直线与圆的位置关系重难点真题特训之易错必刷题型（51题17个考点）专练 -2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

直线与圆的位置关系重难点真题特训之易错必刷题型（51题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知的半径为3，且上一点到直线的距离为6，关于直线和的位置关系，甲同学认为是相离，乙同学认为是相切．下列判断正确的是（    ） A．甲同学说法完整，就只能是相离 B．乙同学说法完整，不可能相离 C．甲、乙同学说法都不完整，合在一起才完整 D．甲、乙同学说法都不完整，合在一起也不完整 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 易错必刷题二、己知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 5．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 易错必刷题三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 8．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 9．（2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 易错必刷题四、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 10．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 11．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 12．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 易错必刷题五、求直线平移到与圆相切时运动的距离 13．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级下·江苏盐城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，－3)，当该圆向上平移 个单位时，它与x轴相切． 15．（22-23九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 易错必刷题六、切线的应用 16．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 17．（22-23九年级上·河北沧州·期中）如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是 ． 18．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点. 判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，求:①的半径，②的长. 易错必刷题七、有关切线的说法辨析 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（     ） A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等 20．（22-23九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 21．（23-24九年级下·北京·开学考试）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限) 易错必刷题八、判断或补全使直线为切线的条件 22．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 23．（22-23九年级·全国·课后作业）如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 24．（2023·江苏镇江·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹） 易错必刷题九、证明某直线是圆的切线 25．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 26．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 27．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 易错必刷题十、切线的性质定理 28．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 30．（2024·上海·二模）2023年2月13日，21世纪以来第20个指导“三农”工作的中央一号文件《中共中央国务院关于做好2023年全面推进乡村振兴重点工作的意见》发布，体现了国家对“三农”的重视．实际上在古代，智慧的劳动人民有很多发明创造．如图即为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当AP与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 易错必刷题十一、切线的性质和判定的综合应用 31．（21-22九年级下·安徽滁州·开学考试）圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 32．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 33．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平分与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．求证：是的切线． 易错必刷题十二、应用切线长定理求解 34．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 35．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，分别是的切线，，为切点，切于，交，于点，，若，则的周长是 ． 36．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 易错必刷题十三、应用切线长定理求证 37．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 38．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，是的切线，为切点，连接．若，则= ． 39．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错必刷题十四、直角三角形周长、可面积与内切圆半径的关系 40．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 41．（2023·江苏苏州·模拟预测）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ． 42．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 易错必刷题十五、圆外切四边形模型 43．（22-23九年级·全国·课后作业）下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 44．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    45．（22-23九年级上·山东·课后作业）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 易错必刷题十六、三角形内心有关应用 46．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）三角形的三条角平分线的交点是这个三角形的 心． 48．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 易错必刷题十七、一般三角形周长、正面积与内切圆半径的关系 49．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 50．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 51．（22-23九年级上·贵州黔西·期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与圆的位置关系重难点真题特训之易错必刷题型（51题17个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知的半径为3，且上一点到直线的距离为6，关于直线和的位置关系，甲同学认为是相离，乙同学认为是相切．下列判断正确的是（    ） A．甲同学说法完整，就只能是相离 B．乙同学说法完整，不可能相离 C．甲、乙同学说法都不完整，合在一起才完整 D．甲、乙同学说法都不完整，合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．据此判断即可． 【详解】解：如图， 点在上，已知的半径是3，点到直线的距离是6， 与直线的位置关系可能是相切或相离． 甲、乙同学说法都不完整，合在一起才完整． 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【答案】相切 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的特征，直线与圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离，掌握利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题的关键．过点O作于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，得到，由的半径为2，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，， ， 的半径为2， 与射线的位置关系为相切， 故答案为：相切． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 【答案】(1)相离 (2)相切 (3)相交 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直线与圆的位置关系．解题的关键是掌握等腰三角形三线合一，以及直线与圆的位置关系． （1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质得出， 再根据勾股定理求出，最后比较半径和，即可解答； （2）比较半径和，即可解答； （3）比较半径和，即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点D， ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴与直线相离； （2）解：∵， ∴与直线相切； （3）解：∵， ∴与直线相交． 易错必刷题二、己知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 【详解】解：依题意，， 根据勾股定理求得． 当圆与相切时，此时半径最小，即； 当点在圆上，此时半径最大，即， 综上：即． 故选：D． 5．