精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024~2025学年上学期高一数学期中考试卷 （考试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数的概念与性质 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．选择题答案用2B铅笔在答题卡对应题号上填涂，非选择题答案用黑色水笔填在答题卡指定位置上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 6. 已知是偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 7 D. 5 7. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “a=0”是“ab=0”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“，则”的否定是“，则” 11. 下列说法正确的是（    ） A. 满足⫋的集合的个数是7个 B. 若不等式的解集为，则实数的取值范围为 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若幂函数的图象经过点，则其解析式为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则_________. 13. ，，，则有_______.（请填“”、“”、“”、“”、“”） 14. 已知，若f(a)=10，则a=________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，． （1）求集合M，N； （2）求； （3）求； （4）求． 16. （1）若，，且满足，求的最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 17. （1）求不等式的解集. （2）已知关于的不等式的解集为或.求的值和不等式的解集. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. （1）请补全函数的图象并求的值； （2）由函数图象直接写出函数的单调递减区间； （3）由函数图象直接写出使的的取值集合； （4）求函数当的值域. 19. （1）已知一次函数，满足，求的解析式; （2）已知函数，且，求的值，并判断函数在是单调递增还是单调递减？请用函数单调性的定义证明你的结论. （3）定义在上的函数是单调函数，满足，且，.求，，并判断的奇偶性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期高一数学期中考试卷 （考试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数的概念与性质 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．选择题答案用2B铅笔在答题卡对应题号上填涂，非选择题答案用黑色水笔填在答题卡指定位置上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系即可判断. 【详解】由元素与集合的关系可知，故A，B错误，C正确； 由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：C 2. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可. 【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误； 对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确； 对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误； 对D，该函数的值域不是为，故D错误. 故选：B. 3. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项. 【详解】∵ ∴，，，. 故选： 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题. 4. 函数的定义域为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数有意义，列出不等式并求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域为或. 故选：B 5. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】通过举特例可判断命题正误，结合命题否定含义可得答案. 【详解】注意到当时，，则是假命题，是真命题； 又注意到，则为真命题，是假命题.则和都是真命题. 故选：B 6. 已知是偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】函数为偶函数，有，代入解析式求解即可. 【详解】是偶函数，当时，， 则. 故选：B 7. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合，，且，则， 所以，. 故选：D. 8. 已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性转化原不等式，可得，从而可得结果. 【详解】因为是上的减函数，且， 所以，解得, 所以满足的实数的取值范围是．故选D. 【点睛】本题主要考查单调性的应用，属于基础题. 解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】逐项判断各个函数的奇偶性及在上的单调性即可. 【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 10. 下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “a=0”是“ab=0”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“，则”的否定是“，则” 【答案】ABD 【解析】 【分析】解分式不等式可判断A；由，则；由，则或，故可判断B；解绝对值不等式可判断C；依据全称量词的否定为存在量词命题即可判断D. 【详解】对于A，由，则，即； 由，则，解得：或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选项A正确； 对于B，由，则； 由，则或，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选项B正确； 对于C，由，则或； 再由，则，所以”是“”的必要不充分条件， 故选项C错误； 对于D，命题“，则”的否定是“，能使”， 故选项D正确. 故选：ABD. 11. 下列说法正确的是（    ） A. 满足⫋的集合的个数是7个 B. 若不等式的解集为，则实数的取值范围为 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若幂函数的图象经过点，则其解析式为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合真子集个数的判断方法判断A的真假；根据二次不等式恒成立求参数的取值范围判断B的真假；根据复合函数定义域的求法求出函数定义域判断C的真假；根据幂函数经过点求幂函数的解析式判断D的真假. 【详解】对A：因为集合中可有可无的元素有：4，5，6，但不能同时含有4，5，6， 所以满足条件的集合的个数为：，故A正确； 对B：由，故B正确； 对C：由， 所以函数的定义域为，故C正确； 对D：由，所以过点的幂函数的解析式为，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由中有元素为0，注意元素的互异性即可． 【详解】因为，若，则，与集合中元素的互异性矛盾，因此， 若，则，此时，满足题意， 故答案为：． 13. ，，，则有_______.（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为， 故. 故答案为：. 14. 已知，若f(a)=10，则a=________. 【答案】-3或5 【解析】 【分析】 分和两种情况，得到所满足的等量关系式，求得结果. 【详解】时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 故答案为：或5． 【点睛】该题考查分段函数，由分段函数值求自变量的值，属于基础题目． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，． （1）求集合M，N； （2）求； （3）求； （4）求． 【答案】（1），； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）由集合中的描述，列举集合中的元素，解集合中的方程，列举集合中的元素； （2）由交集的定义计算； （3）由并集和补集的定义计算； （4）由补集和并集的定义计算. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵，全集， ∴； 【小问4详解】 ∵，， ∴． 16. （1）若，，且满足，求的最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为，，且满足， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为； （3）因为，，且， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 17. （1）求不等式的解集. （2）已知关于的不等式的解集为或.求的值和不等式的解集. 【答案】（1）；（2）；解集为： 【解析】 【分析】（1）直接解出一元二次不等式并写出解集即可； （2）先利用不等式解集解出的值，进而解出，写出解集即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 即不等式的解集为：. （2）因为关于的不等式的解集为或， 所以是方程的两根，且， 即，解得； 所以不等式，即， ，解得：， 所以不等式的解集为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. （1）请补全函数的图象并求的值； （2）由函数图象直接写出函数的单调递减区间； （3）由函数图象直接写出使的的取值集合； （4）求函数当的值域. 【答案】（1） ； （2）单调递减区间是； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数关于原点对称画出y轴右侧图象即可. （2）（3）根据（1）所得函数图象确定减区间及不等式的解集即可. （4）根据奇函数求上的函数解析式，再根据二次函数对称轴及定义域求出对应值域即可. 【小问1详解】 由题图及是定义在上的奇函数，可得左侧图象如下： 【小问2详解】 由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； 【小问3详解】 由（1）所得函数图象知：使的的取值集合为； 【小问4详解】 ∵函数是定义域为的奇函数， ∴. 当时，，则. 对称轴为，恰好位于给定区间内， ∴在上的最大值为，最小值为， ∴在上的值域为. 19. （1）已知一次函数，满足，求的解析式; （2）已知函数，且，求的值，并判断函数在是单调递增还是单调递减？请用函数单调性的定义证明你的结论. （3）定义在上的函数是单调函数，满足，且，.求，，并判断的奇偶性. 【答案】（1）； （2）由已知得，解得，所以， 设对，，且， 由，可知，即， 所以在上单调递增； （3），，奇函数. 【解析】 【分析】（1）设函数解析式根据已知条件求解； （2）利用单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用赋值法求，，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. 【详解】（1）设， 由已知得，即， 则，解得 ，所以； （2）略 （3）因为定义在上的函数，所以令，则，解得， 令，则，令，，则， 所以，解得， 令得，所以， 所以为奇函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $