解三角形专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习20--解三角形专项练习 一、单选题 1．（2023·河北保定·三模）已知外接圆的半径为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林·模拟预测）在中，角的对边分别为的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南通·模拟预测）锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2024·湖南·模拟预测）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）在中，，D为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（    ） A．268米 B．265米 C．266米 D．267米 8．（2023·河南周口·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·山西太原·一模）外接圆半径为的满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的面积是 D．的周长是 10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（     ） A．在中，若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若在线段 上，且，则的面积为8 D．若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 11．（2024·辽宁·模拟预测）中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是（   ） A． B．，，不能构成三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若，，均为有理数，则为有理数 三、填空题 12．（2024·四川绵阳·一模）记内角，，的对边分别为，，．已知，则 ． 13．（2023·河北·三模）在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是 . 14．（2024·安徽·模拟预测）某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域，其中三角形区域中，百米，百米，三角形区域是以为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域内修建水上项目，则的最大面积为 四、解答题 15．（2024·广东佛山·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求的面积； (2)若，求. 16．（2024·浙江·一模）在中，角对应的的三边分别是，，，且. (1)求角的值； (2)若，，求的面积. 17．（2024·四川雅安·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若的外接圆半径为4，且，求的面积． 18．（2024·广东肇庆·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求的面积； (2)求A的最大值. 19．（2024·贵州铜仁·模拟预测）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求实数的最小值 参考答案： 1．B 【分析】根据正弦定理对进行边角转换，再利用余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为 由得， 由余弦定理得 所以由得， 因为，所以，因为， 由余弦定理得，解得， 所以. 故选：B 2．B 【分析】借助余弦定理计算可得，借助三角恒等变化公式化简可得，代入计算即可得角的大小. 【详解】因为，由余弦定理得， 所以，又，所以， 因为， 所以， 即， 又，所以， 所以或（舍）， 所以，所以. 故选：B. 3．A 【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值. 【详解】因为，， 则设 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即， . 故选：A. 4．B 【分析】首先通过余弦定理对已知条件化简整理，得出之间的关系，然后再对化简整理，并结合正弦定理和之间的关系即可求解. 【详解】由余弦定理可知，， 从而可得， 即且， 又因为， 由正弦定理可知. 故选：B 5．B 【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出塔AB的高度即可. 【详解】平面，平面， 过点作，交于点，则有，， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 则. 故选：B. 6．B 【分析】利用等面积法建立边的等量关系，再利用基本不等式求的最小值即可求解. 【详解】 如图，由已知，，且， 的面积， 又， 则有，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7．C 【分析】根据题意，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．由题中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高. 【详解】 如图，分别过,作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E． 根据题意易得，． 在中，由正弦定理得， 在中，,则， 在中，,则， 所以米． 故选：C. 8．C 【分析】由正弦定理可得，结合余弦定理可得，进而结合余弦定理和三角形三边关系可求结果. 【详解】由正弦定理及，可得， 所以， 所以，所以，因为，所以， 因为外接圆的半径为，所以， 又由余弦定理可得， ，当且仅当时取等号，所以，又， 所以的取值范围为. 故选：C. 9．AC 【分析】由两角和与差的余弦展开式化简已知得，得可判断A；，再由求出可判断B；正弦定理求出，勾股定理求出，由求出面积可判断C；求出周长可判断D. 【详解】对于A，， 即， （其中，，） 所以，，故A正确； 对于B， ， 因为，所以，所以， 而，故B错误； 对于C，取的中点，连接， 由A，B的解析知，故外接圆圆心点在的延长线上， 连接， 因为的外接圆半径，所以， 所以， 所以， ， ， ， ，故C正确； 的周长，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是，，利用有界性求出，. 