第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各组图形中，表示是中边的高的图形为（     ） A．B．C． D． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）聪聪用三根小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度是4厘米和6厘米，则第三根小棒的长度可能是（　　） A．9厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．12厘米 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图， 直线， 若，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 6．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，数据如图所示，关于结论I、Ⅱ、Ⅲ，下列判断一定正确的是（   ） 结论I：． 结论Ⅱ：比小． 结论Ⅲ：若比小，则比大． A．结论I正确 B．结论Ⅱ正确 C．结论Ⅲ正确 D．只有结论I不正确 8．（2023·安徽·模拟预测）有一内角是的直角三角尺与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点F．若的平分线平行于直尺的短边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，将纸片沿DE折叠使点A落在点处，且平分，平分，若，则的大小为（　　） A．66° B．48° C．96° D．132° 10．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）一个三角形三个内角度数比是，这个三角形最小角的度数是 ． 12．（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知是三角形的三边长化简： ． 13．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，若，则的度数为 ． 14．（14-15七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于D，若，，，则 ． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，是的中线，动点P从点A出发，以每秒的速度沿A→C运动，最终到达点C并停止运动，当点P运动的时间为 时，的面积等于． 16．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点． （1）当与满足 的关系时，； （2）当时， ．    三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知的三边分别为a，b，c，化简：． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，将三角形纸片沿虚线剪掉两角得到五边形，若，．请根据所标的数据，求的度数．    19．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，. (1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，请画出. (2)求的面积. 20．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 21．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，已知，判断是否平分，并说明理由． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，．点D在边上．且．点E在射线上，． (1)如图1．当点E在线段上时，若，求的度数． (2)若点E在的延长线上，请在备用图中补全图形．猜想与的数量关系，并说明理由． 23．（23-24八年级上·安徽·单元测试）已知：在中，平分，相交于点O．    (1)如图①，若，，，求的大小； (2)如图②，若平分，且，求的大小； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 25．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各组图形中，表示是中边的高的图形为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形高的定义，根据三角形高的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、B、C中不是的高，不符合题意； D、是中边的高，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）聪聪用三根小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度是4厘米和6厘米，则第三根小棒的长度可能是（　　） A．9厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．12厘米 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边． 设第三根木棒长为x厘米，根据三角形的三边关系可得，确定x的范围即可得到答案． 【详解】解：设第三根木棒长为x厘米， 由题意得：，即． ∴第三根小棒的长度可能是9厘米． 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据邻补角求角度，先根据，求出，然后根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图， 直线， 若，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，首先根据得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵ ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】C 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 6．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高）之比． 因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：∵点是的中点， ∴的底是的底是，即，而高相等， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 故选：C． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，数据如图所示，关于结论I、Ⅱ、Ⅲ，下列判断一定正确的是（   ） 结论I：． 结论Ⅱ：比小． 结论Ⅲ：若比小，则比大． A．结论I正确 B．结论Ⅱ正确 C．结论Ⅲ正确 D．只有结论I不正确 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据平行线的判定和三角形的内角和定理，进行判断即可． 【详解】解：当时，；故结论I错误； 条件不足，不能得到比小；故结论Ⅱ错误； ∵， ∴， ∵比小， ∴比大；故结论Ⅲ正确； 故选C． 8．（2023·安徽·模拟预测）有一内角是的直角三角尺与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点F．若的平分线平行于直尺的短边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 设与交于点M，根据角平分线的定义和外角的性质求得，然后利用直角三角形两锐角互余计算求解． 【详解】解：设与交于点M，如图， ∵，且平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故选：B． 9．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，将纸片沿DE折叠使点A落在点处，且平分，平分，若，则的大小为（　　） A．66° B．48° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，连接，首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解： 连接， ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴， ∴. 故选：C. 10．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质， 熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键. 