第08讲 指数运算及指数函数（十大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第08讲 指数运算及指数函数 一、指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 重难点01指数式的化简及求值 【解题必备】利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 例1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（1）计算：； （2）已知，求值：. 【跟踪练习】 练习1．已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 练习2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 练习3．已知，化简 . 练习4．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 重难点02指数函数的定义与解析式 【解题必备】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 例3．下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 例4．（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 【跟踪练习】 练习1．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 练习2．（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 练习3．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 练习4．已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为 . 重难点03指数函数的定义域问题 【解题必备】 “”型函数定义域的求法：定义域是使有意义的x的取值范围，即函数的定义域与的定义域相同． 例5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例6．求下列函数的定义域： (1)； (2). 【跟踪练习】 练习1．函数的定义域为 ． 练习2．函数的定义域为 . 练习3．函数的定义域为 ． 练习4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 重难点04指数函数的值域问题 【解题必备】 “”型函数值域的步骤： ①由定义域求出的值域；②利用指数函数的单调性求得此函数的值域． 例7．函数的值域为 . 例8．（多选）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 【跟踪练习】 练习1．函数的值域是 . 练习2．已知函数，则的值域为 . 练习3．若函数有最小值，则的取值范围是 . 练习4．已知是定义在上的奇函数． (1)求； (2)求函数在上的值域． 重难点05指数函数的定点及图象问题 【解题必备】处理指数函数图象问题的3个策略： （1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 例9．函数的图像恒过定点 . 例10．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【跟踪练习】 练习1．已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是 . 练习2．（多选）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）图象可能是（   ） A． B． C． D． 练习3．函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   练习4．已知函数（其中，为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A． B． C． D． 重难点06指数函数的单调性问题 【解题必备】关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题 例11． 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例12．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知函数则（    ） A． B． C． D． 练习2．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点07指数式比较大小 【解题必备】比较幂的大小的3种类型及方法： （1）对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断． （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断． （3）对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如或)来比较． 例13．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例14．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪练习】 练习1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 练习3．，，，则（    ） A． B． C． D． 练习4．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 重难点08指数函数解不等式 【解题必备】指数不等式的求解策略： （1）形如的不等式：可借助的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． （2）形如的不等式：注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解． 例15．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例16．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．如果，则的取值范围为 . 练习2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知集合，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 练习4．已知指数函数的图象经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 重难点09恒成立问题 例17．已知且，且在区间上有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例18．已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【跟踪练习】 练习1．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知在上恒成立，则实数m的最小值是 ． 练习3．已知指数函数. (1)若在上的最大值为8，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围. 练习4．已知函数 (1)判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明; (2)若对，都有恒成立，求实数t的取值范围. 重难点10指数函数的分类讨论 【解题必备】如果的值不确定，需分和两种情况讨论． 例19．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 例20．函数在区间上的最小值是，则的值是 . 【跟踪练习】 练习1．已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 练习2．已知函数，且，若函数在[0，2]上的最大值比最小值大，则的值为 . 练习3．设函数且在区间单调递减，则的取值范围是 . 练习4．设函数（为常数）为奇函数，函数（且） （1）求实数的值； （2）求在上的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第08讲 指数运算及指数函数 一、指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 重难点01指数式的化简及求值 【解题必备】利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 例1．