直线与圆的位置关系重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

直线与圆的位置关系重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、判断直线和圆的位置关系 1．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，直线y＝－x＋2 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（－2，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（  ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标. 【详解】 如图 ∵直线y＝－x＋2 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（-2，0）， ∴A点的坐标为0＝－x＋2 x=6，   A（6，0）， B点的坐标为：（0，2 ）， ∴AB=4 将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1 时，P1C1 =2， 根据△AP1C1∽△ABO， ∴AP 1 =4， ∴P 1 的坐标为：（2，0）， 将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2 时，P2C2 =2， 根据△AP2C2∽△ABO， ∴AP2 =4， P2 的坐标为：（10，0）， 从2到10，当⊙P与该直线相交时,整数点有,3,4,5,6,7,8,9故横坐标为整数的点P的个数是7个 故选D 【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系的理解，掌握两三角形相似和直线与圆相切是解题的关键. 2．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系； 设，则，可得，进而得当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，进而得到答案 【详解】解：设，则 ∵B在直线上， ∴，即， ∵点A在x轴的上方，且， ∴， ∴是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时， ∴中，，即， 当直线过点时，， ∴ 故答案为： 3．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点，． (1)求直线的解析式和的度数； (2)已知直线：分别交x轴和y轴于点C和点D，交直线于点E．点Q是直线上的一个动点，以Q为圆心，为半径画圆． ①当点Q与点C重合时，求证: 直线与相切； ②设与直线相交于M，N两点， 连结，．问：是否存在这样的点Q，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的解析式为：， (2)①见详解；②存在，， 【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线的解析式．由，，可得 ． （2）①过C点作于F点．先求出C点的坐标，即可得的长，在中，根据三角函数的定义，求出的长，即可得证． ②分两种情况，情况一:当Q点在射线上时，由是等腰直角三角形得， 则可得．设，则，将代入的表达式中，求出m的值，则可得Q点的坐标．情况二:当Q点在射线上时，由是等腰直角三角形得， 则可得．设，则，将代入的表达式中，求出n的值，则可得Q点的坐标． 【详解】（1）设直线的解析式为：，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为：． ，， ， ． （2）①如图，过C点作于F点． 由得， 时，， ． ，， ， ∵的半径为， ∴当点Q与点C重合时，与的半径相等， ∴当点Q与点C重合时，直线与相切； ②情况一：当Q点在射线上时， 是等腰直角三角形， ，， 又， ， 又， ∴设，则， ∵Q点在上， ， 解得：， ， ， ． 情况二：当Q点在射线上时， 是等腰直角三角形， ，， 又， ， 又， ∴设，则， ∵Q点在上， ， ， 解得：， ， ， ． 综上，存在这样的点Q，使得是等腰直角三角形， ，． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，切线的判定，等腰直角三角形的性质．掌握分类讨论思想和数形结合法是解题的关键． 压轴满分题二、己知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（2022·河北石家庄·模拟预测）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　） A．0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B．0＜OA或OA＝2.5 C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或 【答案】B 【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后即可得到OA的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：如右图所示， 当圆心从O1到O3的过程中，⊙O与三角形边的交点个数为3，当恰好到达O3时则变为4个交点， 作O3D⊥BC于点D， 则∠O3BD＝∠ABC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， 设O3A＝a，则O3B＝5﹣a， ∴ ，得 ， ∴当 时，⊙O与三角形边的交点个数为3， 当点O为AB的中点时，⊙O与三角形边的交点个数为3，此时OA＝2.5， 由上可得， 或OA＝2.5时，⊙O与三角形边的交点个数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、勾股定理，准确画出图形，利用数形结合的思想进行解答是解题的关键． 5．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形中，，，，点在边上运动以为圆心，为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，则的长度满足条件是 ． 【答案】或 【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断． 【详解】解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE． 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==4， 设AP=x，则BP=5-x，PE=x， ∵⊙P与边BC相切于点E， ∴PE⊥BC， ∵BC⊥AC， ∴AC∥PE， ∴， ∴， ∴； 如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE． ∵S平行四边形ABCD=2××3×4=5PE， ∴PE=， 观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， ②⊙P过点A、B、C三点，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， 此时AP=， 综上所述，AP的值的取值范围是：或AP=． 故答案为：或AP=． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题． 6．（23-24九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点（不在坐标轴上）给出如下定义：以为圆心，为半径的与y轴的另一个交点为，若在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，则称点是完美点． 如图，若点的坐标为点，则在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，所以点是完美点．    (1)下列点中是完美点的有___________（填序号）； ①；② (2)已知为抛物线上一点，若为完美点，求的取值范围： (3)已知直线l：，点为直线上一点，若以为圆心，半径为的上无完美点，求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）根据新定义分析，设，则，得出当时，是完美点，进而分别判断①，②； （2）依题意，，根据为完美点，得出，解不等式，即可求解． （3）依题意，当时，半径为的上有完美点，则当时，半径为的上无完美点，依题意，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，是等腰直角三角形， ∴， 则在半径为的上， 设，则，根据直线与圆的位置关系，可得， 当时，是完美点， ∵①；② ∴， 而，则不是完美点 ∵, ∴点是完美点； 故答案为：② （2）解：∵为抛物线上一点 ∴ ∵为完美点， ∴ 即 即 解得: ∴； （3）解：如图所示，当为圆心，半径为的上有唯一完美点，    依题意，当时，半径为的上有完美点， ∴当时，半径为的上无完美点 ∵在， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了几何新定义，勾股定理，二次函数的性质，一次函数的性质，解不等式,直线与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键． 压轴满分题三、己知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．（2022·江苏无锡·一模）如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点到直线的距离即可求得的最小值． 【详解】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， 设，，则， ∵，， ∴，， 解得：， ∵的半径为1， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查与圆相关的动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用、点到直线的距离的性质． 8．（22-23九年级上·江西南昌·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以为圆心，2为半径的上的一个动点，连接、，则面积的最小值是 ． 【答案】29 【分析】过点D作于点M，连接BD，根据三角形面积公式求出DM的长，可知上的点到直线的最小距离是DM长减半径，就可以算出面积最小值． 【详解】解：如图，过点D作于点M，连接BD， 令，则，令，则， ∴，， ∴，，， 根据三角形面积公式，， ∴， ∴上的点到直线的最小距离是， ∴面积的最小值是． 故答案是：29． 【点睛】本题考查一次函数，圆上一点到定直线的最短距离，解题的关键是求出圆上的点到直线BC的最小距离． 9．（2022·北京延庆·一模）规定如下：图形与图形恰有两个公共点（这两个公共点不重合），则称图形与图形是和谐图形． （1）在平面直角坐标系中，已知的半径为2，若直线与是和谐图形，请你写出一个满足条件的值，即______； （2）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴、轴分别交于，两点（其中点不与点重合），则线段与直线组成的图形我们称为图形； ①时，以为圆心，为半径的与图形是和谐图形，求的取值范围； ②以点为圆心，为半径的与图形均组成和谐图形，求的取值范围． 【答案】（1）1（只需要满足即可）；（2）①当或时，以为圆心，为半径的与图形是和谐图形；②当或或或时，以点为圆心，为半径的与图形均组成和谐图形． 【分析】（1）先根据直线与圆的位置关系得出相切时（有一个交点）k的值，从而得出有两个交点时k的值； （2）①先求得l与相切时r的值，再根据直线l与和与线段AB的交点情况分情况讨论即可； ②以为半径的与l相切时A点坐标，再根据直线l与和与线段AB的交点情况分情况讨论即可． 【详解】解：（1）如下图，可知当x=2或x=-2时，直线与有一个交点，所以要有两个交点只需要， 故答案为：1（只需要满足即可）； （2）直线， 当x=0时，，当时，，解得， ∴， ， ∴， ①如下图，若，则， ∴， 过点A作AD与直线l相交于D，若与l只有一个交点时（即l与相切）， 半径， 此时，即、两点重合， ∴当时，直线l与无交点，与线段AB有一个交点，不符合题意， 当时，直线l与有一个交点，与线段AB有一个交点，符合题意， 当时，直线l与有两个交点，与线段AB有一个交点，不符合题意， 当时，直线l与有两个交点，与线段AB没有交点，符合题意， 综上，当或时，以为圆心，为半径的与图形是和谐图形； ②由①可知，当点A在直线l右侧时，时，此时以点为圆心，为半径的与直线l相切， 当点A在直线l左侧时，若以点为圆心，为半径的与直线l相切， ，此时时，， ∴当时（在左侧），直线l与无交点，与线段AB有一个交点，不符合题意， 当时（在点），直线l与有一个交点，与线段AB有一个交点，符合题意， 当时（在线段上），直线l与有两个交点，与线段AB有一个交点，不符合题意， 当或时（在线段或在线段上），直线l与有两个交点，与线段AB有无交点，符合题意， 当时（在线段上），直线l与有两个交点，与线段AB有一个交点，不符合题意， 当时（在点），直线l与有一个交点，与线段AB有一个交点，符合题意， 当时（在点右侧），直线l与无交点，与线段AB有一个交点，不符合题意， 综上所述，当或或或时，以点为圆心，为半径的与图形均组成和谐图形． 