第二章 直线与圆的位置关系重难点检测卷 -2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第二章 直线与圆的位置关系重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·重庆大足·期末）已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相切，的半径的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆相切可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵， ， 或， ，， 的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线l相切， 的半径，即， 故选：B． 2．（2022九年级·浙江宁波·学业考试）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出 S△AOC，即可求出h，即可得到答案． 【详解】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，    设此时点O到AC的距离为h， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB==10， ∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1， ∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1， ∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h， ∴h=5， ∴的平移距离为5-1=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 3．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆心角相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．过三点一定可以确定一个圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】A 【分析】根据弧，弦，圆心角的关系，圆的确定以及切线的判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、等弧所对的圆心角相等，选项正确，符合题意； B、弦对应的弧有优弧和劣弧，相等的弦所对的弧不一定相等，选项错误，不符合题意； C、过不在直线上的三点可以确定一个圆，选项错误，不符合题意； D、经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，圆的确定方法以及切线的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．首先连接，，，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接，，， ∵在边长为4的等边三角形中，为线段的中点， ∴，， ∵是的切线， ∴； 根据勾股定理知， ∵为定值， ∴当的值最小时，的值最小，当的值最大时，的值最长， ∴当时，线段最小，当与点重合时，线段最长， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴线段最小值，线段最大值． ∴， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质．利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质即可判断选项A、B、D正确；假设成立，证明是等边三角形，推出是的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴设， 若， ∴， 则，选项A正确，不符合题意； 若，又∵， ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 若切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意； 连接，假设成立， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，即， ∴切于点， 而题设并没有是的切线这一条件， ∴假设不成立，选项C不正确，符合题意． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D，交，于点，， ∴，， ∵的周长为4，即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，中为直径，， 分别切于点 ，．，则 的大小为（     ）   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理等知识，根据切线的性质定理得到，求出，根据切线长定理求出，利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解： 切 于点 ， ， 又 ， ， ， 分别切 于点 ，， ， ， ． 故选：D 8．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（    ） A．70° B．64° C．62° D．51° 【答案】B 【分析】先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO＝∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，加上BD＝OB，则可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO＝∠BAD，即∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，然后利用∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°可计算出∠BAD＝26°，再利用∠ADO＝90°﹣∠BAD求解． 【详解】解：∵AB、AC为⊙O的切线， ∴∠BAO＝∠CAO，OB⊥AB， ∵BD＝OB， ∴AB垂直平分OD， ∴AO＝AD． ∴△AOD为等腰三角形， ∴∠BAO＝∠BAD， ∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAD， ∵∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°， ∴3∠BAD＝78°， 解得∠BAD＝26°， ∴∠ADO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理． 9．（24-25九年级上·山东滨州·开学考试）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，则， ， 是边上的高，， ． ． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为． 故选：A． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心的性质，勾股定理；设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D，设，则，根据勾股定理求得的值，即可得出，连接，根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D， 设，则， ， 连接， ． 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 12．（2022·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④是的切线；⑤．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①②③④⑤ 【分析】三角形的中位线定理，判断①；圆周角定理和中点，得到是的中垂线，得到，判断②③；根据，得到，判断④；等角的余角相等，判断⑤． 【详解】解：∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，故①正确； ∵为的直径， ∴， ∵为的中点， ∴为线段的中垂线， ∴ ∴，故②③正确； ∵， ∴， 又为的半径， ∴是的切线；故④正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上：正确的是①②③④⑤； 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，中垂线的判定和性质，圆周角定理，切线的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 14．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，根据切线长定理得到平分，根据切线的性质得到，则利用角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：，是的切线，，为切点， 平分，， ，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2024·陕西·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】证出，，，共圆，为的内心，则，故当为该圆直径时，最大，即可得出答案．本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证明是解题的关键． 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角 ，， ， ，，，共圆， ，， ， 平分， 平分， 为的内心， ， ，， ， ， 当为该圆直径时，最大， 的最小值为， 故答案为：． 