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到 ，根据平行线的性质得到之间的等量关系，列出方程求解即可. 【详解】解：如图1，当点在上时，过点C作． 因为三角形由三角形平移得到， 所以． 因为，， 所以． ①当时，设，则． 因为，， 所以，． 因为， 所以， 解得， 所以； 图1 ②当时，设，则． 因为，， 所以，． 因为， 所以， 解得， 所以． 如图2，过点C作． 因为三角形由三角形ABC平移得到， 所以． 因为，， 所以． ①当时，设，则． 因为，， 所以，． 因为， 所以， 解得，所以； 图2 ②当时，由图可知，，故不存在这种情况 综上所述，的度数为或或， 故选C． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）一个三角形三个内角度数比是，这个三角形最小角的度数是 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和为，再利用比例分成计算即可求解． 【详解】解：因为三角形的内角和为， 所以，这个三角形最小角的度数是， 故答案为：40． 12．（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知是三角形的三边长化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵是三角形的三边长， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，，再根据平行线的性质得到，求出，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（14-15七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于D，若，，，则 ． 【答案】32 【分析】本题考查了坐标与图形性质，关键是根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积是解题关键．作三角形的高线，根据坐标求出、、的长，利用面积法可以得出． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， ， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，是的中线，动点P从点A出发，以每秒的速度沿A→C运动，最终到达点C并停止运动，当点P运动的时间为 时，的面积等于． 【答案】 【分析】本题了三角形的中线、一元一次方程的应用，设当点P运动的时间为时，的面积等于，由题意得出，，再根据三角形面积公式计算即可求出t的值．熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设当点P运动的时间为时，的面积等于， 由题意得，， ∵，是的中线， ， ， ∴， ∴， 解得， 即当点P运动的时间为时，的面积等于， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点． （1）当与满足 的关系时，； （2）当时， ．    【答案】 /度 【分析】（1）根据角平分线的性质平分，可得，再由两直线平行线同位角相等，内错角相等可得即可解答； （2）利用角平分线的性质和三角形的外角定理即可求解 【详解】（1）解：平分， ， ， 当时，， 故答案为：； （2）解：平分，平分， ， 又 , 当时, ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，熟练的掌握相关的性质定理是解题的关键： 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知的三边分别为a，b，c，化简：． 【答案】 【分析】此题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：的三边分别为，，， ，，， ，， 原式． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，将三角形纸片沿虚线剪掉两角得到五边形，若，．请根据所标的数据，求的度数．    【答案】． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：补全图形，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，. (1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，请画出. (2)求的面积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—平移，利用网格求三角形面积．利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点向右平移4个单位长度的对应点，在顺次连接即可； （2）利用长方形面积减去三个小三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：． 20．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1)的长度为； (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形面积公式和三角形中线的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的面积公式即可计算出的长； （2）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分即可求出的面积． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 答：的长度为； （2）解： 是直角三角形，， ， 又是边的中线， ． 答：． 21．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，已知，判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和的应用以及外角的性质，解题关键：能利用这些知识点和性质推出角与角之间的等量关系． （1）根据题意可知，由外角性质可推出：，将两角的度数代入即可求出； （2）利用可推出，因为，所以，即可证出平分； 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：是平分的， 理由如下： ，且，， ， ， ， 平分． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，．点D在边上．且．点E在射线上，． (1)如图1．当点E在线段上时，若，求的度数． (2)若点E在的延长线上，请在备用图中补全图形．猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为． （1）先求出，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理求出； （2）在中，设，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理得出． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ， 是的角平分线， ， 在中，； （2）解：，理由如下： ， ， 在中，设， ， 是的角平分线， ， 在与中， ， ， ， 即， ． 23．（23-24八年级上·安徽·单元测试）已知：在中，平分，相交于点O．    (1)如图①，若，，，求的大小； (2)如图②，若平分，且，求的大小； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的性质求出，进而求出的大小； （2）根据三角形的内角和定理得到，求出答案即可； （3）设，则，根据题意求出，即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分， ； （2）解：平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：， 设， ， 平分， 设，则， 是的外角， ， ， 是的外角， ， 即， ， ， ， ． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 25．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1)61 (2) (3)∠F的大小不变， 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1） 分别为，的平分线 故答案为：61． （2）， 分别为，的平分线 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$