辽宁省沈阳市第一二0中学2024-2025学年高三上学期第四次（期中）质量检测数学试题

沈阳市第120中学2024-2025学年度上学期 高三年级第四次质量检测试题 数学 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高越 李天刚 审题人：孙爽 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知，为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（ ） A. 2 B. 17 C. 2或8 D. 2或17 5. 已知直线与平行，则实数a的值为 A. －1或2 B. 0或2 C. 2 D. －1 6. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 如图，将绘有函数（，）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. 的共轭复数为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 若，则的最大值是 D. 的虚部为 10. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ） A. 为周期函数，且最小正周期为 B. 为奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的最大值为7 11. 在四面体ABCD中，，，E，F，G分别是棱BC，AC，AD上的动点，且满足AB，CD均与面EFG平行，则（ ） A. 直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为 B. 四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1 C. 的面积的最大值为 D. 四面体ABCD的内切球的表面积为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 若，且，则__________. 13. 已知，，若的平分线方程为，则所在直线的一般方程为_____. 14. 已知函数，（，且）.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为________；的取值范围为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角所对的边分别为，，，，且. （1）求角的大小； （2）若，点在边上，且平分，求的长度. 16. 已知函数，. （1）求函数图象在处的切线方程． （2）若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数的取值范围． 17. 已知数列的各项均为正数，其前项和，. （1）求数列的通项公式： （2）设，若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和. 18. 等边三角形的边长为3，，分别是边和上的点，且，如图1.将沿折起到的位置，连结，.点满足，且点到平面的距离为，如图2. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四面体的体积. 19. 已知函数，且在上的最小值为0. （1）求实数的取值范围； （2）设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S． （i）求证：函数在上具有性质S； （ii）记，其中，求证：. 沈阳市第120中学2024-2025学年度上学期 高三年级第四次质量检测试题 数学 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高越 李天刚 审题人：孙爽 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）; （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）; （2）. 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1）可知，当时，. 要证函数在上具有性质. 即证：当时，. 即证：当时，. 令，，则， 即，当时，， 所以在上单调递增，. 即当时，，得证. （i i）证明：要证：. 显然，当时时，，结论成立. 只要证：当，时，. 即证：当，时，. 令. 所以，令， 则，令， 则，在上单调递减， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，即当时，. 所以当，时，，有 所以当，时，. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $