三角恒等变换专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习19--三角恒等变换专项练习 一、单选题 1．（2024·云南大理·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东肇庆·一模）已知，，则（   ） A． B．或 C． D．或 3．（2024·浙江金华·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知函数的最小正周期为10，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 7．（2024·北京·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·海南·模拟预测）已知，，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·吉林·模拟预测）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若， 11．（2024·四川绵阳·一模）已知函数在上有且仅有4个零点，则（   ） A． B．令，存在，使得为偶函数 C．函数在上可能有3个或4个极值点 D．函数在上单调递增 三、填空题 12．（2023·河北·三模）已知，那么 . 13．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知满足，则值为 ． 14．（2024·青海·一模）若锐角满足，则 ， ． 四、解答题 15．（2024·辽宁·模拟预测）如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为. (1)求和的值； (2)已知，，，求的值. 16．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，求的值域； (3)若且，求的值. 17．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知． (1)若，，求的值； (2)证明：． 18．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是R上的奇函数，其图象关于直线对称，且在区间上是单调函数． (1)求和； (2)将曲线先左移个长度单位，再上移1个长度单位，得到曲线，求曲线与的所有交点坐标． 19．（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围. 参考答案： 1．B 【分析】首先根据辅助角公式化简并求解的值，然后根据余弦二倍角公式求解的值，最后利用诱导公式求解的值即可. 【详解】由于，可得：，即， 又由于， . 故选：B. 2．A 【分析】先由已知和余弦函数值确定，再由同角的三角函数关系化简计算即可； 【详解】因为，所以， 因为，所以， ， 所以，， 所以. 故选：A. 3．B 【分析】根据两角和的正切公式可得的值，再将弦化切，即可求解. 【详解】由得，即，解得， 所以， 故选：B. 4．C 【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简，从而利用余弦函数的周期公式求得，进而代入即可得解. 【详解】 ， 又的最小正周期为10，所以，解得， 则，则. 故选：C. 5．D 【分析】由两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式中的商关系、两角差的正切公式进行求解即可. 【详解】由 由， 于是有， 故选：D 6．D 【分析】根据条件可得，结合及差角余弦公式，即可求目标式的值. 【详解】由， 所以，而， 所以，即， 所以. 故选：D 7．D 【分析】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】，即， ，即， ， ，解得， ， . 故选：D. 8．C 【分析】根据正切的差角公式可得，即可结合角的范围，根据同角关系求解. 【详解】因为，， 所以，故， 又是第一象限角，为第四象限角， 故， 因此， 因此，由于， 则，故. 故选：C. 9．BC 【分析】由三角恒等变换化简逐项计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 又因为，，所以，即，所以， 所以，所以，， 且.故B，C正确，A，D错误. 故选：BC 10．BCD 【分析】以为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：若，则， 且，则，， 可得 ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11．ABD 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，根据在上有且仅有4个零点，可确定，进而解得，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可. 【详解】 对于A， ，， 因为在上有且仅有4个零点， 所以，解得，∴，故A正确； 对于B，， 为偶函数，则，即， ∵∴取，为偶函数,满足题意，故B正确； 对于C，，， ∵，， ∴函数在上可能有4个或5个极值点， 故C不正确； 对于D，若，则， ∵，∴， ∴函数在上单调递增. 故D正确； 故选：ABD. 12． 【分析】由同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式化简即可得出答案. 【详解】由题意可知，， 即：， 即，所以. 故答案为：. 13．/ 【分析】由结合可得，再根据代入求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】根据条件求和，再代入两角和的正切公式，即可求解. 【详解】，因为为锐角，所以． 又为锐角，所以．故． 故答案为：，. 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，即可根据周期关系得，结合中心对称即可求解， （2）根据同角关系可得，进而根据和差角公式即可求解. 【详解】（1）由已知，∵，∴，∴， 由已知，，∴，， 由图象可知，∵，∴，∴ （2）由（1）知， ∵，∴，∵，∴； ∵，∴， ∴，即 ∵，∴，∴， ∴. 16．(1)单调递增区间：，单调递减区间： (2) (3) 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的性质求值域； （3）根据正弦的两角差公式求解. 【详解】（1）,           当时，单调递增， 即,                                   ∴的单调递增区间：, 当时，单调递减， 即,   的单调递减区间：； （2）∵，∴，                                ∴，                                          ∴的值域为； （3）∵，   ∵，∴， ∴，                                                ∴. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据二倍角公式求得，利用平方的方法求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，进而求得的值. （2）利用分析法，结合三角恒等变换的知识证得不等式成立. 【详解】（1）． ， ， ． . （2）要证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证，证毕． 18．(1) (2)或. 【分析】（1）由结合的范围即可得的值，结合函数单调性得，进一步结合对称轴即可列方程求得的值； （2）首先得，，，进一步解三角函数方程即可求解. 【详解】（1）若是奇函数，则，注意到， 所以， 注意到，当时，， 因为函数在区间上是单调函数， 所以由复合函数单调性可知， 从而， 因为函数的图象关于直线对称， ， 综上所述，； （2）由（1）可得， 由题意， 或， 或， 而， 综上所述，曲线与的所有交点坐标为或. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，进一步由题意得、，结合两角和的余弦公式即可求解； （2）首先根据函数平移伸缩变换法则求得的表达式，根据题意列出不等式组即可求解. 【详解】（1）由题意知， 因为， 所以，令，则，， 因为，所以， 由，得，所以， 所以 . （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 得到函数. 令，得，解得， 又在区间上没有零点，所以， 解得，，又， 所以当时，；当时，， 即的取值范围是 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$