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点是解题的关键． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 易错必刷题三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交②直线l和相切，③直线l和相离． 【详解】解：∵直线m与公共点的个数为2个， ∴直线与圆相交， ∴半径3， 故选：A． 8．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系， 根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d， ∴直线l与相切或相交， ∴． 故答案为：． 9．（2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【答案】（1）7；（2）． 【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得； （2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图1，， 当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大， 此时最大值为， 故答案为：7； （2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 易错必刷题四、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 10．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 11．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 【答案】3或4/4或3 【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可． 【详解】∵直线AB⊥l， ∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s； 当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键． 12．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【分析】（1）根据A、C坐标可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根据平行线的性质即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三种情况，分别求出t值即可；（3）分⊙P与CD、BC、AB边相切三种情况，分别求出t值即可；②根据①中三个图形及点P运动到OA中点时有两个交点即可得答案. 【详解】（1）∵A（5，0）、C（0，3）， ∴OC＝3，OA＝5， 又∵AD＝2， ∴OD＝OA﹣AD＝3， ∴OC＝OD， ∵∠COD＝90°， ∴∠OCD＝∠ODC＝45°， 又∵BC∥AD， ∴∠BCD＝∠ODC＝45°， 故答案为：45； （2）若△PCD为等腰三角形， ①当PC＝PD时，点P在CD的垂直平分线上，点P与点O重合， ∴P（0，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝5， ∴t＝5. ②当CP＝CD时， ∵CO⊥PD， ∴CO垂直平分PD， ∴PO＝OD＝3， ∴P（﹣3，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝2， ∴t＝2. ③当DC＝DP时， 在Rt△COD中，DC＝＝3， ∴DP＝3， ∴OP＝3﹣3， ∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3， ∴t＝8﹣3. 故答案为：5或2或8﹣3 （3）①如图2﹣1，当点P运动至与四边形ABCD的CD边相切时， PC⊥CD， ∵∠CDO＝45°， ∴△CPD为等腰直角三角形， ∵CO⊥PD， ∴PO＝DO＝3， ∴EP＝2， 即t＝2； 如图2﹣2，当点P运动到与点O重合时， ∵PC为⊙P半径，且PC⊥BC， ∴此时⊙P与四边形ABCD的BC边相切， ∴t＝5. 如图2﹣3，当点P运动至与四边形ABCD的AB边相切时， PA为⊙P半径， 设PC＝PA＝r， 在Rt△PCD中， OP＝OA﹣PA＝5﹣r， ∵PC2＝OC2+OP2， ∴r2＝32+（5﹣r）2， 解得，r＝， ∴t＝EP＝10﹣＝. ∴当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切. ②如图2﹣1，当⊙P与四边形ABCD的CD边相切时，只有一个交点，此时t＝2，继续向右运动会有两个交点. 如图2﹣2，当⊙P与四边形ABCD的CB边相切时，有C，D两个交点，此时t＝5，继续向右运动会有三个交点. 如图2﹣3，当⊙P与四边形ABCD的AB边相切时，⊙P与四边形ABCD有三个交点，此时t＝，继续向右运动有三个交点. 如图2﹣4，当点P运动至OA的中点时，⊙P与四边形ABCD有C，B两个交点，此时t＝， 综上所述，答案为：2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质及直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键. 易错必刷题五、求直线平移到与圆相切时运动的距离 13．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 14．（22-23九年级下·江苏盐城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，－3)，当该圆向上平移 个单位时，它与x轴相切． 【答案】1或5 【详解】欲求直线和圆有几个公共点，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较． 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 解答：解：设圆的半径为r，圆心到直线的距离d，要使圆与x轴相切，必须d=r； ∵此时d=3， ∴圆向上平移1或5个单位时，它与x轴相切． 15．（22-23九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 易错必刷题六、切线的应用 16．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【答案】B 【分析】根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可． 【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键． 17．（22-23九年级上·河北沧州·期中）如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是 ． 【答案】0＜x≤2 【分析】根据题意可知，直线和圆有公共点，则直线与圆相交或相切．如图，当直线与圆相切时，x值最大，设切点为C，连接OC，根据∠AOB＝45°，OA∥PC，可知为等腰直角三角形，进而求出斜边的长度，即可得到x的取值范围． 【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝2，OC⊥PC， ∵∠AOB＝45°，OA∥PC， ∴∠OPC＝45°， ∴PC＝OC＝2， ∴OP＝， ∵P在x正半轴上运动， ∴x的取值范围是0＜x≤， 故答案为：0＜x≤． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据题目已知条件，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键． 18．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点. 判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，求:①的半径，②的长. 【答案】(1) 直线与相切；见解析（2）①3；②6. 【分析】（1）首先由圆的性质得出，然后由圆内接直角三角形得出，，进而得出，即可判定其相切； （2）①首先根据根据元的性质得出，，进而可判定，即可得出半径； ②首先由OP、OB得出OC，然后由切线性质得出，再由判定进而利用相似性质构建方程，即可得解. 【详解】直线与相切； 理由:连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 即， 为上的一点， 直线与相切； ①， ， ， ， ， ， ， 圆的半径为; ②， ， ∵过点作的切线交的延长线于点， ， ，即 【点睛】此题主要考查直线和圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握。即可解题. 易错必刷题七、有关切线的说法辨析 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（     ） A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定，由圆周角定理、垂径定理、切线的判定逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； C、经过切点且垂直于过切点的半径的直线是圆的切线，故原说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 20．（22-23九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 【答案】切线． 【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断. 【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 【点睛】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键. 21．（23-24九年级下·北京·开学考试）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限) 【答案】见详解 【分析】本题考查学生的发散思维，根据圆综合常考的知识点，举例：圆必考切线：切线判定方法有哪些；或者已知切线，怎样利用等类似考点进行作答，即可作答． 【详解】解：圆必考切线。切线判定方法有哪些? （1）最常用：切线判定定理(经过半径外端点，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线)。作辅助线-连接切点和圆心， 证明垂直。 （2）若未告知切线经过圆上的点(那么无法连切点和圆心)， 作辅助线一-过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 或者：已知切线，怎样利用? 必须利用切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 作辅助线一连接切点和圆心，得到垂直。（答案不唯一） 易错必刷题八、判断或补全使直线为切线的条件 22．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 23．（22-23九年级·全国·课后作业）如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 24．