质，解本题的关键在熟练掌握平移的性质．平移的性质：对应点的连线平行且相等；对应线段平行且相等． 14．（3分）（23-24八年级·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．已知，，先根据“”证明，则，，再证明，即可根据“”证明，得，，然后根据“”证明，同样方法可得，，从而可判断图中的全等三角形共有5对． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，图中的全等三角形共有5对． 故答案为：5． 15．（3分）（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是 ． 【答案】（3，7） 【分析】过Q作QE⊥y轴于E点，证明△QEP≌△POA，得到EQ=PO=3，EP=OA=4后即可求解． 【详解】解：过Q作QE⊥y轴于E点，如下图所示： ∵旋转90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵EQ⊥y轴， ∴∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3， 且∠QEP=∠POA=90°，PQ=PA， ∴△QEP≌△POA(AAS)， ∴EQ=PO=3，EP=OA=4， ∴EO=EP+PO=4+3=7， ∴点Q的坐标是(3，7)， 故答案为：(3，7)． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，坐标与图形，本题的关键过Q作QE⊥y轴于E点，证明△QEP≌△POA． 16．（3分）（23-24八年级·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是是解题的关键． 【详解】解：如图：，过作于，过作 交延长线于，延长到使 ， ， ， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，解题的关键是证明三角形全等． 证明，得到即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18．（6分）（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． (1)求证：； (2)若点D是的中点，的面积是20，求的面积， 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形面积相等，结合三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴． 19．（6分）（23-24八年级·四川广元·阶段练习）把的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：三种不同的分法： 【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 20．（8分）（23-24八年级·重庆·期末）在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据“”证明即可； （2）根据三角形内角和定理得出，根据，求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 21．（8分）（23-24八年级·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)说明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ，即， 在与中， ， ， ，， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知，， 与相交于点， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点． 22．（9分）（23-24八年级·甘肃张掖·期末）已知 ，点D、F分别为线段、上两点，连接、交于点E． (1)若，，如图1所示， 度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 【答案】(1)180 (2) (3)详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，然后表示即可得到结论； （3）作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 【详解】（1）解：（1），， ， ， ∵， ； 故答案为：180． （2）平分，平分， ，， ∵， ∴； （3）作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ∴， ， 同理， ． 23．（9分）（23-24八年级·福建龙岩·期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°． 【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN； (2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN； (3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数. 【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN． 理由：如图1中，    ∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN， ∴△MBP≌△ANP（SAS）， ∴MB＝AN． 延长MB交AN于点C． ∵△MBP≌△ANP， ∴∠PAN＝∠PMB， ∵∠PAN+∠PNA＝90°， ∴∠PMB+∠PNA＝90°， ∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°， ∴BM⊥AN． （Ⅱ）结论成立 理由：如图2中，    ∵△APM，△BPN，都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60° ∴∠MPB＝∠APN＝120°， 又∵PM＝PA，PB＝PN， ∴△MPB≌△APN（SAS） ∴MB＝AN． （Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．    ∵△APM，△PBN都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN ∵点C是PB的中点，且PN＝2PM， ∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN， ∵∠APC＝60°， ∴△APC为等边三角形， ∴∠PAC＝∠PCA＝60°， 又∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°． 【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键. 24．（10分）（23-24八年级·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 25．（10分）（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$