等式与不等式课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第3讲 等式与不等式 梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 复习目标 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.两个实数比较大小的方法 ___ ， ___ ， ___ ， （1） 作差法 ___ ， ___ ， ___ . （2） 作商法 3 2.等式的性质 （1）若,，则 . （2） 如果,则对任意 ,都有________________或________________. （3） 如果,则对任意不为零的 ,都有__________或_ ______. 4 3.不等式的性质 （1） 对称性: ________（双向性）. （2）传递性:, （单向性）. （3） 可加性:___ （双向性）. （4） 可乘性:,___ ; ,___ . （5） , ________________（单向性）. （6） ,___ （单向性）. （7） 乘方法则:___ （单向性）. 5 常用结论 1.若，，则 . 2.若，，，，则 ； 若，，，，则 . 6 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ 设，，则与 的大小关系是_______. [解析] , . 7 2.［教材改编］ 已知,,则 的取值范围为_______. [解析] ,,又,, 即 的取值范围为 . 8 3.［教材改编］ 下列命题中为真命题的是_________.（填写序号） ①若，则 ； ②若，则 ； ③若且，则 ； ④若且，则 . ②③④ 9 [解析] 对于①，当时， 不成立,故①为假命题； 对于②，， 两边同乘，得，两边同乘，得 ， ，故②为真命题； 对于③，， ,，，， 故③为真命题； 对于④， ，，又，， ， 故④为真命题. 故填②③④. 10 题组二 常错题 ◆ 索引：求取值范围时乱用不等式的加法法则致错;乘法运算时不注意符号的影响 致错;运用作差法时对差的变形不彻底或变形方向不明确致错. 4.已知,，则 的取值范围是_________. [解析] ,，， . 11 5.已知实数，，则 的取值范围是__________. [解析] 当时,；当时，． 综上可知， 的取值范围是 ． 12 6.设，，则, 的大小关系是________. ，故 . 13 探究点一 比较数（式）的大小 例1（1） 设，，比较与 的大小. 解:因为 ， 所以 . ［思路点拨］（1）把, 作差分解因式后, 借助已知及不等式性质判断符号,进而得出结论. 14 （2） 已知,都是正数,试比较与 的大小. 解: .当时，， ， ，；当时，， ， ， ； 当时，，， ， .综上所述， . ［思路点拨］（2）把与作商后对, 的大小关系分类, 借助指数函数的性质比较大小. 15 [总结反思] （1）判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式性质法、函数 单调性法、中间量法、特殊值法等. （2）作差（商）法的一般步骤是:作差（商）,变形,定号,得出结论. 16 变式题（1） [2023·福建三明一模] 已知，， ， 则，， 的大小关系为( ) B A. B. C. D. [解析] 由，且，得 ； 由，且，得 ； 由 ， 且，得.所以 ， 故选B. 17 （2） 若，， ，则( ) B A. B. C. D. [解析] 方法一：构造函数，则.令，得 ； 令，得.在上单调递增，在 上单调递减， ，即 .故选B. 方法二：易知，，都是正数.， ， ，， .故选B. 18 探究点二 不等式的性质 例2（1） [2023·合肥一模] 已知，且 ，则下列 不等式中不成立的是( ) D A. B. C. D. [解析] ，， ，故A，B中不等式成立； ，， ， 即，又， ， 故C中不等式成立；，， ，故D中不等式不成立. 故选D． ［思路点拨］（1）利用不等式的性质判断选项A，B，利用平方法判断选项C， 进而判断选项D即可. 19 （2） （多选题）若 ，则( ) ACD A. B. C. D. ［思路点拨］（2）当时，由，得，则 ， 当时，由，得，则 ，可判断 A，D； 由，得，由 ，可判断B，C. 20 [解析] 由得.当时，由，得 ， 即，可得；当时，由，得 ， 即，所以，故A，D正确； 由 ， 得 ，由上述分析可知与同号，即，所以与 异号， 即与同号，故C正确;由，得，故B错误.故选 . 21 [总结反思] 解决不等式有关问题常用的三种方法: （1）直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时 要特别注意前提条件; （2）利用特殊值法排除错误答案; （3）构造函数，利用函数的单调性. 