第十章 §10.6 离散型随机变量及其分布列（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第十章 §10.6　离散型随机变量及其分布列 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2.理解并会求离散型随机变量的均值与方差. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.离散型随机变量 如果随机试验每一个可能结果e，都唯一地对应着一个实数 ，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量，常用X，Y，ξ，η，…表示.如果随机变量X的所有可能取值都可以 出来，则称X为离散型随机变量. X(e) 一一列举 知识梳理 5 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，其相应的概率为p1，p2，…，pn，记P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n).(*) 或把(*)式列成下表： 上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称X的分布列). X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 知识梳理 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi 0，i＝1,2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝ . ≥ 1 知识梳理 4.离散型随机变量的数学期望(均值)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 (1)数学期望(均值) 称E(X)＝ 为随机变量X的数学期望或均值.它反映了随机变量取值的平均水平. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 知识梳理 (2)方差 称D(X)＝E{[X－E(X)]2}＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的 ，记为σ2，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 5.数学期望(均值)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ . (2)D(aX＋b)＝ (a，b为常数). 标准差 aE(X)＋b a2D(X) 知识梳理 1.E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数. 2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2). 3.D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4.若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2). 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　 　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　 　) (3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　 　) (4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.(　 　) × √ √ √ 自主诊断 2.已知X的分布列为 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为 √ 自主诊断 自主诊断 3.已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则E(X)＝_____，D(X)＝_____. 2 1.2 E(X)＝(1＋2)×0.4＋4×0.2＝2， D(X)＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.4＋(4－2)2×0.2＝1.2. 自主诊断 4.(选择性必修第三册P67T3改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是____. 乙 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 自主诊断 E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9， ∵E(Y)<E(X)，∴乙技术较好. 返回 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　(1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)： 题型一　分布列的性质 则下列计算结果正确的是 A.a＝0.1 B.P(X≤2)＝0.7 C.P(X≥3)＝0.4 D.P(X≤1)＝0.3 √ √ √ X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确； 由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确； P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误； P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确. X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a √ 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 思维升华 跟踪训练1　(1)若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a c 则P(|X|＝1)等于 √ X －1 0 1 P a c (2)设随机变量X满足P(X＝i)＝ (i＝1,2,3)，则k＝____；P(X≥2)＝____. 由已知得随机变量X的分布列为 ∴随机变量X的分布列为 题型二　离散型随机变量的分布列及均值与方差 命题点1　求离散型随机变量的分布列及均值与方差 例2　(1)(多选)设随机变量X的分布列为 则下列选项正确的是 √ √ √ (2)(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X的分布列如表： X －1 0 1 2 P a b c √ X －1 0 1 2 P a b c ① ② X －1 0 1 2 P a b c X －1 0 1 2 P a b c 均值、方差的大小比较、最值(范围)问题 关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围. 微拓展 典例　(1)设随机变量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到1时 A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先减后增 D.D(X)先增后减 √ 微拓展 微拓展 (2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a,2，根据以往销售经验可得0<a<2，随机变量X的分布列为 下列结论正确的是 √ √ √ 微拓展 微拓展 微拓展 微拓展 命题点2　数学期望(均值)与方差的性质应用 例3　设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ (k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是 A.P(0<X<3.5)＝ B.E(3X＋2)＝7 C.D(X)＝2 D.D(3X＋1)＝6 √ 所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确； 因为D(X)＝2， 所以D(3X＋1)＝9D(X)＝18，故D不正确. 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ). 思维升华 跟踪训练2　(1)(多选)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 3m 下列结论正确的有 √ √ √ X －1 0 1 P m 3m X －1 0 1 P m 3m (2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的 概率为 ，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝_____. 由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2， 题型三　均值与方差中的决策问题 例4　(2023·上海七宝中学模拟)随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A，B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级划分为：非常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：   非常满意 满意 一般 不满意 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 8 假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立. (1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；   非常满意 满意 一般 不满意 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 8   非常满意 满意 一般 不满意 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 8   非常满意 满意 一般 不满意 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 8 (2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A，B哪个旅游景点？说明理由.   非常满意 满意 一般 不满意 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 8 设一位游客对A景点的满意度评分为X，一位游客对B景点的满意度评分为Y， 由数表中数据得X的分布列为 Y的分布列为 显然E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以选择B景点. 