（2023·江苏镇江·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹） 【答案】(1)12 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定定理作图即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 则的周长， 故答案为：12； （2）延长至，使，连接，取的中点，连接交于点， 则点即为所求． 【点睛】本题考查的是勾股定理、切线的判定定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解题的关键． 易错必刷题九、证明某直线是圆的切线 25．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的判定．根据切线的判定定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴直线是的切线，故甲同学的答案正确； ∵是的直径， ∴， 若，无法确定的度数，故乙同学的答案错误； 若， ∴， 即， ∴直线是的切线，故丙同学的答案正确； 故选：C 26．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 27．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 易错必刷题十、切线的性质定理 28．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 29．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 30．（2024·上海·二模）2023年2月13日，21世纪以来第20个指导“三农”工作的中央一号文件《中共中央国务院关于做好2023年全面推进乡村振兴重点工作的意见》发布，体现了国家对“三农”的重视．实际上在古代，智慧的劳动人民有很多发明创造．如图即为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当AP与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理： （1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据圆周角定理得到，等量代换证明结论； （2）设的半径为r，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴； （2）解：设⨀O的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：，即的半径为． 易错必刷题十一、切线的性质和判定的综合应用 31．（21-22九年级下·安徽滁州·开学考试）圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线L是圆O的切线，据此即可解答． 【详解】解：直线L与圆O有唯一公共点， ∴直线L是圆O的切线， ∵圆O的圆心到直线L的距离是5厘米， ∴圆O的半径是， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，掌握切线的性质是解题的关键． 32．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 【答案】 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【详解】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（-6，0）、B（0，6）， ∴OA=OB=6， ∴AB=6， ∴OP=AB=3， ∵OQ=2， ∴PQ=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 33．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平分与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了圆切线的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明． 【详解】证明：与相切于点，且是的半径， ， 平分， ， 点在上， ， 是的切线． 易错必刷题十二、应用切线长定理求解 34．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长： 故选：B． 35．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，分别是的切线，，为切点，切于，交，于点，，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键． 利用切线长定理，可以得到：，据此即可求解． 【详解】∵，分别是的切线， ∴ 同理，． ∴三角形的周长． 故答案为：． 36．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 【答案】 【分析】 本题考查了切线长定理．设，根据切线长定理得到，则，然后解方程求出x，从而得到的长． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别和切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 易错必刷题十三、应用切线长定理求证 37．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键． 根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于两点， ∴，即，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵分别与相切于两点， ∴， ∴，， ∴的周长为， 如图所示，连接， ∵分别与相切于两点，， ∴，， 在中，， 同理，， ∴所对的圆心角， ∴所对圆心角， ∴， 故选：． 38．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，是的切线，为切点，连接．若，则= ． 【答案】65° 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 39．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理； （1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解； （2）设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，解得， ∴ 易错必刷题十四、直角三角形周长、可面积与内切圆半径的关系 40．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】此题重点考查三角形内切圆的定义、切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．设与、、分别相切于点、、，连接，则，由勾股定理求得，连接、、，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、分别相切于点、、，连接，则， ，，， ， 连接、、， ，，， ，，，， ， 解得， 故选：A． 41．（2023·江苏苏州·模拟预测）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边差的一半． 根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，然后运用直角三角形内切圆半径公式求解． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为，斜边为c，内切圆半径为r， 则：，， 由勾股定理，得：， ， 故直角三角形内切圆的半径为1． 故答案为：1． 42．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 易错必刷题十五、圆外切四边形模型 43．（22-23九年级·全国·课后作业）下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 44．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ，，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ．， ， （） 解得：． 即的直径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 45．（22-23九年级上·山东·课后作业）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m. 【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC， (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【详解】(1)AB+CD=AD+BC 证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH， 所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC， 即AB+CD=AD+BC (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得， AD+BC=2m， 梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【点睛】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 . 易错必刷题十六、三角形内心有关应用 46．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 47．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）三角形的三条角平分线的交点是这个三角形的 心． 【答案】内 【分析】本题考查了三角形内心的定义，根据三角形的三条角平分线的交点是这个三角形的内心即可解答． 【详解】解：三条角平分线的交点是这个三角形的内心， 故答案为：内． 48．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【详解】如图，点M即所求： 易错必刷题十七、一般三角形周长、正面积与内切圆半径的关系 49．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 50．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 【答案】50 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的面积为； 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键． 51．（22-23九年级上·贵州黔西·期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 【答案】12 【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果． 【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴的面积为： ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示． 学科网（北京）股份有限公司 $$