【点睛】本题考查一次函数的应用，直线与圆的位置关系．掌握数形结合思想，结合图形分析，并能分类讨论是解题关键． 压轴满分题四、切线的应用 10．（2021·上海长宁·二模）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O在边AC上．如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求得AB=5，两个三角形面积公式求得CD，即可得出⊙C的半径，根据“内相交”的定义得出＜OA＜，即可得出结论． 【详解】解：△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=5， 作CD⊥AB于D，以C为圆心，以CD为半径的圆C与直线AB相切于D， ∴CD是⊙C半径， ∵AC•BC=AB•CD，即×4×3=×5CD， ∴CD=， ∴⊙C的半径为， ∵4-=，4+=， ∴＜OA＜． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理的应用，三角形的面积，求得⊙C的半径是解题的关键． 11．（2024·河南·模拟预测）矩形中，，，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若是以点E为直角顶点的直角三角形，则点E到直线的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的折叠问题、切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关键． 由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，当与相切于点E时，，是直角三角形，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：由题意矩形沿过点A的直线折叠，使点落在点处， ∴， ∴点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，    当与相切于点E时，，是直角三角形， 此时分两种情况： ①如图，点E在矩形的外部，过点E作交于点H，交于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴到直线的距离， ②如图，点E在矩形的内部，过点E作交于点N，交于点M，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴到直线的距离， 综上，点E到直线的距离是或， 故答案为：或． 12．（22-23九年级上·福建莆田·期末）抛物线的顶点的纵坐标为． （1）求，应满足的数量关系； （2）若抛物线上任意不同两点，都满足：当的时，；当时，．直线与抛物线交于、两点，且为等腰直角三角形． ①求抛物线的解析式 ②若直线恒过定点，且以为直径的圆与直线总有公共点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）当x=1时，y=a+b+c，确定P的坐标为（1，a+b+c），确定函数的对称轴为x=1即，关系确定； （2）①由时，得，结合，得， 得到时，y随x的增大而减小；由时，得，结合，得，得到时，y随x的增大而增大，判定直线是抛物线的对称轴，且a＞0；得到，从而确定P（1，0），线与抛物线交于、两点，其中一点必是抛物线与y轴的交点，设为M（0，c），根据为等腰直角三角形，可证△OPM是等腰直角三角形，从而得到PO=OM=1即M（0，1），故c=a=1，b=-2a=-2即确定函数解析式； ②由直线恒过定点，得到直线AB为y=1；结合抛物线与y轴的交点为（0，1）， 不妨设点A是抛物线与y轴的交点，根据对称轴为x=1，确定B的坐标为（2，1）， 故AB=2，所以为直径的圆的半径为1，圆心是AB的中点，从而确定出圆，利用数形结合思想，可以确定圆与直线总有公共点时的取值范围． 【详解】（1）（1）当x=1时，y=a+b+c， ∴P的坐标为（1，a+b+c）， ∴函数的对称轴为x=1， ∴， ∴b=-2a； （2）①∵时， ∴， ∵， ∴， ∴时，y随x的增大而减小； ∵时， ∴， ∵， ∴， ∴时，y随x的增大而增大， ∴直线是抛物线的对称轴，且a＞0； ∵函数的对称轴为x=1， ∴， ∴a+b+c=2a-2a=0， ∴P（1，0），PO=1， ∵（0，c）是抛物线与y轴的交点， ∴直线y=c与抛物线交于、两点中一点必是抛物线与y轴的交点， 设为M（0，c），则OM=c， ∵为等腰直角三角形， ∴∠NMP=45°， ∴∠OMP=45°， ∴△OPM是等腰直角三角形， ∴PO=OM=1， ∴c=a=1，b=-2a=-2， ∴函数解析式为； ②∵直线恒过定点， ∴直线AB为y=1； ∵抛物线与y轴的交点为（0，1）， ∴不妨设点A是抛物线与y轴的交点， ∵对称轴为x=1， ∴B的坐标为（2，1）， ∴AB=2， ∴为直径的圆的半径为1，圆心是AB的中点（1，1）， 作图如下， ∵y=0时，直线与圆相切；y=2时，直线与圆相切； ∴圆与直线总有公共点时的取值范围为0≤m≤2． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称性，灵活判定直线与圆的位置关系是解题的关键． 压轴满分题五、切线的性质定理 13．（2024·山东济宁·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为，按照“加1”依次递增；一组平行线，都与轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中与轴重合．若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为（    ）（为正整数） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键． 连，，，、、与轴分别交于、、，在中，，，由勾股定理得出，同理：，，……，得出的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，得出规律，即可得出结果． 【详解】解：连接，，，、、与轴分别交于、、，如图所示： 在中，， ∴， 同理：，，……， ∴的坐标为，的坐标为，的坐标为，……， …按照此规律可得点的坐标是，即， 故选：B． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，的直径为是上的一动点，D是的中点，的延长线交于点E，则当取最大值时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质等知识，如图，以为直径作，当直线切于点D时，的值最大，据此即可得解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】∵D是的中点，半径相等， ∴，即， ∴点D在以为直径的圆上运动， 如图，以为直径作， ∴当直线切于点D时，的值最大， 是的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示，是的内接三角形，过点作的切线，与的直径所在的直线相交于点，连接，其中，． (1)求的大小； (2)点在圆上移动时，当与恰巧全等，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为或3． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得，根据圆周角定理即可求得； （2）分两种情况讨论，当时，根据切线的性质得出，证得，进而证得，得出，进一步证得，根据圆周角定理得出，通过解直角三角形即可求得．当时，同理可解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：连接， 是的切线， ， ， 当时，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 在中，，则， ， ， ； 当时，同理证得，， 综上，的长为或3． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 压轴满分题六、切线的性质和判定的综合应用 16．（2022·安徽黄山·模拟预测）如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，再得出点C在以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG的长度，再加上CG的长度即可． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∴∠DOE=2∠A=90°， ∵分别过点D，E作⊙O的切线， ∴OD⊥DF，OE⊥EF， ∴四边形ODFE是矩形， ∵OD=OE=4， ∴四边形ODFE是正方形， ∴EF=4， ∵点F恰好是腰BC上的点， ∴∠ECF=90° ∴点C在以EF为直径的半圆上运动， ∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG=EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在Rt△OEG中，OG=， ∴OC=OG+CG=. 故答案为：A. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、正方形的判定、直角所对的弦是直径及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键. 17．（2024·河南三门峡·二模）如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】的运动轨迹为为圆心为半径的圆，由勾股定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与相切时，取得最大值，此时与重合，设，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，的运动轨迹为为圆心为半径的圆， 四边形是矩形， ， ， ， ， 与相切， 当取得最大值时，取得最大值， 如上图，当与相切时，取得最大值， 此时与重合， 设， ， 由翻折得：， ， ， ， 在中 ， 解得：， 的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握性质，能找出取得最值的条件是解题的关键． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)当t为2秒或4秒时，的面积等于． (2)①当或或或或时，与四边形的一边相切．②当时，与四边形有四个交点． 【分析】（1）根据题意得，，由此根据三角形面积公式建立方程求解即可； （2）①由题意可知圆Q与不相切．如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．此时与相切；如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接，结论方程即可，当正好与四边形的边相切时，如图3所示．建立方程即可．如图4，当重合，重合，同理可得：此时，与相切，②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点．由①可得，此时，如图，当过时，连接，可得，（舍去）．可得当时，与四边形有四个交点． 【详解】（1）解：∵当运动时间为t秒时，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积等于， ∴． ∴． 解得：，． 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于． （2）解：①由题意可知圆Q与不相切． 如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合． ∵， ∴． ∴． ∴为圆Q的切线． 此时与相切； 如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接， 此时四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， 当正好与四边形的边相切时，如图3所示． 由题意可知：． 在中，由勾股定理可知：，即． 解得：，（舍去）； 如图4，当重合，重合， 同理可得：此时，与相切， 综上所述可知当或或或时，与四边形的一边相切． ②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点； 如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点． 由①可得，此时， 如图，当过时，连接， 由题意可知：． 由勾股定理可知：，． ∵， ∴，即． 整理得：． 解得：，（舍去）． ∴当时，与四边形有四个交点． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理，一元二次方程的解法，根据题意画出图形是解题的关键． 压轴满分题七、应用切线长定理求解 19．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，拋物线的顶点为A，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出内切圆半径为1，再设，，表示出和，进而表示出，根据切线长定理得到x和y的第①个关系式，由勾股定理得到x和y的第②个关系式，从而求出x，得到，求得点A的坐标，再利用抛物线的顶点为A，列方程求出a． 