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 思维升华 跟踪训练3　(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； 由题意得，X的所有可能取值为0,20,100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 当小明先回答B类问题时， 记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0,80,100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题. 返回 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 课时精练 一、单项选择题 1.已知离散型随机变量X的分布列为 则X的均值E(X)等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 乙产业收益分布列 收益X/亿元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是 A.甲产业收益的期望大，风险高 B.甲产业收益的期望小，风险小 C.乙产业收益的期望大，风险小 D.乙产业收益的期望小，风险高 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 甲产业收益分布列 乙产业收益分布列 收益X/亿元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1， D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29； E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1， D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6， 故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲产业收益的期望大，风险高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(2023·南宁模拟)已知X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 √ 由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 记李明这3道题的得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0,5,10,15， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2023·洛阳模拟)随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2,3，其中c是常数，则D(9ξ－3)的值为 A.10 B.117 C.38 D.35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴D(9ξ－3)＝92D(ξ)＝81D(ξ)＝38. 6.某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A品牌设备的使用年限 2 3 4 5 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 B品牌设备的使用年限 2 3 4 5 概率 0.1 0.3 0.4 0.2 更换设备后，每年估计可增加收益100万元，从年均可增加收益的角度分析应 A.不更换设备 B.更换为A设备 C.更换为B设备 D.更换为A或B设备均可 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ A品牌设备的使用年限 2 3 4 5 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 B品牌设备的使用年限 2 3 4 5 概率 0.1 0.3 0.4 0.2 设A品牌设备使用年限为X， 则E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3， 更换为A品牌设备年均可增加收益为(3×100－60)÷3＝80(万元)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A品牌设备的使用年限 2 3 4 5 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 B品牌设备的使用年限 2 3 4 5 概率 0.1 0.3 0.4 0.2 设B品牌设备使用年限为Y， 则E(Y)＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7， 更换为B品牌设备年均可增加收益为(3.7×100－90)÷3.7≈75.7(万元). 因为80>75.7，所以应更换为A品牌设备. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A品牌设备的使用年限 2 3 4 5 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 B品牌设备的使用年限 2 3 4 5 概率 0.1 0.3 0.4 0.2 二、多项选择题 7.已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表： 则下列正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ① 因为Y＝12X＋7，所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.D(ξ)＝1 B.D(|ξ|)＝1 C.D(2ξ＋1)＝4 D.D(3|ξ|－2)＝6 8.已知随机变量ξ的分布列如表所示，且满足E(ξ)＝0，则下列选项正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ξ －1 0 2 P a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以ξ的分布列为 则D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝4，故C正确； 因为|ξ|的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以D(3|ξ|－2)＝32D(|ξ|)＝5，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 9.(2023·金山中学模拟)现要发行10 000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是_____元. 2 设每张彩票的中奖金额为随机变量X， 则X＝0,2,10,50,100,1 000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以P(X＝0)＝1－0.1－0.03－0.01－0.005－0.000 5＝0.854 5. 所以X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X 0 2 10 50 100 1 000 P 0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 5 所以E(X)＝0＋2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000× 0.000 5＝2. 10.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值范围为 ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2， 所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 11.(2023·襄城高中模拟)小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0～9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止. (1)求小王的该银行卡被锁定的概率； 设“小王的该银行卡被锁定”为事件A， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、均值及方差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意，X的所有可能取值为1,2,3， 所以X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(2023·泰安模拟)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额. (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求： ①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设员工所获得的奖励金额为X， ②员工所获得的奖励金额的分布列及均值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X所有可能的取值为400,1 000， ∴X的分布列为 (2)公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1 000元， ∴先寻找均值为1 000元的可能方案， 对于面值由800元和200元组成的情况， 如果选择(200,200,200,800)的方案， ∵1 000元是面值之和的最大值， ∴均值不可能为1 000元， 如果选择(800,800,800,200)的方案， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵1000元是面值之和的最小值， ∴均值不可能为1 000元， 因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1； 同理，对于面值由600元和400元组成的情况， 排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案， ∴可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400,1 000,1600， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800,1 000,1 200， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小， ∴应选择方案2. 