第四章一次函数——有关角度问题专题训练 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第四章一次函数中有关角度问题专题训练北师大版2024—2025学年八年级上册 一、一次函数与角平分线 例1.如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3），CB平分∠ACP，则直线PC的解析式为（　　） A． y＝x﹣3 B．y＝﹣x﹣3 C．y＝x﹣3 D．y＝﹣x﹣3 变式1．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（　　） A． B． C． D． 变式2．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为　 　． 变式3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　． 二、一次函数中角度相等问题 例2.如图1，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB． 点Q为直线AB上一动点，当∠BCQ＝∠BAO时，求点Q的坐标． 变式1.如图，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S△ABC＝　 　． 变式2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y＝kx+b交x轴于点C（﹣8，0）． （1）k的值为 　 　； （2）点M为直线BC上一点，若∠MAB＝∠ABO，则点M的坐标是 　 　． 变式3.已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为　 　． 变式4.平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+3与x轴、y轴分别交于点B、A．直线BC：y＝﹣2x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、C． （1）如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为x轴上一点，当△BDE是以BD为底边的等腰三角形时，求E点坐标； （2）如图2，点P在点A下方的y轴上一点，∠ODB＝∠PDA，直线DP与直线AB交于点M，求M点的坐标． 三、一次函数中的45度角 例3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处．求： 在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得∠ABN＝45°，请直接写出N点坐标． 变式1.如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E． （1）△OED的面积为 　 　； （2）若∠FOG＝45°，则矩形OACB的面积是 　 　． 变式2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（8，0）． （1）求直线BC的解析式； （2）如图（1），点G是线段BC上一动点，当G点距离y轴3个单位时，求△ACG的面积； （3）如图（2），已知D为AC的中点，点O关于点A的对称点为点Q，点P在直线BC上，当∠DQP＝45°时，求点P的坐标． 变式3.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D． （1）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标； （2）如图2，直线CD上存在点Q使得∠ABQ＝45°，请直接写出点Q的坐标． 变式4.如图1，直线AB交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，OA＝OB，． （1）求直线AB的解析式； （2）如图2，直线交直线AB于点C，D是AB上一点，过点D分别作x轴，y轴的垂线交直线于点E，F，求的值； （3）在（2）条件下，P在直线OC上，且∠APO＝45°，求点P的坐标． 四、一次函数中的其它度角 例4.如图，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点（能与点O，B重合），若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP＝90°．设点P的坐标为（m，0），则m的取值范围是（　　） A．3≤m≤4 B．2≤m≤4 C．0≤m≤ D．0≤m≤3 变式1.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（　　） A．3 B． C．4 D． 变式2.如图，已知直线MN：y＝x+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（　　） A．45°或135° B．30°或150° C．60°或120° D．75°或165° 五、一次函数中倍角和角度和问题 例5.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣的图象与x轴、y轴分别交于D，B两点．直线y＝kx+的图象与x轴交于C．直线l1与直线l2交于点A（a，3）． （1）求点A的坐标及直线l2的表达式； （2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 变式1.如图，已知直线AB：y＝kx+b与x轴交于点，与y轴交于点C（0，3），且与直线y＝x相交于点A． （1）如图1，点D在直线y＝x上，且横坐标为2，点Q为射线BC上一动点，若，请求出点Q的坐标． （2）如图2，过点A作y轴的垂线段AE，垂足为E，M为y轴上一点，且∠MAE＝∠OAB，请直接写出直线AM的表达式． 变式2.平面直角坐标系中，直线AB：y＝2x+3与x轴、y轴分别交于点B、A．直线BC：y＝﹣2x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求△BCA的面积； （2）如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于D点，点E为x轴上一点，当△BDE是以BD为底边的等腰三角形时，求E点坐标； （3）如图2，点P在点A下方的y轴上一点，∠ODB＝∠PDA，直线DP与直线AB交于点M，求M点的坐标． 变式3.如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且OC＝3OB． （1）求直线BC的表达式； （2）点P是线段BC上一动点，点E是直线AB上一动点，点F为x轴上一动点，过P作PO⊥AB于Q，连接PE、EF，当时，求PE+EF的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线AB上一动点，当∠QPM＝∠ACB+∠BAC时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 变式2.如图，直线l：y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在y轴的右侧作正方形AOBC，且S△AOB＝8． （1）求直线l的解析式； （2）如图1，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE． ①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式　 　； ②当AE+CE最小时，求E点的坐标； ③如图2，点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，求出点H的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$