计数原理、概率、随机变量及其分布之二项式定理讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——计数原理、概率、随机变量及其分布之二项式定理 【知识梳理】 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝ (n∈N*)； (2)通项：Tk＋1＝ ，k＝0，1，2，…，n，它表示第 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是 的 当k＞(n∈N*)时，是 的 二项式系数 最大值 当n为偶数时，中间的一项 取得最大值 当n为奇数时，中间的两项 与 相等且取得最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ . [常用结论] (a＋b)n的展开式形式上的特点： (1)项数为n＋1； (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n； (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n； (4)二项式系数从C，C，一直到C，C. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　) (2)二项展开式中，二项式系数最大的项为中间一项.(　　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　) 2.(选修三P34T1改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A.74 B.121 C.－74 D.－121 3.(选修三P38T3改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________. 4.(选修三P31T4改编)(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数为________. 考点一　展开式中的通项 角度1　求二项展开式的特定项 例1 (1)(2023·天津卷)在的展开式中，x2的系数是________. (2)(2023·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则的展开式中的常数项为________. 角度2　两个二项式之积 例2 (1)(2024·长沙调考)(1－2x)4的展开式中，常数项为(　　) A.－4 B.－6 C.－8 D.－10 (2)(2024·河南名校联考)(x＋2y)6的展开式中x2y4的系数为________. 角度3　三项展开式问题 例3 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________. 方法总结　1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可. 2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. 3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 训练1 (1)(2024·北京昌平区质检)已知二项式的展开式中的系数是10，则实数a＝(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 (2)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为________. (3)(2024·重庆质检)(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为________. 考点二　二项式系数的和与各项系数的和 例4 (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　) A.二项式系数和为32 B.各项系数和为128 C.常数项为－135 D.常数项为135 (2)(2024·南昌调研)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________. 方法总结　一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝ (a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为 [g(1)－g(－1)]. 训练2 (1)(2024·西安质检)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　) A.1 B.243 C.121 D.122 (2)设(＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________. 考点三　系数的最值问题 例5 已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则： (1)的二项式系数最大的项为________； (2)的展开式系数最大的项为________. 方法总结　1.二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 2.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k即可. 训练3 (多选)(2024·杭州质检)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 习题演练 1.(2024·天津段测)展开式中的常数项是(　　) A.－135 B.135 C.1 215 D.－1 215 2.(2024·南通调研)已知(3x－1)·(x＋1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为(　　) A.25 B.3 C.5 D.33 3.(2024·赣州段考)的展开式中含x5项的系数是(　　) A.－112 B.112 C.－28 D.28 4.(2024·成都诊断)已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　) A.212 B.312 C.310 D.210 5.(2024·柳州、梧州大联考)已知(2－x)·(2x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋a6＝(　　) A.34 B.30 C.－34 D.－30 6.在(x＋3)的展开式中，常数项为(　　) A.－ B. C.－ D. 7.(多选)(2024·青岛模拟)在的展开式中，下列说法正确的是(　　) A.常数项是1 120 B.第四项和第六项的系数相等 C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为256 8.(2024·厦门质检)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为________. 9.(2024·辽宁名校联考)(－2)7的展开式中第二个有理项为________. 10.设a＝3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3，则当n＝2 024时，a除以15所得余数为________. 11.已知在的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； (2)求含x2的项的系数. 12.(2024·武汉质检)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题. 已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________. (1)求n的值； (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值. 13.(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　) A.120 B.－120 C.60 D.30 14.在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——计数原理、概率、随机变量及其分布之二项式定理 【知识梳理】 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项：Tk＋1＝Can－kbk，k＝0，1，2，…，n，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的 当k＞(n∈N*)时，是递减的 二项式系数 最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [常用结论] (a＋b)n的展开式形式上的特点： (1)项数为n＋1； (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n； (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n； (4)二项式系数从C，C，一直到C，C. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　) (2)二项展开式中，二项式系数最大的项为中间一项.(　　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 解析　二项展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 2.(选修三P34T1改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A.74 B.121 C.－74 D.－121 答案　D 解析　将(1－x)5，(1－x)6，(1－x)7，(1－x)8中含x3项的系数分别相加，即得展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121. 3.(选修三P38T3改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________. 答案　1 解析　令x＝1，可得各项系数的和为(1－2)10＝1. 4.(选修三P31T4改编)(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数为________. 答案　135 解析　∵(1－x)10展开式的通项为 Tr＋1＝C(－x)r， 令r＝4，3，2分别得展开式含x4，x3，x2的系数为C，－C，C.故展开式中含x4的系数为 C－C＋C＝135. 考点一　展开式中的通项 角度1　求二项展开式的特定项 例1 (1)(2023·天津卷)在的展开式中，x2的系数是________. 答案　60 解析　法一　二项式展开式的通项 Tk＋1＝C(2x3)6－k＝(－1)k26－k·Cx18－4k， 令18－4k＝2，解得k＝4， 所以x2的系数为(－1)4×22×C＝60. 法二　将二项式看成6个多项式相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－相乘， 即C(2x3)2×C＝60x2，所以x2的系数为60. (2)(2023·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则的展开式中的常数项为________. 答案　4 解析　展开式的通项为 Tk＋1＝Cxn－k＝Cxn－4k， 因为3≤n≤6，令n－4k＝0，解得n＝4，k＝1， 所以的展开式中的常数项为4. 角度2　两个二项式之积 例2 (1)(2024·长沙调考)(1－2x)4的展开式中，常数项为(　　) A.－4 B.－6 C.－8 D.－10 答案　D 解析　(1－2x)4的展开式的通项为 Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)r·xr， 所以(1－2x)4的展开式中，常数项为 C×(－2)＋(－2)×C＝－8－2＝－10. (2)(2024·河南名校联考)(x＋2y)6的展开式中x2y4的系数为________. 答案　432 解析　将(x＋2y)6整理得(1＋xy－1)·(x＋2y)6，展开式中含x2y4的项为C·(xy－1)·x·(2y)5＋Cx2·(2y)4＝432x2y4，系数为432. 角度3　三项展开式问题 例3 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________. 答案　30 解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30. 法二　(x2＋x＋y)5表示5个因式(x2＋x＋y)之积. ∴x5y2可从两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余两个因式取y， 因此x5y2的系数为CCC＝30. 方法总结　1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可. 2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. 3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 训练1 (1)(2024·北京昌平区质检)已知二项式的展开式中的系数是10，则实数a＝(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案　B 解析　二项式的展开式的通项为 C·x5－r·(ax－1)r＝ar·C·x5－2r， 令5－2r＝－1，解得r＝3， 所以a3·C＝10a3＝10，解得a＝1. (2)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为________. 答案　－2 解析　(x－1)4的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－1)k， (x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为 C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2. (3)(2024·重庆质检)(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为________. 答案　120 解析　将(2x2＋y＋1)5看作5个因式(2x2＋y＋1)相乘， 根据x4y2的指数可得5个因式中有两个选2x2，两个选y，一个选1，进行相乘， 即(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为 C×22×C＝120. 考点二　二项式系数的和与各项系数的和 例4 (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　) A.二项式系数和为32 B.各项系数和为128 C.常数项为－135 D.常数项为135 答案　D 解析　令x＝1，得各项系数和为2n， 又二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6， 即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确； 的展开式的通项为 Tk＋1＝C·(3x)6－k·＝C·(－1)k36－k·x6－k， 令6－k＝0，得k＝4， 因此展开式中的常数项为T5＝C·(－1)4·32＝135，故C不正确，D正确. (2)(2024·南昌调研)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________. 答案　300　5 120 解析　①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数. 故a2＋a6＋a8＝C＋C＋C＝300. ②对原式两边求导得， 10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9. 令x＝1，得 a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120. 方法总结　一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝ (a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为 [g(1)－g(－1)]. 训练2 (1)(2024·西安质检)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　) A.1 B.243 C.121 D.122 答案　B 解析　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，① 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，② ①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242， 即a4＋a2＋a0＝－121. ①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244， 即a5＋a3＋a1＝122. 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝122＋121＝243. (2)设(＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________. 答案　1 解析　令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(＋1)10， 令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(－1)10， 故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(＋1)10(－1)10＝1. 考点三　系数的最值问题 例5 已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则： (1)的二项式系数最大的项为________； (2)的展开式系数最大的项为________. 答案　(1)8 064　(2)15 360x4 解析　由题意知，22n－2n＝992， 即(2n－32)(2n＋31)＝0， ∴2n＝32(负值舍去)，解得n＝5. (1)由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，即C＝252. ∴T6＝C(2x)5＝C25＝8 064. (2)设第r＋1项的系数最大. ∵Tr＋1＝C(2x)10－r＝C210－rx10－2r， ∴ 得即 解得≤r≤. ∵r∈N，∴r＝3. 故系数最大的项是第4项，第4项为 T4＝C27x4＝15 360x4. 方法总结　1.二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 2.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k即可. 训练3 (多选)(2024·杭州质检)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 答案　ACD 解析　由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确； 因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误； 因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确. 习题演练 1.(2024·天津段测)展开式中的常数项是(　　) A.－135 B.135 C.1 215 D.－1 215 答案　B 解析　二项展开式的通项 Tr＋1＝Cx6－r·＝C(－3)rx6－3r， 令6－3r＝0，解得r＝2， 所以常数项T3＝C(－3)2＝135. 2.(2024·南通调研)已知(3x－1)·(x＋1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为(　　) A.25 B.3 C.5 D.33 答案　C 解析　令x＝1，可得展开式中所有项的系数之和为2n＋1＝64，故n＝5， 又(x＋1)n即(x＋1)5的展开式的通项 Tr＋1＝C·x5－r， 则展开式中含有x2的项的系数为3C－C＝5. 3.(2024·赣州段考)的展开式中含x5项的系数是(　　) A.－112 B.112 C.－28 D.28 答案　B 解析　由二项式定理可得的展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r＝ (－2)rCx8－r，0≤r≤8，r∈N， 令8－r＝5，解得r＝2， 所以含x5项的系数是(－2)2C＝112. 4.(2024·成都诊断)已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　) A.212 B.312 C.310 D.210 答案　C 解析　因为，且第3项与第9项的二项式系数相等， 所以C＝C，解得n＝10， 取x＝1，所以所有项的系数之和为310. 5.(2024·柳州、梧州大联考)已知(2－x)·(2x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋a6＝(　　) A.34 B.30 C.－34 D.－30 答案　D 解析　令x＝0，得a0＝2，(2x＋1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·1r＝25－rCx5－r，r＝0，1，2，3，4，5， 令r＝0，则T1＝25Cx5＝32x5， 故a6＝－1×25＝－32， 所以a0＋a6＝－30. 6.在(x＋3)的展开式中，常数项为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　A 解析　原式＝x＋3，① 而的通项为Tk＋1＝Cx6－2k. 当6－2k＝－1时，k＝∉Z， 故①式中的前一项不会出现常数项； 当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项满足题意， 此时原式常数项为3××C＝－. 7.(多选)(2024·青岛模拟)在的展开式中，下列说法正确的是(　　) A.常数项是1 120 B.第四项和第六项的系数相等 C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为256 答案　AC 解析　根据二项式定理，的展开式的通项为Tk＋1＝C28－k(－1)kx8－2k，k＝0，1，2，…，8. 对于A，令8－2k＝0，得k＝4， 则常数项为C24(－1)4＝1 120，故A正确； 对于B，第四项的系数为C28－3(－1)3＝－1 792，第六项的系数为C28－5(－1)5＝－448，故B错误； 对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确； 对于D，令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误. 8.(2024·厦门质检)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为________. 答案　70 解析　由题目条件，只有第5项的二项式系数最大，得n＝8. ∴通项Tr＋1＝Cx8－r＝(－1)rCx8－r， 令8－r＝2，解得r＝4. ∴展开式中含x2项的系数为(－1)4C＝70. 9.(2024·辽宁名校联考)(－2)7的展开式中第二个有理项为________. 答案　1 680 解析　(－2)7的展开式的通项 Tk＋1＝C·()7－k·(－2)k ＝C·3·(－2)k(k＝0，1，2，3，4，5，6，7)， 要使第k＋1项为有理项， 则∈Z，则k可取1，4，7， 所以(－2)7的展开式中第二个有理项为 C·3·(－2)4＝35×3×16＝1 680. 10.