22 变式题（1） （多选题）[2023·海口模拟] 下列四个条件中，是 的充分 不必要条件的是( ) ABD A. B. C. D. 23 [解析] 对于A，若 ，则，则；反之，若， 则当 时推不出.所以“”是“ ”的充分不必要条件， 故A正确.对于B，由，可得，即能推出；反之， 由 推不出.所以“”是“ ”的充分不必要条件，故B正确. 对于C，若，则当，时，满足，但；反之， 若 ，则当，时，满足，但. 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，故C错误. 对于D，若，则；反之，由 推不出. 所以“”是“ ”的充分不必要条件，故D正确．故选 ． 24 （2） 已知 ，则下列不等式中一定成立的是( ) D A. B. C. D. [解析] 当,时，满足，但 ，故A中不等式不一定成立； 当,时，满足，但，故B中不等式不一定成立； 当 ,时，满足，但不成立，故C中不等式不一定成立； 由 ，得，则 ，故D中不等式一定成立.故选D. 25 （3） （多选题）[2023·湖南长郡中学二模] 已知实数,,满足 ， 则下列结论正确的是( ) BCD A. B. C. D. 26 [解析] 因为，所以,则 ，故A错误； 等价于，即，即 ，显然成立，故B正确； 等价于，即，显然成立，故C正确； 等价于，即 ， 显然成立，故D正确．故选 ． 27 探究点三 利用不等式性质求取值范围 例3（1） 已知三个正数,,满足,,则 的取值范 围是( ) A A. B. C. D. [解析] 三个正数,,满足,, , ,,与 相加, 得,解得 .故选A. ［思路点拨］（1）首先将已知不等式两边同时除以,化为关于, 的不等式组,然 后利用不等式的性质求得 的取值范围. 28 （2） 若,，则 的取值范围为_ _________． [解析] 由题意，设 ，则 解得因为,， 所以 ,， 所以，即 的取值范围是 . ［思路点拨］（2）设 ，利用系数相等求得, 的值，结合不等式的基本性质，即可求解. 29 [总结反思] 求代数式的取值范围需注意两点:（1）严格运用不等式的性质; （2）利用整体思 想，通过“一次性”不等关系的运算求解范围，防止在多次运用不等式的性质时扩 大变量的取值范围. 30 变式题 已知实数,满足， ，则( ) C A. B. C. D. [解析] 由，，两式相加，可得 ， 则，故A错误；因为所以 ， 则，故B错误；因为 ， 且，，所以 ，故C正确； 因为，且， ， 所以 ，故D错误.故选C. 31 提升习题 32 【备选理由】例1考查分类讨论思想的运用;例2考查不等式的基本性质;例3考查利 用不等式求代数式的取值范围. 1 33 例1 ［配例1使用］ 若且 ，则( ) C A. B. C. D.与 的大小不确定 [解析] ， 当时，, ，则，； 当时，,，则 ，. 综上， . 34 例2 ［配例2使用］ [2023·广东惠州一模] 已知,,,且 ，则下 列结论一定正确的是( ) A A. B. C. D. [解析] 对于A，因为，所以 ，故A正确； 对于B，因为函数在上单调递减且，所以 ，故B错误； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，若， ，则满足，但 ，故D错误．故选A． 35 例3 ［配例3使用］ 若实数，满足， ，则 的取值范围是_______. [解析] 设,,,则解得 所以, 由得 所以,即， 故的取值范围是 . 36 作业 37 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知， ，则( ) C A. B. C. D. [解析] ， .故选C. 38 2.若 ，则下列不等式中一定成立的是( ) D A. B. C. D. [解析] 对于A，若,，则 ，故A不一定成立；对于B， 若,,则,故B不一定成立；对于C， ， 由，可得，但不确定，所以与 无法确定大小关系， 故C不一定成立；对于D，，由，可得，且 ， 所以，所以 ，故D一定成立.故选D. 39 3.“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 因为，且 ， 所以，即，故充分性成立；当 时， ，显然当，时成立，但此时 不成立， 故必要性不成立.故“”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 40 4.[2023·广州二中二模] 若 ，则下列不等式中不成立的是( ) D A. B. C. D. [解析] ，.对于A， ， ， ，故A中不等式成立； 对于B，， ，故B中不等式成立； 对于C，，，故C中不等式成立； 对于D， ， ，故D中不等式不成立．故选D． 41 5.