16．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ． 【答案】 【分析】先作，作于点E，和交于点O，再根据边长求出，即可求出，然后根据面积公式即可求出答案． 【详解】作，作于点E，和交于点O，如图所示： ∵等边的边长为6 ∴AB=6，则BD=3， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴ ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形以及三角形的内切圆，解题关键是求出圆的半径． 三、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 18．（2023九年级·全国·专题练习）已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 19．（22-23九年级下·全国·课后作业）的斜边，直角边，圆心为C，半径为2cm和3cm的两个圆和与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与相切？ 【答案】与AB相离；与AB相交；当半径为时，AB与相切. 【分析】过点C作于点D，利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的长，进而判定圆和与AB的位置关系，根据切线的判定得到的半径. 【详解】解：如图，过点C作于点D. 在中， ， ， 由面积公式，得， ， ， 与AB相离； ， 与AB相交； 当半径为时，AB与相切. 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的判定，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 20．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，为的直径，点C，D为圆上两点，，且有平分，过C作于E． (1)求证：为的切线 (2)若，求半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图：连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质可得，即可得，进而得到即可证明结论； （2）如图∶连接，过C作于F．根据角平分线的性质定理可得，由圆周角定理可得，再由勾股定理可得；设半径为R，则在中运用勾股定理列关于R的方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵平分，        ∴， ∵，                ∴， ∴，          ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵是半径， ∴为的切线． （2）解：如图∶连接，过C作于F． ∵平分，，     ∴， ∵， ∴， ∴ 设半径为R，则在中，， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 21．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先设的半径为，由于是的直径，是的切线，根据切线性质可知，在中，利用勾股定理可得，解方程可得出答案； （2）连接，由于，，可知是的中位线，那么，于是，根据三角形外角性质可得，易证，而，，利用可证，那么，于是，从而可证是的切线． 【详解】（1）解：（1）设的半径为， 是的直径，是的切线， ， 在中，， ， 解得， 的半径为； （2）证明：连接， ，， 是的中位线， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即， 与相切． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、中位线的性质，解题的关键是证明． 22．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长． 【答案】的半径为和边的长为． 【分析】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理和勾股定理，连接，由与相切则，设的半径为，故在中，由勾股定理得：，即可求出半径；由，为半径证明与相切，根据切线长定理可得，然后在中，由勾股定理得，即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】连接， ∵与相切， ∴， ∴， 设的半径为， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵，为半径， ∴与相切， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 23．（22-23九年级·江苏南京·自主招生）已知内接于，为内心，交于．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键． 连接，要证明，只要求得，再根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】证明：连接， ∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（22-23九年级上·广东江门·期末）如图，在等边三角形中． (1)请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别作和的垂直平分线相交于点O，再以O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求作 （2）连接， ∵等边三角形，， ∴， ， ∵垂直平分， ∴， ∵O为等边三角形的外接圆的圆心， ∴， ∴中，， ∴（负值舍去） 【点睛】本题考查三角形外接圆作图，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外接圆的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线与圆的位置关系重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·重庆大足·期末）已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相切，的半径的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．1 2．（2022九年级·浙江宁波·学业考试）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆心角相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．过三点一定可以确定一个圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在边长为4的等边三角形中，为线段的中点，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段的长不可能为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 7．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，中为直径，， 分别切于点 ，．，则 的大小为（     ）   A． B． C． D． 8．（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（    ） A．70° B．64° C．62° D．51° 9．（24-25九年级上·山东滨州·开学考试）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（    ） A． B． C． D． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ． 12．（2022·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④是的切线；⑤．其中正确结论的序号是 ．    14．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 15．（2024·陕西·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 16．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ． 三、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 18．（2023九年级·全国·专题练习）已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 19．（22-23九年级下·全国·课后作业）的斜边，直角边，圆心为C，半径为2cm和3cm的两个圆和与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与相切？ 20．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，为的直径，点C，D为圆上两点，，且有平分，过C作于E． (1)求证：为的切线 (2)若，求半径． 21．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 22．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长． 23．（22-23九年级·江苏南京·自主招生）已知内接于，为内心，交于．证明：． 24．（22-23九年级上·广东江门·期末）如图，在等边三角形中． (1)请用尺规作图画出三角形的外接圆（保留作图痕迹）； (2)若，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$