设a＝3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3，则当n＝2 024时，a除以15所得余数为________. 答案　0 解析　∵C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C30＝(3＋1)n＝4n， ∴a＝4n－1， 当n＝2 024时，a＝42 024－1＝(15＋1)1 012－1， 而(15＋1)1 012－1＝C151 012＋C151 011＋…＋C15， 故此时a除以15所得余数为0. 11.已知在的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； (2)求含x2的项的系数. 解　(1)通项为 Tr＋1＝Cxx－＝Cx， ∵第6项为常数项， ∴r＝5时，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得r＝(n－6) ＝×(10－6)＝2， ∴含x2的项的系数为C＝. 12.(2024·武汉质检)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题. 已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________. (1)求n的值； (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　(1)选择条件①： 若(2x－1)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则＝5.所以n＝10. 选择条件②： 若(2x－1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， C＝C. 所以n＝10. 选择条件③： 若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210. 所以n＝10. (2)由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10， 令x＝0，则a0＝1， 令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10 ＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1. 13.(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　) A.120 B.－120 C.60 D.30 答案　A 解析　由题意知 (x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5， 展开式的第k＋1项为C(x＋y)5－k(－2z)k， 令k＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2， (x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym， 令m＝2，可得第3项为Cxy2， 所以(x＋y－2z)5的展开式中， xy2z2的系数是(－2)2CC＝120. 14.在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项. 解　(1)由题意得二项式系数最大的项为第11项，即T11＝C(3x)10(－2y)10＝C·310·210x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第r＋1项， 于是 化简得 解得7≤r≤8， 因为r∈N，所以r＝8， 即T9＝C·312·28x12y8是系数绝对值最大的项. (3)由于系数为正的项为奇数项， 故可设第2r－1项的系数最大(r∈N*)， 所以 化简得 解得r＝5，即第9项系数最大， T9＝C·312·28x12y8. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——计数原理、概率、随机变量及其分布之二项式定理 知识梳理 k＋1 3 2.二项式系数的性质 递增 递减 4 2n 2n－1 5 常用结论 诊断自测 × × √ √ 2.(选修三P34T1改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A.74 B.121 C.－74 D.－121 D 3.(选修三P38T3改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________. 1 解析　令x＝1，可得各项系数的和为(1－2)10＝1. 4.(选修三P31T4改编)(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数为________. 135 考点一　展开式中的通项 60 4 D 432 角度3　三项展开式问题 例3 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________. 30 解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 方法总结 1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可. 2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. 3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. B (2)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为________. －2 (3)(2024·重庆质检)(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为________. 120 解析　将(2x2＋y＋1)5看作5个因式(2x2＋y＋1)相乘， 根据x4y2的指数可得5个因式中有两个选2x2，两个选y，一个选1，进行相乘， 考点二　二项式系数的和与各项系数的和 D 解析　令x＝1，得各项系数和为2n， 又二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6， 即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确； (2)(2024·南昌调研)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________. 300 5 120 方法总结 训练2 (1)(2024·西安质检)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　) A.1 B.243 C.121 D.122 B 解析　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，① 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，② ①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242， 即a4＋a2＋a0＝－121. ①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122. 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝122＋121＝243. 1 考点三　系数的最值问题 8 064 15 360x4 解析　由题意知，22n－2n＝992， 即(2n－32)(2n＋31)＝0， ∴2n＝32(负值舍去)，解得n＝5. 方法总结 训练3 (多选)(2024·杭州质检)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　　) A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 ACD 解析　由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确； 因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误； 因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确. 