已知 ，则( ) A A. B. C. D. [解析] 因为，所以，故选项A正确；当 , 时，显然满足，但 ，故选项B不正确； 当 , 时，显然满足，但 ，故选项C不正确； 当,时，显然满足，但 ， 故选项D不正确.故选A. 1 42 6.已知，，则 的取值范围是___________. [解析] 因为，且，所以，， ， 所以，即，即.因为，所以， 即 ，所以.综上，的取值范围是 . 43 ◆ 综合提升 ◆ 7.已知 ，则下列不等式一定成立的是( ) C A. B. C. D. [解析] 由，可知，所以 ，故A一定不成立； 因为，但无法判断与1的大小关系， 所以无法判断 与0的大小关系，故B不一定成立；当时，， 故D不一定成立；因为 ，所以 ，故C一定成立.故选C. 44 8.“ ”的一个充分条件可以是( ) D A. B. C. D. [解析] ，即.对于A，当，时， ， 但不满足，故A不正确；对于B，由，得， 则 ，则或故B不正确； 对于C，由，得 ，则，则或故C不正确； 对于D，由，且 ，得 ，故D正确.故选D. 45 9.若实数，满足则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 设，则解得 故，又所以 所以 .故选A. 46 10.（多选题）[2023· 河北衡水中学月考] 设, 为正实数，则下列说法正确的 是( ) AC A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，，则 47 [解析] 对于A，由及,为正实数，可知，则 ， 由,，可得，所以 ，故A正确； 对于B，若，则，此时，故B错误； 对于C，若 ，则，故C正确； 对于D，若 ，则，故D错误.故选 . 11.（多选题）设， ，则下列说法正确的是( ) BCD A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 [解析] 当,时，不成立，故A错误；由，得 ， 故B正确；由且，得，则，所以 ， 故C正确；当时，，当时， ， 故D正确.故选 . 49 12.能够说明“设,,是任意实数，若，则 ”是假命题的一组整数 ,, 的值可以依次为________________________________. ，，0（答案不唯一） [解析] 若，则当时，；当时，；当 时， .则能够说明“设,,是任意实数，若， 则 ”是假命题的一组整数,,的值可以依次为, ,0（答案不唯一）. 50 13.已知且，，，则与 的大小关 系为________. [解析] 当时，，则， 因为此时 在上单调递减，所以； 当时， ，则， 因为此时在 上单调递增，所以． 综上， . 51 14.若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖 水的甜度.如果在此糖水中添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽 象出不等式 ，数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不 等式可得出___（用“ ”或“ ”填空）；写出上述结论所对应的一个 糖水不等式：___________________________________________． [解析] 因为 ， 所以，所以 . 上述结论所对应的一个糖水不等式为 . 52 ◆ 能力拓展 ◆ 15.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求如下：每个房间只用一种颜色，且三个 房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，， ，且 ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，， ，且 ，则在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是( ) B A. B. C. D. 53 [解析] 因为， ， 所以 ， , 故, ,同理， ， , 故, , 又因为 ， 所以，所以最低费用为 .故选B. 54 16.（多选题）[2023·长春吉大附中三模] 若正实数，满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是( ) AD A. B. C. D. 55 [解析] 因为，且在上单调递增，所以 ， 又，所以或 . 对于A，B，C，当时，，此时 ； ，则 ； ，则.当 时， ，此时； ， 则；，则 . 故A正确，B，C错误. 56 对于D， 两边同时取自然对数，得， 因为不管，还是 ，均有，所以， 故要证,只需证 即可.设且， 则，令 且，则， 当时，，当 时，，所以， 所以对任意且 恒成立， 故在，上单调递减，又或 ，所以 ，故D正确．故选 ． $$