【详解】解：是直角三角形，，其内切圆的圆心坐标为， ，，， ， 设，， ，， ， ，即，，化简得①， 由勾股定理，得， 化简得②， 把①代入②解得：（负值不符合题意，已舍去）， ， ， ， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为A， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，直角三角形性质，二次函数图象性质等，灵活运用相关知识并求出点A的坐标是解题的关键． 20．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ． 【答案】 【分析】连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再利用勾股定理列方程求出，即可． 【详解】解：连接，，，过点A作作于F，设， 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，， ， ， 是等边三角形， ，， ，是的切线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 得出：， ， ，， ， 是直径， ， ，，， ，， ， ， ， ， (负值已舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 21．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】方法：作的角平分线，在角平分线取一点，过该点作其中一边的垂线段，夹角为，过点画一条射线，作，的另一边与相交于点，过点作的垂线，与点的射线相交于点，同理作，交点为点，连接，可知，即可得，，即有，故点即为所求； 方法二：作的角平分线，在角平分线取一点，分别过点作角两边的垂直段，在上作，分别过点作的垂线，相交于点，由四边形内角和易得，即点即为所求； 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的画法，作一个角等于已知角，掌握切线的性质和角平分线的画法是解题的关键． 【详解】解：方法一：如图，点即为所求； 方法二：如图，点即为所求． 压轴满分题八、应用切线长定理求证 22．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数． 【详解】解：如下图 连OA、OB、OC ∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A ∴OB⊥PB，OA⊥PA 又∠P=50° ∴∠AOB=130° ∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C ∴DB=DC且OC⊥DC ∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC 同理得∠EOC=∠AOC ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC =∠BOC+∠AOC =(∠BOC+∠AOC) =∠AOB=×130° =65°． 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键． 23．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）等腰和如图放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5.若两个图形同时向右移动，的速度为每秒2个单位，的速度为每秒1个单位，同时的边长、都以每秒0.5个单位沿、方向增大.的边与圆第一次相切时，点运动的距离是 个单位长度. 【答案】 【分析】设运动的时间为秒，根据三角形与圆第一次相切时三角形所走的路程等于与之间的距离加上所经过的路程解答． 【详解】解：设经过秒的边与圆第一次相切，移至△处，与所在直线的切点移至处， 如图，与切于点，连接并延长，交于， 设与直线切于点，连接，则，直线， 由切线长定理可知， 设，则， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 也是等腰直角三角形， ， ，则， ， ，， ， 由切线长定理得， ， 解得：， 点运动的距离为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合常见的函数进行综合分析是解题的关键，也考查了学生数形结合的分析能力． 24．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【分析】（1）连接OC，易证：Rt∆PBO~Rt∆PCO，根据等腰三角形三线合一，可得：OE是∆ABC的中位线，即可得证； （2）由勾股定理得：，由母子相似三角形，可得：PO=，进而求出PB的长. 【详解】（1）连接OC，则OB=OC， ∵，是的两条切线， ∴PB=PC，∠PBO=∠PCO=90°， 在Rt∆PBO和Rt∆PCO中， ∵， ∴Rt∆PBO~Rt∆PCO（HL）， ∴∠BPO=∠CPO， ∴BE=CE（等腰三角形三线合一）， ∴OE是∆ABC的中位线， ∴； （2）∵OE是∆ABC的中位线， ∴OE∥AC，， ∴∠OEB=∠ACB=90°， ∵， ∵PB是圆的切线， ∴∠PBO=90°， ∵∠BOE=∠POB， ∴∆BOE~∆ POB， ∴，即：， ∴PO=， ∴ . 【点睛】本题主要考查圆的切线长定理和母子相似三角形模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键. 压轴满分题九、三角形内切圆与外接圆综合 25．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 26．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点A到所在直线的距离为3，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合运用，作的外接圆，连接，过点O作于点E，过点A作于点D，则，设，则，，当三点共线时，面积最小，由此即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，过点O作于点E，过点A作于点D，则，    ∴，设，则， ∴， ， ， ， ， 当三点共线时，面积的最小值为， 故答案为：． 27．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 【问题情境】如图，矩形中，，M、N分别是边上的点，将沿着翻折，点A的对应点是． 【初步尝试】若N与D重合，M是的中点，则　　； 【问题解决】若，的外接圆与线段有公共点，求的取值范围； 【深入探究】若落在内部，以为圆心，r为半径的同时与相切，则r的取值范围是______． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果； （2）当的外接圆与线段相交，且点N与D重合时，此时最大，当的外接圆与线段相切时，此时最小，利用勾股定理构建方程求解即可； （3）根据题意得：当N与D重合时r最大，由重叠得：，则 ，r的最大值为；当M 与B重合时，n最小，则，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，    由折叠的性质得：， ， ， 故答案为：3； （2）解：如图， 当的外接圆与线段相交，且点N与D重合时， 此时最大，即， 当的外接圆与线段相切时， 设半径为r，则，则， ∴， 解得：， ， ， 则的范围为 ； （3）解：由题意得点在的角平分线上， 当N与D重合时r最大， 由重叠得：，则 ， ∴r的最大值为； 当M 与B重合时n最小，如图所示， ， 中，， =（舍）， ，    故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，矩形的性质和三角形的外接圆，勾股定理，是一道综合题．熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，是解题的关键． 压轴满分题十、圆的综合问题 28．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，点P是的半径延长线上的一点，过点P作的切线，切点为A，是的弦，连接，，若，则的大小为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、三角形的内角和定理等知识，根据切线作出辅助线，由圆周角定理和内角和定理即可推导出答案，熟练运用相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，   是的切线，是半径， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 故选：． 29．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查圆的综合问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，根据题意构造相似三角形是解题关键． 连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，再由三角形中位线确定，得出当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值，过点H作于点F，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，如图所示： 根据题意得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∴， 当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 过点H作于点F，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴则的最小值是， 故答案为：． 30．（22-23九年级上·山东日照·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E是上一点，连结，．已知，，．求证：． 【拓展提高】 （3）如图3，四边形内接于，相交于点E．已知的半径为2，，，． ①求证： ②求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；② 【分析】本题主要考查的是圆的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定与性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，然后根据相似三角形的性质即可得到答案； （3）①连接交于点，连接，证明即可得出答案． ②由①知，可得出点是弧的中点，为弦，为半径，由垂径定理可得出，根据勾股定理可得出，最后根据面积的和差关系即可得到答案． 【详解】证明：（1）， ， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ∴ 即， ， ∴ （3）①连接交于点，连接， ， ∴， ∴，， ， 又∵， ， ， ②由①知， ， ∴点是弧的中点，为弦，为半径， ，， ， 在， 根据勾股定理： ， ∴ ， ， ， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与圆的位置关系重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、判断直线和圆的位置关系 1．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，直线y＝－x＋2 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（－2，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（  ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点，． (1)求直线的解析式和的度数； (2)已知直线：分别交x轴和y轴于点C和点D，交直线于点E．点Q是直线上的一个动点，以Q为圆心，为半径画圆． ①当点Q与点C重合时，求证: 直线与相切； ②设与直线相交于M，N两点， 连结，．问：是否存在这样的点Q，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴满分题二、己知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（2022·河北石家庄·模拟预测）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　） A．0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B．0＜OA或OA＝2.5 C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或 5．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形中，，，，点在边上运动以为圆心，为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，则的长度满足条件是 ． 6．（23-24九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点（不在坐标轴上）给出如下定义：以为圆心，为半径的与y轴的另一个交点为，若在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，则称点是完美点． 如图，若点的坐标为点，则在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，所以点是完美点．    (1)下列点中是完美点的有___________（填序号）； ①；② (2)已知为抛物线上一点，若为完美点，求的取值范围： (3)已知直线l：，点为直线上一点，若以为圆心，半径为的上无完美点，求的取值范围． 压轴满分题三、己知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．（2022·江苏无锡·一模）如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·江西南昌·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以为圆心，2为半径的上的一个动点，连接、，则面积的最小值是 ． 9．（2022·北京延庆·一模）规定如下：图形与图形恰有两个公共点（这两个公共点不重合），则称图形与图形是和谐图形． （1）在平面直角坐标系中，已知的半径为2，若直线与是和谐图形，请你写出一个满足条件的值，即______； （2）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴、轴分别交于，两点（其中点不与点重合），则线段与直线组成的图形我们称为图形； ①时，以为圆心，为半径的与图形是和谐图形，求的取值范围； ②以点为圆心，为半径的与图形均组成和谐图形，求的取值范围． 压轴满分题四、切线的应用 10．（2021·上海长宁·二模）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O在边AC上．如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是（　　） A． B． C． D． 11．（2024·河南·模拟预测）矩形中，，，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若是以点E为直角顶点的直角三角形，则点E到直线的距离是 ． 12．（22-23九年级上·福建莆田·期末）抛物线的顶点的纵坐标为． （1）求，应满足的数量关系； （2）若抛物线上任意不同两点，都满足：当的时，；当时，．直线与抛物线交于、两点，且为等腰直角三角形． ①求抛物线的解析式 ②若直线恒过定点，且以为直径的圆与直线总有公共点，求的取值范围． 压轴满分题五、切线的性质定理 13．（2024·山东济宁·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为，按照“加1”依次递增；一组平行线，都与轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中与轴重合．若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为（    ）（为正整数） A． B． C． D． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，的直径为是上的一动点，D是的中点，的延长线交于点E，则当取最大值时，的长为 ． 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示，是的内接三角形，过点作的切线，与的直径所在的直线相交于点，连接，其中，． (1)求的大小； (2)点在圆上移动时，当与恰巧全等，求的长． 压轴满分题六、切线的性质和判定的综合应用 16．（2022·安徽黄山·模拟预测）如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ） A． B． C．6 D．8 17．（2024·河南三门峡·二模）如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 压轴满分题七、应用切线长定理求解 19．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，拋物线的顶点为A，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ． 21．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 压轴满分题八、应用切线长定理求证 22．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 23．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）等腰和如图放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5.若两个图形同时向右移动，的速度为每秒2个单位，的速度为每秒1个单位，同时的边长、都以每秒0.5个单位沿、方向增大.的边与圆第一次相切时，点运动的距离是 个单位长度. 24．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 压轴满分题九、三角形内切圆与外接圆综合 25．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 26．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点A到所在直线的距离为3，则面积的最小值为 ．    27．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 【问题情境】如图，矩形中，，M、N分别是边上的点，将沿着翻折，点A的对应点是． 【初步尝试】若N与D重合，M是的中点，则　　； 【问题解决】若，的外接圆与线段有公共点，求的取值范围； 【深入探究】若落在内部，以为圆心，r为半径的同时与相切，则r的取值范围是______． 压轴满分题十、圆的综合问题 28．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，点P是的半径延长线上的一点，过点P作的切线，切点为A，是的弦，连接，，若，则的大小为（  ）    A． B． C． D． 29．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是 ． 30．（22-23九年级上·山东日照·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E是上一点，连结，．已知，，．求证：． 【拓展提高】 （3）如图3，四边形内接于，相交于点E．已知的半径为2，，，． ①求证： ②求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$