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，不成立；即A错误； 对于B，由可知，因此，即B错误； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，显然，所以，即D正确. 故选：D 例2．（1）计算：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）1；（2）6 【详解】（1） ， （2）因为，所以，所以， 则，所以， 所以 【跟踪练习】 练习1．已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 对于①，，①错； 对于②，因为，且， 当为奇数时，；当为偶数时，.②对； 对于③，，③错. 所以，正确的个数为. 故选：B. 练习2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得. 故选：D 练习3．已知，化简 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 练习4．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4608 (2)1 (3) 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 重难点02指数函数的定义与解析式 【解题必备】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 例3．下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 答案：D. 例4．（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 【答案】 【详解】（1）由已知且，解得且，所以的范围是； （2）由已知，，函数式为，时，． 故答案为：；． 【跟踪练习】 练习1．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 练习2．（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 【答案】AC 【详解】若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则满足， 解得或. 故选：AC． 练习3．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 练习4．已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为 . 【答案】 【详解】设指数函数解析式为，且，将代入得 ，解得，负值舍去，故指数函数解析式为. 故答案为： 重难点03指数函数的定义域问题 【解题必备】 “”型函数定义域的求法：定义域是使有意义的x的取值范围，即函数的定义域与的定义域相同． 例5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 例6．求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于，有，解得， 故的定义域为； （2）对于，有，即， 故的定义域为. 【跟踪练习】 练习1．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】函数的定义域满足：，解得且. 故答案为： 练习2．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为：. 练习3．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 练习4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以其定义域为. （2）由题得，则其定义域为. 重难点04指数函数的值域问题 【解题必备】 “”型函数值域的步骤： ①由定义域求出的值域；②利用指数函数的单调性求得此函数的值域． 例7．函数的值域为 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为： 例8．（多选）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 【答案】AB 【详解】由题意，得函数，即 因为的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 令，则， 则， 又因为在上单调递增， 所以，即， 故选：AB. 【跟踪练习】 练习1．函数的值域是 . 【答案】 【详解】因为函数定义域为，又， 所以， 所以，即， 故答案为：. 练习2．已知函数，则的值域为 . 【答案】 【详解】由题意，而关于单调递减， 从而， 所以的值域为. 故答案为：. 练习3．若函数有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数在上的值域为， 在上的值域为， 则，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 练习4．已知是定义在上的奇函数． (1)求； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，解得，即， 由得，， ∴， 经检验得时，是奇函数, ∴. （2）由（1）得，， 令，由得，， 函数可化为，对称轴为直线， 当时，，当时，， ∴函数值域为. 重难点05指数函数的定点及图象问题 【解题必备】处理指数函数图象问题的3个策略： （1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 例9．函数的图像恒过定点 . 【答案】 【详解】由函数解析式可得当且仅当时，函数值与无关且为， 故函数图象恒过定点， 故答案为： 例10．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是 . 【答案】 【详解】令，解得，此时， 点的坐标为. 故答案为：. 练习2．（多选）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若，，则在上单调递增，且图象呈现下凸趋势， 是上的减函数，故A正确，BD错误； 若，，则在和上单调递减， 是上的增函数，故C正确. 故选：AC. 练习3．函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 练习4．已知函数（其中，为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得， 则有，且该函数为单调递减函数， 故B、C、D错误，A正确. 故选：A. 重难点06指数函数的单调性问题 【解题必备】关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题 例11． 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是上的单调递增函数，则满足 ，解得. 故选：B. 例12．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则 ∵，∴在上单调递增； ，对称轴为， 时，单调递减；时，单调递增； 由复合函数可知：时，单调递减；时，单调递增. 故，∴，∴. 故选：D 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，因为，所以，故A选项准确； B选项，，故B选项错误； C选项， ，因为函数单调递增，故，则，故C选项正确； D选项，，，因为，根据均值不等式可知， ，即，故D选项正确. 故选：ACD 练习2．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增， 所以函数在区间上也是单调递增， 因为二次函数的对称轴为， 所以有，即. 故选：B. 练习3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的定义域为， 设，则， 又单调递增， 当时，，，无单调性，不成立； 当时，在和上单调递增， 即在和上单调递增， 所以，则，即； 当时，在和上单调递减， 即在和上单调递减，不成立； 综上所述， 故选：C. 练习4．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：C 重难点07指数式比较大小 【解题必备】比较幂的大小的3种类型及方法： （1）对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断． （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断． （3）对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如或)来比较． 