习题演练 B 2.(2024·南通调研)已知(3x－1)·(x＋1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为(　　) A.25 B.3 C.5 D.33 C 解析　令x＝1，可得展开式中所有项的系数之和为2n＋1＝64，故n＝5， B C 5.(2024·柳州、梧州大联考)已知(2－x)·(2x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋a6＝(　　) A.34 B.30 C.－34 D.－30 D 解析　令x＝0，得a0＝2，(2x＋1)5的展开式的通项为 A 故①式中的前一项不会出现常数项； 当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项满足题意， AC 对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确； 对于D，令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误. 70 解析　由题目条件，只有第5项的二项式系数最大，得n＝8. 1 680 0 ∴a＝4n－1， 当n＝2 024时，a＝42 024－1＝(15＋1)1 012－1， (2)求含x2的项的系数. 12.(2024·武汉质检)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题. 已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________. (1)求n的值； 解　选择条件①： 所以n＝10. 选择条件③： 若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210. 所以n＝10. (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10， 令x＝0，则a0＝1， 令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1. 13.(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　) A.120 B.－120 C.60 D.30 A 解析　由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5， 14.在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； 解　设系数绝对值最大的项是第r＋1项， (3)系数最大的项. 解　由于系数为正的项为奇数项， 故可设第2r－1项的系数最大(r∈N*)， 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝_______________________________________(n∈N*)； (2)通项：Tk＋1＝__________，k＝0，1，2，…，n，它表示第_______项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn Can－kbk 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即_________ 增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是_____的 当k＞(n∈N*)时，是_____的 二项式系数 最大值 当n为偶数时，中间的一项_____取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值 C＝C 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝_____. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝_____. (a＋b)n的展开式形式上的特点： (1)项数为n＋1； (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n； (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n； (4)二项式系数从C，C，一直到C，C. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　) (2)二项展开式中，二项式系数最大的项为中间一项.(　　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　) 解析　二项展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 解析　将(1－x)5，(1－x)6，(1－x)7，(1－x)8中含x3项的系数分别相加，即得展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121. 解析　∵(1－x)10展开式的通项为Tr＋1＝C(－x)r， 令r＝4，3，2分别得展开式含x4，x3，x2的系数为C，－C，C.故展开式中含x4的系数为C－C＋C＝135. 令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为(－1)4×22×C＝60. 法二　将二项式看成6个多项式相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－相乘， 即C(2x3)2×C＝60x2，所以x2的系数为60. 角度1　求二项展开式的特定项 例1 (1)(2023·天津卷)在的展开式中，x2的系数是________. 解析　法一　二项式展开式的通项 Tk＋1＝C(2x3)6－k＝(－1)k26－k·Cx18－4k， 所以的展开式中的常数项为4. (2)(2023·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则的展开式中的常数项为________. 解析　展开式的通项为Tk＋1＝Cxn－k＝Cxn－4k， 因为3≤n≤6，令n－4k＝0，解得n＝4，k＝1， C×(－2)＋(－2)×C＝－8－2＝－10. 角度2　两个二项式之积 例2 (1)(2024·长沙调考)(1－2x)4的展开式中，常数项为(　　) A.－4 B.－6 C.－8 D.－10 解析　(1－2x)4的展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)r·xr， 所以(1－2x)4的展开式中，常数项为 (2)(2024·河南名校联考)(x＋2y)6的展开式中x2y4的系数为________. 解析　将(x＋2y)6整理得(1＋xy－1)·(x＋2y)6，展开式中含x2y4的项为 C·(xy－1)·x·(2y)5＋Cx2·(2y)4＝432x2y4，系数为432. 所以x5y2的系数为CC＝30. 法二　(x2＋x＋y)5表示5个因式(x2＋x＋y)之积. ∴x5y2可从两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余两个因式取y， 因此x5y2的系数为CCC＝30. 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5. 所以a3·C＝10a3＝10，解得a＝1. 训练1 (1)(2024·北京昌平区质检)已知二项式的展开式中的系数是10，则实数a＝(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析　二项式的展开式的通项为C·x5－r·(ax－1)r＝ar·C·x5－2r， 令5－2r＝－1，解得r＝3， 解析　(x－1)4的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－1)k， (x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为 C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2. 