10．ACD 【详解】利用正弦定理结合三角形中大边对大角，可判断A；化简条件得到，求得或，可判定B；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D． 【分析】对于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B中，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由在线段上，且，，，， 则，设， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 在中，可得，则， 所以的面积为，故C正确； 对于D，在中，因为，， 则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ACD. 11．ACD 【分析】根据三角形三边关系，平方即可求解A，利用即可判断B，利用余弦定理以及不等式的性质即可求解C，利用余弦定理，结合图形关系即可求解D. 【详解】对于A,由于，平方可得，相加化简可得，故A正确， 对于B，取，则，，能构成三角形，B错误， 对于C，由可知，故为最大的内角，则， 故为锐角，进而可得为锐角三角形，C正确， 对于D，若，，均为有理数，则均为有理数， 则为有理数，不妨设，延长到，使得， 过作，故， 由于， 故为有理数，所以均为有理数， 因此为有理数， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用三角形图形关系，作出，在中由余弦定理即可求解. 12． 【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解. 【详解】由，故， 则，故. 故答案为：. 13．或 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求出范围. 【详解】在中，由正弦定理，得， 当时，只有一个解，； 当时，只有一个解，则，即，解得， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 14．平方百米 【分析】建立平面直角坐标系，利用点坐标以及点的轨迹求得的最大面积. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设，则，， 所以的面积为， 由于，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 设，则， 所以， 所以当时，三角形的面积取得最大值为平方百米. 故答案为：平方百米 【点睛】求解三角形面积有关问题，要选择合适的三角形面积公式.求解三角形面积最值有关问题，可先求得三角形面积的表达式，然后根据表达式的结构，考虑利用三角函数、不等式等知识来求最值. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得到，从而得到，再由面积公式计算可得； （2）由余弦定理得到，从而得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解. 【详解】（1）因为，， 由正弦定理可得，所以， 所以； （2）因为，又，， 所以，所以，则， 由正弦定理可得，又， 所以，显然，所以，则， 又，所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，可得； （2）根据可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得边长即求出面积. 【详解】（1）根据题意由正弦定理可得， 整理可得， 即，所以； 可得，又，所以， 又，因此. （2）由三角形内角关系可得， 由可得，解得或； 当时，，又，所以两角均为钝角，不合题意； 因此，； 又，可得，同理； 由正弦定理可得，可得， 同理 因此的面积为. 17．(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理将等式化简约分，可求得，即可求得结果； （2）结合第（1）问及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化简得，求出三角形面积即可. 【详解】（1） 根据正弦定理的变形公式可得， 因为，所以，即， 因为，所以，则，即； （2）因为，所以， 则，即， 又，所以， 因为的外接圆半径为， 所以由正弦定理可得， 所以， 所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）已知，，利用余弦定理化简得，结合，可求的面积； （2）解法一：已知，，利用正弦定理得，由，利用基本不等式求的最大值，可得A的最大值. 解法二：过点A作交BC于点H，，，设，则，，得，利用基本不等式求的最大值，可得A的最大值. 【详解】（1）由余弦定理，得， 所以. （2）解法一：因为，，所以， 由正弦定理，可得， 则，因为，所以，C是钝角，所以B是锐角， 所以 . 当且仅当时等号成立，此时，，. 又因为A为锐角，正切函数在上是增函数，所以，故A的最大值为. 解法二： 因为，则，所以C为钝角， 如图，过点A作交BC于点H， 则， ， 设，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为角A为锐角，正切函数在上是增函数， 所以，故的最大值为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而； （2）设，在，，中由余弦定理得关于的方程，再由解出，最后由面积公式求解即可； （3）设，由得，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出，再结合得到，从而由均值不等式得，从而得到的最小值. 【详解】（1）由， 得， 得， 得， 得，即， 所以为直角三角形，. （2）由（1）知，所以的三个角都小于， 因为点为的费马点， 所以，设，    在中，， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得， 由， 得 . （3）由（2）知. 设， 由得. 由余弦定理得： 在中，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 整理得. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得， 解得或者（舍去）， 所以实数的最小值为 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$