精品解析：湖南省邵东市创新高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

创新高级中学2024年下学期期中考试 高二数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，已知正方体的棱长为1，（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 且，， 所以. 故选：. 2. 已知在空间直角坐标系中，点，，则点A到BC中点D的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中两点的距离公式求解即可. 【详解】由，则BC的中点， 则． 故选：C. 3. 已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立两直线方程分别解得点坐标，再由两点式即可得出直线的方程. 【详解】联立，即； 联立，即； 故直线的方程为，即． 故选：C 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 5. 已知直线的斜率等于，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的斜率求出参数，将直线方程写成截距式，再根据面积公式计算可得； 【详解】解：依题意有，所以，于是直线方程为，即，因此直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于. 故选：A 【点睛】本题考查直线的斜率求参数的值，截距式的应用，属于基础题. 6. 如图为学生做手工时画的椭圆(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图知分别得到椭圆、、 的半长轴和半短轴，再由求解比较即可. 【详解】由图知椭圆的半长轴和半短轴分别为： ， 椭圆的半长轴和半短轴分别为：， 椭圆 的半长轴和半短轴分别为：， 所以， ， ， 所以， 故选：D 7. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的几何意义、向量数乘的几何意义及向量的数乘运算进行运算即可. 【详解】因为，为中点，，，， 所以 . 故选：B 8. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】设点，因为，，所以 ， 而，所以当时，的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 【详解】由图像可知， 则， 故选：AD. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 方程是直线的一般式方程 C. 直线的斜率为 D. 点到直线的距离为1 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，化为点斜式，求出定点坐标；B选项，，当不全为0时，方程是直线的一般式方程；C选项，直线斜率为；D选项，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】A选项，直线，必过定点，A正确； B选项，当不全为0时，方程是直线的一般式方程，B错误； C选项，直线的斜率为，C错误； D选项，点到直线的距离为，D正确. 故选：AD 11. 已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形PAMB周长的最小值为 B. 的最大值为2 C. 若，则的面积为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，可将四边形PAMB周长转化为，结合勾股定理可求最值；对B，由圆内最长的弦为直径可判断错误；对C，由几何关系先求出，由等面积法可求出，结合面积公式可求；对D，分点是否与原点重合分类讨论，当点不与原点重合时，求出切线长方程和直线方程，联立可求动点轨迹，由点与圆的位置关系可求. 【详解】如图所示，对于选项A，四边形PAMB的周长为， 因为，所以四边形PAMB的周长为，设，当与原点重合时最小，则，则四边形PAMB的周长为，则当t取最小值2时，四边形PAMB的周长最小，为，故A正确； 对于选项B，因为圆M：的直径为2，所以，故B错误； 对于选项C，因为，所以，，由等面积法可得，求得，， ，所以的面积为，故C正确； 对于选项D，当点P与原点重合时，，则，则，则，则；当点P不与原点重合时，设（），则切点弦AB的方程为（利用结论：过圆外一点的切线弦方程为求得），直线MP的方程为，联立两方程，可得，消去m，得动点C的轨迹方程为．又因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用直线相互平行的充要条件即可得出. 【详解】解： 故答案为：3. 13. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题涉及直线的方向向量与平面的法向量的关系.如果直线垂直于平面，那么直线的方向向量与平面的法向量平行.根据向量平行的性质来求解的值. 【详解】因为，所以与平行.对于两个平行向量和， 根据向量平行性质，存在实数，使得. 即.根据向量相等的对应分量相等，可得. 那么，. 将，代入，可得. 故答案为:24. 14. 直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围. 【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）． 由题意知，则， ∴点的轨迹方程为． 又点在椭圆内， ∴， 解得：， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知中心在坐标原点的椭圆过点和点，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，求椭圆C的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，代入点和点，解出即可； （2）由椭圆的定义求出，设点，由直线AM与AN的斜率之积为－得到方程①，又由点在椭圆上得到方程②，联立解出即可； 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为点和点在椭圆上，所以，解得. 所以所求椭圆的标准方程为. （2）由的周长为，可知， 解得，则， 设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得， 即．① 又，所以，② 由①②解得，所以椭圆C的标准方程为. 16. 如图所示在棱长为1的正方形中，E为线段的中点， （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等面积法即可求出点到直线的距离； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 解：连接，，过点作于，如图所示 在直角三角形中， 在直角三角形中， 直线平面，平面 故点到直线的距离为. 【小问2详解】 解：在正方体中，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系 ，，， ，，, 设平面的一个法向量为： 则，即，令得 点到平面的距离为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助椭圆上的点的坐标，的面积与计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ，故可设，，， 联立，消去可得， ，即， ，， 则 ， 则当时，有最大值，且其最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 分析】（1）先求底面面积，再结合锥体体积公式即可求解； （2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,为平面的一个法向量,且,求平面的一个法向量,根据,即可求得答案. 【详解】（1）平面,,，且， 所以四棱锥的体积； （2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系, 如图: 由， 可得:,,,,, 由（1）知平面, 为平面的一个法向量,且； 设为平面的一个法向量, 则,, ,, ,, , 令,则,, , 设平面与平面所成的二面角为, ， 平面与平面所成二面角的余弦值为． 19. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 （1）求圆C与圆M的根轴l； （2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； （3）给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 【答案】（1）； （2）； （3）的最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）先求出圆C和圆M的圆心C和M以及半径和，接着由列式化简即可得解. （2）先由题意求得，进而结合求得取得最小值时亦即取得最小值时，接着求出此时的点P坐标，再求出以线段为直径的圆的方程，从而求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即可得解. （3）先求出关于根轴对称的点，接着得，从而得与圆M和根轴l相交的点和使得最小，进而求得的最小值，再由联立根轴的方程即可求出. 【小问1详解】 由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为， 设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点， 则由题可得，即， 整理得，即圆C与圆M的根轴l为直线. 【小问2详解】 由题意可知且，， 设与相交于点H， 则， 又， 所以，所以取得最小值时即为取得最小值时， 又，所以取得最小值时亦即取得最小值时， 而取得最小值时，且该最小值为圆心C到根轴l的距离为， 此时即， 联立，故此时， 所以此时中点坐标， 所以以线段为直径的圆的方程为，即， 则是该圆与圆C的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程为：即. 【小问3详解】 设关于根轴对称的点为， 则，故， 则由三角形两边之和大于第三边可得， 连接，则此时与圆M和根轴l相交的点和使得最小为， 且此时即， 联立，即此时， 所以的最小值为，此时. 【点睛】关键点睛：求解直线的方程的关键点1是将转化为，从而求得取得最小值时亦即取得最小值时，进而求出此时的点P坐标，关键点2是求出以线段为直径的圆的方程，从而将直线的方程转化为该圆与圆C的公共弦所在直线方程而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 创新高级中学2024年下学期期中考试 高二数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，已知正方体的棱长为1，（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知在空间直角坐标系中，点，，则点A到BC的中点D的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 6 3. 已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A B. C. 或 D. 或 5. 已知直线的斜率等于，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6. 如图为学生做手工时画的椭圆(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为，则（ ） A B. C. D. 7. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线必过定点 B. 方程是直线的一般式方程 C. 直线的斜率为 D. 点到直线的距离为1 11. 已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形PAMB周长的最小值为 B. 的最大值为2 C. 若，则面积为 D. 若，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数______. 13. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________． 14. 直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知中心在坐标原点椭圆过点和点，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，求椭圆C的标准方程. 16. 如图所示在棱长为1的正方形中，E为线段的中点， （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 19. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 （1）求圆C与圆M的根轴l； （2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； （3）给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$