例13．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为单调递增函数，所以，则， 因为为增函数，所以，则， 综上，. 故选：A. 例14．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】， 反之当时，取，不等式无意义， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【跟踪练习】 练习1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是减函数，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 又是增函数，所以，则， 故选：A. 练习2．下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于，由指数函数的性质可知， 当时，在上单调递减，所以，，B说法错误，D说法正确； 当时，在上单调递增，所以，，AC说法正确； 故选：B 练习3．，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以. 故选：D 练习4．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，易知， 设直线l：，作出，，直线l图象， 如图：当时，，， 当时，，， 所以不可能成立， 故选: 重难点08指数函数解不等式 【解题必备】指数不等式的求解策略： （1）形如的不等式：可借助的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． （2）形如的不等式：注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解． 例15．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 则. 故选：D. 例16．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， ，即 ， 当时，有最小值， ， 故选：A 【跟踪练习】 练习1．如果，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，且在上单调递增， 所以，解得， 故答案为：. 练习2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式等价于，可得， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：B. 练习3．已知集合，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 所以，解得， 所以. （2）因为，， 当时，，得，满足条件； 当时，且，解得； 综上所述，m的取值范围是. 练习4．已知指数函数的图象经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）设，且， 代入点，可得， 解得，即， 则，所以. （2）因为指数函数在上单调递增， 所以不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 重难点09恒成立问题 例17．已知且，且在区间上有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“在区间上，恒成立”等价于“在区间上，” 当时，在上单调递增，此时，在处取得最小值，即，解得，故； 当时，，即，解得，故． 综上，实数的取值范围是． 故选：C 例18．已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 【跟踪练习】 练习1．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 函数在上单调递减，所以， 因为恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 练习2．已知在上恒成立，则实数m的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】因为在上恒成立， 也即， 因为在上单调递减，所以，也即， 所以，则，所以实数的最小值为， 故答案为：. 练习3．已知指数函数. (1)若在上的最大值为8，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)或2 (2) 【详解】（1）解：当时.在上单调递增，可得，解得； 当时，在上单调递减，可得， 解得. 综上可得，实数的值为或2. （2）解：方法一：由函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，且， 所以，即， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 方法二：由题意得，不等式对恒成立， 即对恒成立， 令， 因为，所以为增函数，所以，所以， 又因为，解得，所以实数的取值范围是. 练习4．已知函数 (1)判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明; (2)若对，都有恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)在R上单调递增，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：在上单调递增. 证明：，，且， ，，， ， 所以，因此，在R上单调递增. （2）解：， 当时恒成立， 重难点10指数函数的分类讨论 【解题必备】如果的值不确定，需分和两种情况讨论． 例19．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，在上单调递增， 要满足题意，则要在上单调递减，故，即； 若，在上单调递减， 要满足题意，则要在上单调递增，故， 即，不满足 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 例20．函数在区间上的最小值是，则的值是 . 【答案】或 【详解】令，则，其对称轴为， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得. 综上，所以或. 故答案为：或 【跟踪练习】 练习1．已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）将点和代入，得， 因为且，所以，. （2）因为函数为指数函数，所以，所以， 当时，在区间上有，， 所以有，即(舍去负值)，此时； 当时，在区间上有，， 所以有，即(舍去负值)，此时. 所以函数的表达式为或. 练习2．已知函数，且，若函数在[0，2]上的最大值比最小值大，则的值为 . 【答案】或 【详解】①当时，函数在[0，1]上是减函数，在（1，2]上也是减函数. ∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为， ∴，解得，符合题意. ②当时，函数在[0，1]上是增函数，在（1，2]上是减函数. ∵， ∴函数的最大值为，而，， 当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解； 当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意. 综上所述，实数的值为或. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，这类问题求解的关键是分别求出每段函数的最值，比较这些最值就可确定分段函数的最值.侧重考查数学抽象的核心素养. 练习3．设函数且在区间单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，在单调递增， 要满足题意，则要在单调递减，故，即； 若，在单调递减， 要满足题意，则要在单调递增，故，即，不满足，故舍去； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 练习4．设函数（为常数）为奇函数，函数（且） （1）求实数的值； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由， 得，所以． （2）由1知， 所以． ①当．即时，在上单调递增， 所以的最大值为． ②当．即时，在上单调递减， 所以的最大值为． 综上，． 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有利用奇函数求参数，分类讨论利用函数的单调性求函数的最值，属于简单题目. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$