13.(多选)设0<m<1，随机变量ξ的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当m在(0,1)上增大时，则 A.E(ξ)减小 B.E(ξ)增大 √ √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以当m在(0,1)上增大时，E(ξ)增大，故A错误，B正确； 所以当m在(0,1)上增大时，D(ξ)先减小后增大， 14.袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球.每次从中任取2个球，然后放回2个红球.设第一次取到白球的个数为ξ，则ξ的均值 E(ξ)＝_____；第二次取到1个白球1个红球的概率为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0,1,2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 记事件B：第二次取到1个白球1个红球， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 X －1 0 1 P A.　　　B.4　　　C.－1　　　D.1 X －1 0 1 P E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. (2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P等于 A. B. C. D. 因为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)， 所以＋＋＋＝1，即a＝， 所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. A.　　　B.　　　C.　　　D. 由随机变量X的分布列得P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝1－＝.   X 1 2 3 P ∴＋＋＝1，∴k＝. X 1 2 3 P ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. X 1 2 3 4 P m A.m＝ B.P(|X－3|＝1)＝ C.E(X)＝ D.D(X)＝ E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，C选项错误； 依题意＋m＋＋＝1，解得m＝，A选项正确； X 1 2 3 4 P m P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝，B选项正确； D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝，D选项正确. X 1 2 3 4 P m 若E(X)＝，P(X≥1)＝，则D(X)等于 A. B. C. D. 因为E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×＝， 由题意，得a＋b＋c＋＝1， 所以a＋b＋c＝. 所以－a＋c＝. 由P(X≥1)＝c＋＝，得c＝， 代入①②解得a＝，b＝. 所以D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. X 0 1 2 P X 0 1 2 P 由分布列可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝＋p， 则D(X)＝2＋2＋2＝－p2＋p＋＝ －2＋，因为0<p<1，所以D(X)先增后减. X 0 a 2 P b A.b＝ B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为 C.D(X)min＝ D.当D(X)min最小时，E(X)＝ X 0 a 2 P b 由题意＋b＋＝1，∴b＝，故选项A正确； 该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为C×3× 2＝，故选项B正确； X 0 a 2 P b 随机变量X的均值E(X)＝0×＋a×＋2×＝(a＋1)， 可知方差D(X)＝2×＋2×＋2× ＝×(12a2－12a＋30)＝×， X 0 a 2 P b 当a＝时，D(X)min＝，故选项C正确； 当D(X)min＝时，E(X)＝×＝，故选项D错误.   因为E(X)＝1×＋2×＋5×＝2， 因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)， 由分布列的性质可知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1. P(0<X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝，故A不正确； 由D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C正确； A.m＝ B.E(X)＝ C.E(2X－1)＝ D.D(X)＝ 由分布列的性质得＋4m＝1，解得m＝，故A正确； E(X)＝－1×＋0×＋1×＝，故B正确； E(2X－1)＝2E(X)－1＝－，故C不正确； D(X)＝×2＋×2＋×2＝，故D正确. P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝5)＝×＝， P(ξ＝4)＝×＝， P(ξ＝3)＝×＝， 则E(ξ)＝5×＋4×＋3×＋2×＝， D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. 设“这4人中恰有2人给出‘非常满意’的评价”为事件C，由表中数据可知，游客在A景点给出“非常满意”评价的概率为＝， 游客在B景点给出“非常满意”评价的概率为＝， 则P(C)＝22＋C·C·＋22＝. X 4 3 2 1 P Y 4 3 2 1 P 则E(X)＝4×＋3×＋2×＋1×＝3.15， D(X)＝0.852×＋(－0.15)2×＋(－1.15)2×＋(－2.15)2×＝1.127 5， E(Y)＝4×＋3×＋2×＋1×＝3.15， D(Y)＝0.852×＋(－0.15)2×＋(－1.15)2×＋(－2.15)2×＝0.902 5， X 1 2 3 P a A.　　　B.2　　　C.　　　D.3 X 1 2 3 P a 由题意得＋a＋＝1，解得a＝， 故E(X)＝1×＋2×＋3×＝. X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a为 X －1 0 1 P E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， ∴＝a×＋3，解得a＝2. 4.现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为 A. B. C. D.  P(X＝15)＝2×＝， 所以E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝.  P(X＝0)＝2×＝，  P(X＝5)＝C×××＋2×＝，  P(X＝10)＝C×××＋2×＝， ∵P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3， ∴＋＋＝1，解得c＝， ∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝， ∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝， X 1 2 3 4 P m n A.E(X)＝12 B.E(X)＝ C.m＝ D.n＝ 根据分布列可知m＋n＝1－－＝， X 1 2 3 4 P m n 解得E(X)＝， 又由分布列可得E(X)＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝， 整理得2m＋3n＝， X 1 2 3 4 P m n 联立①②解得m＝，n＝. 依题意 ξ －1 0 2 P 解得 则D(ξ)＝×(－1－0)2＋×(0－0)2＋×(2－0)2＝1，故A正确； |ξ| 0 1 2 P 则E(|ξ|)＝0×＋1×＋2×＝， D(|ξ|)＝×2＋×2＋×2＝，故B错误； 由题意可知，P(X＝2)＝＝0.1， P(X＝100)＝＝0.005， P(X＝10)＝＝0.03， P(X＝50)＝＝0.01， P(X＝1 000)＝＝0.000 5， 0<p< 解得p>或p<， 又p∈(0,1)，所以p∈. 则P(A)＝××＝. 则P(X＝1)＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××1＝， X 1 2 3 P 所以均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝， 方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝. P(X＝1 000)＝＝， ∴员工所获得的奖励金额为1 000元的概率为. P(X＝400)＝＝， X 400 1 000 P ∴员工所获得的奖励金额的均值为E(X)＝400×＋1 000×＝700(元). P(X1＝400)＝＝， P(X1＝1 000)＝＝， P(X1＝1 600)＝＝， ∴E(X1)＝400×＋1 000×＋1 600×＝1 000， D(X1)＝(400－1 000)2×＋(1 000－1 000)2×＋(1 600－1 000)2×＝120 000； P(X2＝800)＝＝， P(X2＝1 000)＝＝， P(X2＝1 200)＝＝， ∴E(X2)＝800×＋1 000×＋1 200×＝1 000， D(X2)＝×(800－1 000)2＋×(1 000－1 000)2＋×(1 200－1 000)2＝， ξ 0 m 1 P C.D(ξ)先增大后减小，最大值为 D.D(ξ)先减小后增大，最小值为 由题意得，＋＋＝1，解得a＝1， E(ξ)＝0×＋m×＋1×＝＋， D(ξ)＝＝2＋， 当m＝时，D(ξ)取得最小值，故C错误，D正确. 则P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 记事件Ai：第一次取到的白球有i个，其中i＝0,1,2，则P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝， 则P(B|A0)＝＝， P(B|A1)＝＝， 由全概率公式可得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＋×＋×＝. P(B|A2)＝＝， $