即(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为C×22×C＝120. 令6－k＝0，得k＝4， 因此展开式中的常数项为T5＝C·(－1)4·32＝135，故C不正确，D正确. 例4 (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　) A.二项式系数和为32 B.各项系数和为128 C.常数项为－135 D.常数项为135 的展开式的通项为Tk＋1＝C·(3x)6－k·＝C·(－1)k36－k·x6－k， ②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9. 令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120. 解析　①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数. 故a2＋a6＋a8＝C＋C＋C＝300. 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]. 故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(＋1)10(－1)10＝1. (2)设(＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________. 解析　令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(＋1)10， 令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(－1)10， 例5 已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则： (1)的二项式系数最大的项为________； (2)的展开式系数最大的项为________. ∴得 即解得≤r≤. ∵r∈N，∴r＝3. 故系数最大的项是第4项，第4项为T4＝C27x4＝15 360x4. (1)由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，即C＝252. ∴T6＝C(2x)5＝C25＝8 064. (2)设第r＋1项的系数最大. ∵Tr＋1＝C(2x)10－r＝C210－rx10－2r， 1.二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 2.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k即可. 1.(2024·天津段测)展开式中的常数项是(　　) A.－135 B.135 C.1 215 D.－1 215 解析　二项展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r·＝C(－3)rx6－3r， 令6－3r＝0，解得r＝2， 所以常数项T3＝C(－3)2＝135. 又(x＋1)n即(x＋1)5的展开式的通项Tr＋1＝C·x5－r， 则展开式中含有x2的项的系数为3C－C＝5. 令8－r＝5，解得r＝2， 所以含x5项的系数是(－2)2C＝112. 3.(2024·赣州段考)的展开式中含x5项的系数是(　　) A.－112 B.112 C.－28 D.28 解析　由二项式定理可得的展开式的通项为 Tr＋1＝Cx8－r＝(－2)rCx8－r，0≤r≤8，r∈N， 取x＝1，所以所有项的系数之和为310. 4.(2024·成都诊断)已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　) A.212 B.312 C.310 D.210 解析　因为，且第3项与第9项的二项式系数相等， 所以C＝C，解得n＝10， 故a6＝－1×25＝－32，所以a0＋a6＝－30. Tr＋1＝C(2x)5－r·1r＝25－rCx5－r，r＝0，1，2，3，4，5， 令r＝0，则T1＝25Cx5＝32x5， 当6－2k＝－1时，k＝Z， 此时原式常数项为3××C＝－. 6.在(x＋3)的展开式中，常数项为(　　) A.－ B. C.－ D. 解析　原式＝x＋3，① 而的通项为Tk＋1＝Cx6－2k. 对于A，令8－2k＝0，得k＝4，则常数项为C24(－1)4＝1 120，故A正确； 对于B，第四项的系数为C28－3(－1)3＝－1 792，第六项的系数为C28－5(－1)5＝－448，故B错误； 7.(多选)(2024·青岛模拟)在的展开式中，下列说法正确的是(　　) A.常数项是1 120 B.第四项和第六项的系数相等 C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为256 解析　根据二项式定理，的展开式的通项为 Tk＋1＝C28－k(－1)kx8－2k，k＝0，1，2，…，8. ∴展开式中含x2项的系数为(－1)4C＝70. 8.(2024·厦门质检)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为________. ∴通项Tr＋1＝Cx8－r＝(－1)rCx8－r， 令8－r＝2，解得r＝4. 要使第k＋1项为有理项，则∈Z，则k可取1，4，7， 所以(－2)7的展开式中第二个有理项为C·3·(－2)4＝35×3×16＝1 680. 9.(2024·辽宁名校联考)(－2)7的展开式中第二个有理项为________. 解析　(－2)7的展开式的通项 Tk＋1＝C·()7－k·(－2)k＝C·3·(－2)k(k＝0，1，2，3，4，5，6，7)， 故此时a除以15所得余数为0. 10.设a＝3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3，则当n＝2 024时，a除以15所得余数为________. 解析　∵C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C30＝(3＋1)n＝4n， 而(15＋1)1 012－1＝C151 012＋C151 011＋…＋C15， 11.已知在的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； 解 通项为Tr＋1＝Cxx－＝Cx， ∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10. 解 令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2， ∴含x2的项的系数为C＝. 若(2x－1)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则＝5.所以n＝10. 选择条件②： 若(2x－1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， C＝C. 所以(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(－2)2CC＝120. 展开式的第k＋1项为C(x＋y)5－k(－2z)k， 令k＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2， (x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym， 令m＝2，可得第3项为Cxy2， 解　由题意得二项式系数最大的项为第11项，即T11＝C(3x)10(－2y)10＝C·310·210x10y10. 因为r∈N，所以r＝8， 即T9＝C·312·28x12y8是系数绝对值最大的项. 于是 化简得 解得7≤r≤8， 所以 化简得 解得r＝5，即第9项系数最大，T9＝C·312·28x12y8. $$